2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.2用配方法求解一元二次方程 知识点分类训练（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.2用配方法求解一元二次方程》
知识点分类训练（附答案）
一．解一元二次方程-直接开平方法
1．用直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确的是（　　）
A．3x+1＝2x﹣5
B．3x+1＝﹣（2x﹣5）
C．3x+1＝±（2x﹣5）
D．3x+1＝±2x﹣5
2．关于x的一元二次方程（x﹣2）2＝k+2有解，则k的取值范围是　
　．
3．解方程：（3x﹣2）2＝（2x﹣3）2．
4．解方程:4（x﹣1）2＝25
5．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解　
　．
二．解一元二次方程-配方法
6．用配方法解方程x2﹣4x+3＝0时可以恒等变形成（x﹣m）2＝n的形式，则m＝　
　，n＝　
　．
7．解方程：3x2﹣4x+1＝0．（用配方法解）
8．解方程：3x2﹣6x+3＝0．
三．配方法的应用
9．若M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13（x、y为实数），则M的值一定是（　　）
A．非负数
B．负数
C．正数
D．零
10．当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．
11．若a，b，c是实数，且a+b+c＝2+4+6﹣14，则2b+c＝　
　．
12．多项式4x2﹣12xy+10y2+4y﹣12的最小值是　
　．
13．代数式m2+m+4的最小值＝　
　．
14．代数式-x2-6x-8的最大值是　
　．
15．代数式x2﹣2x+的最小值是　
　．
16．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为　
　．
17．（1）已知a2﹣3a﹣1＝0，求下列各式的值：
①a2+；
②3a3﹣7a2﹣9a+2020．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边，其中a，b满足a2+b2＝4a+10b﹣29，c满足|4﹣c|＝1，判定△ABC的形状．
18．已知：a+b﹣2﹣4+2＝0，求a+b的值．
19．若a，b，c为△ABC的三边．
（1）化简：|a﹣b+c|+|c﹣a﹣b|﹣|a+b|；
（2）若a，b，c都是正整数，且a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长．
20．先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2
＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣8a+15＝　
　；
（2）若△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2+b2﹣14a﹣8b+65＝0，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值；
（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．
参考答案
一．解一元二次方程-直接开平方法
1．解：（3x+1）2＝（2x﹣5）2
开方得3x+1＝±（2x﹣5），
故选：C．
2．解：根据题意得k+2≥0，
解得k≥﹣2．
故答案为k≥﹣2．
3．解：3x﹣2＝±（2x﹣3），
3x﹣2＝2x﹣3或3x﹣2＝﹣2x+3，
所以x1＝﹣1，x2＝1．
4．解：（1）∵4（x﹣1）2＝25，
∴（x﹣1）2＝，
则x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
解得：x＝或x＝﹣；
（2），
①+②，得：4x＝20，
解得：x＝5，
将x＝5代入①，得：5﹣y＝8，
解得：y＝﹣3，
所以方程组的解为．
5．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
二．解一元二次方程-配方法
6．解：x2﹣4x＝﹣3，
x2﹣4x+4＝1，
（x﹣2）2＝1，
所以m＝2，n＝1．
故答案为2，1．
7．解：3x2﹣4x+1＝0
3（x2﹣x）+1＝0
（x﹣）2＝
∴x﹣＝±
∴x1＝1，x2＝
8．解：方程整理得：x2﹣2x＝﹣1，
配方得：x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1．
三．配方法的应用
9．解：M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13＝4x2﹣12xy+9y2+y2﹣4y+4+x2﹣6x+9＝（2x﹣3y）2+（y﹣2）2+（x﹣3）2≥0，故M一定是非负数．
故选：A．
