2021-2022学年北师大版八年级数学上册2.7二次根式 知识点分类提升训练（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《2.7二次根式》知识点分类提升训练（附答案）
一．二次根式的定义
1．已知：如果二次根式是整数，那么正整数n的最小值是（　　）
A．1
B．4
C．7
D．28
2．已知是正整数，则n的最大值为　
　．
3．已知实数n满足等式m＝．
（1）当m＝6时，求n的值；
（2）若m，n都是正整数，求n的最小值．
二．二次根式有意义的条件
4．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞且x≠3
B．x≥
C．x≥且x≠3
D．x≤且x≠﹣3
5．已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝++4，求此三角形的周长．
三．二次根式的性质与化简
6．已知a为实数，则代数式的最小值为（　　）
A．0
B．3
C．
D．9
7．若x＜0，则的结果是（　　）
A．0
B．﹣2
C．0或﹣2
D．2
8．已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．若有理数a和b在数轴上所表示的点分别在原点的左边和右边，求的值．
10．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则将将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2开方，从而使得化简．
例如，5+＝＝，
∴．
请仿照上例解下列问题：
（1）；
（2）．
11．阅读下面例题：化简
解：∵＝2+5＝7，2；
7+2
∴
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
四．最简二次根式
12．二次根式，，，，中，最简二次根式有　
　个．
13．在下列二次根式：、、、、中是最简二次根式的是　
　．
五．二次根式的乘除法
14．把根号外的因式移入根号内得（　　）
A．
B．
C．
D．
15．如果＝ 成立，则x的取值范围是　
　．
16．已知﹣1＜a＜0，化简得　
　．
17．小东在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程：＝＝是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由．
六．化简分母中的二次根式
18．阅读下面问题：
＝＝﹣1；
＝＝﹣
＝＝﹣2，根据以上解法
试求：（1）的值；
（2）（n为正整数）的值
（3）+++…++的值．
19．计算并观察下列式子，探索它们的规律，并解决问题．
＝　
　．
＝　
　．
＝　
　．
…
（1）试用正整数n表示这个规律，并加以证明；
（2）求的值．
七．可以合并的二次根式
20．若最简二次根式与2可以合并，则a＝　
　．
21．若最简二次根式与可以合并，则x＝　
　．
八．二次根式的加减法
22．已知xy＝3，那么的值是　
　．
23．计算＝　
　．
24．计算
（1）﹣（﹣）
（2）+a﹣4+．
25．计算
（1）3+﹣4；
（2）2a﹣+3ab．
26．已知a+b＝﹣8，ab＝12．求的值．
27．计算：
28．化简．
九．二次根式的混合运算
29．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
十．二次根式的化简求值
30．已知：2x＝，求的值．
参考答案
一．二次根式的定义
1．解：＝2，
又∵是整数，
∴n的最小值为7．
故选：C．
2．解：∵18﹣n≥0，
∴n≤18，
∵是正整数，
∴n的最大值是17，
故答案为：17．
3．解：（1）因为等式m＝，m＝6，
可得：9+18n＝36，
解得：n＝1.5；
（2）因为实数m满足等式m＝＝3，m，n都是正整数，
当n＝4时．1+2n＝9，
m＝9．
二．二次根式有意义的条件
4．解：∵代数式有意义，
∴3x﹣2≥0，|x|﹣3≠0，
