2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.2用配方法求解一元二次方程 知识点分类训练(word版、含解析)

文档属性

名称 2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.2用配方法求解一元二次方程 知识点分类训练(word版、含解析)
格式 zip
文件大小 129.7KB
资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2021-10-07 10:00:46

图片预览

文档简介

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.2用配方法求解一元二次方程》
知识点分类训练(附答案)
一.解一元二次方程-直接开平方法
1.用直接开平方的方法解方程(3x+1)2=(2x﹣5)2,做法正确的是(  )
A.3x+1=2x﹣5
B.3x+1=﹣(2x﹣5)
C.3x+1=±(2x﹣5)
D.3x+1=±2x﹣5
2.关于x的一元二次方程(x﹣2)2=k+2有解,则k的取值范围是 
 .
3.解方程:(3x﹣2)2=(2x﹣3)2.
4.解方程:4(x﹣1)2=25
5.已知关于x的方程a(x+m)2+b=0(a、b、m为常数,a≠0)的解是x1=2,x2=﹣1,那么方程a(x+m+2)2+b=0的解 
 .
二.解一元二次方程-配方法
6.用配方法解方程x2﹣4x+3=0时可以恒等变形成(x﹣m)2=n的形式,则m= 
 ,n= 
 .
7.解方程:3x2﹣4x+1=0.(用配方法解)
8.解方程:3x2﹣6x+3=0.
三.配方法的应用
9.若M=5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13(x、y为实数),则M的值一定是(  )
A.非负数
B.负数
C.正数
D.零
10.当x,y取何值时,多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值,并求出最小值.
11.若a,b,c是实数,且a+b+c=2+4+6﹣14,则2b+c= 
 .
12.多项式4x2﹣12xy+10y2+4y﹣12的最小值是 
 .
13.代数式m2+m+4的最小值= 
 .
14.代数式-x2-6x-8的最大值是 
 .
15.代数式x2﹣2x+的最小值是 
 .
16.设x,y为实数,代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 
 .
17.(1)已知a2﹣3a﹣1=0,求下列各式的值:
①a2+;
②3a3﹣7a2﹣9a+2020.
(2)已知a,b,c是△ABC的三边,其中a,b满足a2+b2=4a+10b﹣29,c满足|4﹣c|=1,判定△ABC的形状.
18.已知:a+b﹣2﹣4+2=0,求a+b的值.
19.若a,b,c为△ABC的三边.
(1)化简:|a﹣b+c|+|c﹣a﹣b|﹣|a+b|;
(2)若a,b,c都是正整数,且a2+b2﹣2a﹣8b+17=0,求△ABC的周长.
20.先阅读下面的内容,再解决问题:
问题:对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式.但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2,就不能直接运用公式了.此时,我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2,使它与x2+2ax成为一个完全平方式,再减去a2,整个式子的值不变,于是有:
x2+2ax﹣3a2
=(x2+2ax+a2)﹣a2﹣3a2
=(x+a)2﹣4a2
=(x+a)2﹣(2a)2
=(x+3a)(x﹣a)
像这样,先添一适当项,使式中出现完全平方式,再减去这项,使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”,解决下列问题:
(1)分解因式:a2﹣8a+15= 
 ;
(2)若△ABC的三边长是a,b,c,且满足a2+b2﹣14a﹣8b+65=0,c边的长为奇数,求△ABC的周长的最小值;
(3)当x为何值时,多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值?并求出这个最大值.
参考答案
一.解一元二次方程-直接开平方法
1.解:(3x+1)2=(2x﹣5)2
开方得3x+1=±(2x﹣5),
故选:C.
2.解:根据题意得k+2≥0,
解得k≥﹣2.
故答案为k≥﹣2.
3.解:3x﹣2=±(2x﹣3),
3x﹣2=2x﹣3或3x﹣2=﹣2x+3,
所以x1=﹣1,x2=1.
4.解:(1)∵4(x﹣1)2=25,
∴(x﹣1)2=,
则x﹣1=或x﹣1=﹣,
解得:x=或x=﹣;
(2),
①+②,得:4x=20,
解得:x=5,
将x=5代入①,得:5﹣y=8,
解得:y=﹣3,
所以方程组的解为.
5.解:∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2,x2=﹣1,(a,m,b均为常数,a≠0),