10．解：x2+4x+4y2﹣4y+1＝x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4＝（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，
又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，
∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．
∴当x＝﹣2，y＝时有最小值为﹣4．
11．解：∵a+b+c＝2+4+6﹣14
∴a+1+b+1+c﹣2﹣2﹣4﹣6+14＝0
∴[﹣2+1]+[﹣4+4]+[﹣6+9]＝0
∴++＝0
∴﹣1＝0，﹣2＝0，﹣3＝0
∴＝1，＝2，＝3
∴a+1＝1，b+1＝4，c﹣2＝9
∴a＝0，b＝3，c＝11
∴2b+c＝2×3+11＝17
故答案为：17．
12．解：4x2﹣12xy+10y2+4y﹣12
＝4x2﹣12xy+9y2+y2+4y+4﹣16
＝（2x﹣3y）2+（y+2）2﹣16
∵（2x﹣3y）2≥0，（y+2）2≥0
∴（2x﹣3y）2+（y+2）2﹣16≥﹣16
故答案为：﹣16．
13．解：m2+m+4＝m2+m++4﹣＝（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥，
∴代数式m2+m+4的最小值为，
故答案为．
14．解：原式＝-（x2+6x+9）+1
＝-（x+3）2+1，
∵（x+3）2≥0，
∴-（x+3）2+1≤1，
则代数式x2+6x+10的最大值是1．
故答案为：1．
15．解：原式＝（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3＝4（x﹣y）2+（x+1）2+3，
∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，
即原式＝0+0+3＝3，
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．
故答案为：3．
16．解：因为x2﹣2x+＝（x﹣1）2+，
所以当x＝1时，代数式x2﹣2x+的最小值是，
故答案是：．
17．解：（1）①∵a2﹣3a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝3a，a≠0，
∴a﹣＝3，
∴（a﹣）2＝9，即a2﹣2+＝9，
∴a2+＝11；
②∵a2﹣3a﹣1＝0，
∴a2＝3a+1，
∴3a3﹣7a2﹣9a+2020
＝3a a2﹣7a2﹣9a+2020
＝3a（3a+1）﹣7a2﹣9a+2020
＝9a2+3a﹣7a2﹣9a+2020
＝2a2﹣6a+2020
＝2（a2﹣3a）+2020
＝2022；
（2）∵a2+b2＝4a+10b﹣29，
∴a2﹣4a+4+b2﹣10b+25＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，
∴a＝2，b＝5，
∵|4﹣c|＝1，
∴c＝3或5，
当c＝3时，a+c＝b，不能组成三角形，
当c＝5时，△ABC为等腰三角形．
18．解：∵a+b﹣2﹣4+2＝0，
∴[（a﹣1）﹣2+1]+[（b﹣2）﹣4+4）]＝0，
∴+＝0，
∵≥0，≥0，
∴﹣1＝0，﹣2＝0，
∴＝1，＝2，
∴a﹣1＝1，b﹣2＝4，
∴a＝2，b＝6．
∴a+b＝2+6＝8．
19．解：（1）∵a，b，c为△ABC的三边，
∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，a+b＞0，
∴|a﹣b+c|+|c﹣a﹣b|﹣|a+b|＝a﹣b+c﹣c+a+b﹣a﹣b＝a﹣b；
（2）∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝（a2﹣2a+1）+（b2﹣8b+16）＝（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝1，b＝4，
∵a，b，c为△ABC的三边，
∴4﹣1＜c＜4+1，
∴3＜c＜5，
∵若a，b，c都是正整数，
∴c＝4，
∴△ABC的周长＝1+4+4＝9．
20．解：（1）a2﹣8a+15＝（a2﹣8a+16）﹣1＝（a﹣4）2﹣12＝（a﹣3）（a﹣5）；
故答案为：（a﹣3）（a﹣5）；
（2）∵a2+b2﹣14a﹣8b+65＝0，
∴（a2﹣14a+49）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴（a﹣7）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣7＝0，b﹣4＝0，
解得，a＝7，b＝4，
∵△ABC的三边长是a，b，c，
∴3＜c＜11，
又∵c边的长为奇数，
∴c＝5，7，9，
当a＝7，b＝4，c＝5时，△ABC的周长最小，最小值是：7+4+5＝16；
（3）﹣2x2﹣4x+3，
＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3，
＝﹣2（x+1）2+5，
∴当x＝﹣1时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值，最大值是5