解得：x≥且x≠3．
故选：C．
5．解：∵、有意义，
∴，
∴a＝3，
∴b＝4，
当a为腰时，三角形的周长为：3+3+4＝10；
当b为腰时，三角形的周长为：4+4+3＝11．
三．二次根式的性质与化简
6．解：∵原式＝
＝
＝
∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时
代数式的值最小，为即3
故选：B．
7．解：若x＜0，则＝﹣x，
∴＝＝＝2，
故选：D．
8．解：∵有意义，
∴﹣a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
∴＝﹣a．
故选：A．
9．解：根据题意知a＜0、b＞0、a＜b，
则原式＝﹣a+b﹣（b﹣a）
＝﹣a+b﹣b+a
＝0．
10．解：5﹣2＝3+2﹣2＝，
∴＝＝；
∵＝＝，
∴＝＝+1．
11．解：（1）∵5﹣2＝3﹣2+2＝（）2﹣2+（）2＝（﹣）2，
∴＝＝﹣；
（2）＝＝＝＝+＝+；
（3）设+＝x，
则x2＝（+）2
＝4﹣+2×+4+
＝8+2
＝8+2
＝8+2
＝8+2﹣2
＝6+2，
∴x＝＝+1，即+＝+1．
四．最简二次根式
12．解：是最简二次根式，
＝，不是最简二次根式，
不是最简二次根式，
不是最简二次根式，
是最简二次根式，
最简二次根式有，．
故答案为：2．
13．解：∵＝，＝2|m|，＝|a|，＝2，
∴这4个都不是最简二次根式；
只有是最简二次根式．
故在二次根式：、、、、中是最简二次根式的是．
五．二次根式的乘除法
14．解：∵成立，
∴﹣＞0，即m＜0，
∴原式＝﹣＝﹣．
故选：D．
15．解：∵＝ 成立，
∴≥0，≥0，≥0，
即，
解得：﹣3≤x≤1．
故答案为：﹣3≤x≤1．
16．解：∵﹣1＜a＜0，
∴a+＜0，a﹣＞0；
∴＝
＝（a﹣）[﹣（a+）]
＝﹣．
17．解：错误，原因是被开方数应该为非负数．
＝＝＝＝2．
六．化简分母中的二次根式
18．解：（1）＝＝﹣；
（2）＝＝﹣；
（3）+++…++
＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1+10
＝9．
19．解：（+）（﹣）＝2；
（+）（﹣）＝2；
（+）（﹣）＝2，
故答案为：2；2；2；
（1）以此类推，（+）（﹣）＝2，
整理得：等式左边＝（）2﹣（）2＝2n+1﹣2n+1＝2＝右边；
（2）原式＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣1）＝5．
七．可以合并的二次根式
20．解：∵最简二次根式与2可以合并，
∴3a﹣5＝7，
解得：a＝4，
则a＝4．
故答案为：4．
21．解：∵最简二次根式与可以合并，
∴2x﹣1＝3，
解得：x＝2．
故答案为：2．
八．二次根式的加减法
22．解：因为xy＝3，所以x、y同号，
于是原式＝x+y＝+，
当x＞0，y＞0时，原式＝+＝2；
当x＜0，y＜0时，原式＝﹣+（﹣）＝﹣2．
故原式＝±2．
23．解：原式＝＝3．
24．解：（1）﹣（﹣）
＝2﹣（3﹣×4）
＝2﹣
＝；
（2）+a﹣4+
当b＞0，
原式＝2a+a﹣2+
＝（3a﹣1）．
当b＜0，
原式＝2a+a﹣2﹣
＝（3a﹣3）．
25．解：（1）3+﹣4
＝3×3+×5﹣4×
＝9+﹣2
＝8；
（2）2a﹣+3ab
当b≥0时，
原式＝2ab﹣×3a+3ab×
＝ab；
当b＜0时，
原式＝﹣2ab﹣×3a+3ab×
＝﹣ab．
26．解：∵（+）2
＝++2
＝
＝
＝；
∴原式＝＝．
27．解：原式＝a﹣+2a＝（3a﹣1）．
28．解：
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝+4﹣﹣1
＝3．
九．二次根式的混合运算
29．解：（1）＝＝＝＝+1；
（2）＝＝＝＝＝＝4+；
（3）原式＝++++，
＝++++，
＝++++，
＝﹣1+﹣+2﹣+﹣2+﹣，
＝﹣1．
十．二次根式的化简求值
30．解：∵2x＝＝＝＝，
∴x＝，
∴1﹣x2＝1﹣[（）]2＝，
∴
＝
＝
＝
＝+
＝．