∴方程a(x+m+2)2+b=0变形为a[(x+2)+m]2+b=0,即此方程中x+2=2或x+2=﹣1,
解得x=0或x=﹣3.
故答案为:x3=0,x4=﹣3.
二.解一元二次方程-配方法
6.解:x2﹣4x=﹣3,
x2﹣4x+4=1,
(x﹣2)2=1,
所以m=2,n=1.
故答案为2,1.
7.解:3x2﹣4x+1=0
3(x2﹣x)+1=0
(x﹣)2=
∴x﹣=±
∴x1=1,x2=
8.解:方程整理得:x2﹣2x=﹣1,
配方得:x2﹣2x+1=0,即(x﹣1)2=0,
解得:x1=x2=1.
三.配方法的应用
9.解:M=5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13=4x2﹣12xy+9y2+y2﹣4y+4+x2﹣6x+9=(2x﹣3y)2+(y﹣2)2+(x﹣3)2≥0,故M一定是非负数.
故选:A.
10.解:x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=(x+2)2+(2y﹣1)2﹣4,
又∵(x+2)2+(2y﹣1)2的最小值是0,
∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4.
∴当x=﹣2,y=时有最小值为﹣4.
11.解:∵a+b+c=2+4+6﹣14
∴a+1+b+1+c﹣2﹣2﹣4﹣6+14=0
∴[﹣2+1]+[﹣4+4]+[﹣6+9]=0
∴++=0
∴﹣1=0,﹣2=0,﹣3=0
∴=1,=2,=3
∴a+1=1,b+1=4,c﹣2=9
∴a=0,b=3,c=11
∴2b+c=2×3+11=17
故答案为:17.
12.解:4x2﹣12xy+10y2+4y﹣12
=4x2﹣12xy+9y2+y2+4y+4﹣16
=(2x﹣3y)2+(y+2)2﹣16
∵(2x﹣3y)2≥0,(y+2)2≥0
∴(2x﹣3y)2+(y+2)2﹣16≥﹣16
故答案为:﹣16.
13.解:m2+m+4=m2+m++4﹣=(m+)2+,
∵(m+)2≥0,
∴(m+)2+≥,
∴代数式m2+m+4的最小值为,
故答案为.
14.解:原式=-(x2+6x+9)+1
=-(x+3)2+1,
∵(x+3)2≥0,
∴-(x+3)2+1≤1,
则代数式x2+6x+10的最大值是1.
故答案为:1.
15.解:原式=(x2+2x+1)+(4x2﹣8xy+4y2)+3=4(x﹣y)2+(x+1)2+3,
∵4(x﹣y)2和(x+1)2的最小值是0,
即原式=0+0+3=3,
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3.
故答案为:3.
16.解:因为x2﹣2x+=(x﹣1)2+,
所以当x=1时,代数式x2﹣2x+的最小值是,
故答案是:.
17.解:(1)①∵a2﹣3a﹣1=0,
∴a2﹣1=3a,a≠0,
∴a﹣=3,
∴(a﹣)2=9,即a2﹣2+=9,
∴a2+=11;
②∵a2﹣3a﹣1=0,
∴a2=3a+1,
∴3a3﹣7a2﹣9a+2020
=3a a2﹣7a2﹣9a+2020
=3a(3a+1)﹣7a2﹣9a+2020
=9a2+3a﹣7a2﹣9a+2020
=2a2﹣6a+2020
=2(a2﹣3a)+2020
=2022;
(2)∵a2+b2=4a+10b﹣29,
∴a2﹣4a+4+b2﹣10b+25=0,
∴(a﹣2)2+(b﹣5)2=0,
∴a=2,b=5,
∵|4﹣c|=1,
∴c=3或5,
当c=3时,a+c=b,不能组成三角形,
当c=5时,△ABC为等腰三角形.
18.解:∵a+b﹣2﹣4+2=0,
∴[(a﹣1)﹣2+1]+[(b﹣2)﹣4+4)]=0,
∴+=0,
∵≥0,≥0,
∴﹣1=0,﹣2=0,
∴=1,=2,
∴a﹣1=1,b﹣2=4,
∴a=2,b=6.
∴a+b=2+6=8.
19.解:(1)∵a,b,c为△ABC的三边,
∴a﹣b+c>0,c﹣a﹣b<0,a+b>0,
∴|a﹣b+c|+|c﹣a﹣b|﹣|a+b|=a﹣b+c﹣c+a+b﹣a﹣b=a﹣b;
(2)∵a2+b2﹣2a﹣8b+17=(a2﹣2a+1)+(b2﹣8b+16)=(a﹣1)2+(b﹣4)2=0,
∴a=1,b=4,
∵a,b,c为△ABC的三边,
∴4﹣1<c<4+1,
∴3<c<5,
∵若a,b,c都是正整数,
∴c=4,
∴△ABC的周长=1+4+4=9.
20.解:(1)a2﹣8a+15=(a2﹣8a+16)﹣1=(a﹣4)2﹣12=(a﹣3)(a﹣5);
故答案为:(a﹣3)(a﹣5);
(2)∵a2+b2﹣14a﹣8b+65=0,
∴(a2﹣14a+49)+(b2﹣8b+16)=0,
∴(a﹣7)2+(b﹣4)2=0,
∴a﹣7=0,b﹣4=0,
解得,a=7,b=4,
∵△ABC的三边长是a,b,c,
∴3<c<11,
又∵c边的长为奇数,
∴c=5,7,9,
当a=7,b=4,c=5时,△ABC的周长最小,最小值是:7+4+5=16;
(3)﹣2x2﹣4x+3,
=﹣2(x2+2x+1﹣1)+3,
=﹣2(x+1)2+5,
∴当x=﹣1时,多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值,最大值是5