2021-2022学年北师大版九年级数学上册第2章一元二次方程单元达标测评（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．若方程+3x+5＝0是一元二次方程，则m的值等于（　　）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
2．已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．k≤且k≠0 C． D．k≠0
3．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．0 B．1 C．2021 D．2020
4．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+5＝0，将其化成（x+a）2＝b的形式，变形正确的是（　　）
A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11
5．长沙成为网红城市以后，游客人数逐年增加，据有关部门统计，2019年约为12万人次，若2021年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）
A．12（1+x）＝17 B．17（1﹣x）＝12
C．12（1+x）2＝17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2＝17
6．若方程x2﹣2x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12+x22的值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．若x＝1是方程（m+2）x2﹣2x+m2﹣2m﹣6＝0（m为常数）的根，则m的值为（　　）
A．﹣2或3 B．﹣2 C．3 D．1
8．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣10x+n+1＝0的两根，则n的值为（　　）
A．15 B．24 C．15或24 D．22或24
9．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
10．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则AB的长为（　　）
A．20m或5m B．25m或5m C．5m D．20m
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．已知α，β是方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，且α2﹣α+β＝5，则k的值为 　 　．
12．如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 　 　．
13．若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为 　 　．
14．松花江商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，求这个商场二、三月利润的平均增长率 　 　．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x1+x2＝　 　；若+＝﹣8，则a＝　 　．
16．菱形ABCD的两条对角线长为方程y2﹣12y+32＝0的两个根，则菱形ABCD的周长为 　 　．
17．关于x的方程（x+m﹣1）2＝b（m，b为常数，且b＞0）的解是x1＝﹣1，x2＝4，则关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2的解是 　 　．
18．关于x的方程mx2﹣4x﹣5＝0的两个实数根分别为x1和x2，若x1＝n，且mn2﹣4n+m＝6，则x12+x22的值为 　 　．
19．已知x为实数，若（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，则x2+3x＝　 　．
20．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程 　 　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x+2＝0（用公式法）；
（2）x（x﹣1）＝2（1﹣x）（用因式分解法）．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
24．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
25．红旗村的李师傅要利用家里的一面墙用铁丝网围成一个矩形苗圃，围墙的长为35米，铁丝网总长是70米．如图所示，设AB的长为x米，BC的长为y米．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）当苗圃的面积是600平方米时，求出x，y的值；
（3）苗圃的面积能否达到700平方米？如果能，求出x，y的值；如果不能，请说明理由．
26．安庆某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．
（1）若该商场某天降价了5元，则当天可售出 　 　台，当天共盈利 　 　元．
（2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？
（3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：由题意得，，
解得m＝﹣1，
故选：C．
2．解：①当k＝0时，﹣3x+1＝0，解得x＝；
②当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤，
由①、②得，k的取值范围是k≤．
故选：A．
3．解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，
∴a2+a＝2021，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2021﹣1＝2020．
故选：D．
4．解：方程x2﹣8x+5＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣5，
配方得：x2﹣8x+16＝11，即（x﹣4）2＝11．
故选：D．
5．解：设游客人数的年平均增长率为x，
则2020的游客人数为：12×（1+x），
2021的游客人数为：12×（1+x）2．
那么可得方程：12（1+x）2＝17．
故选：C．
6．解：∵方程x2﹣2x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2）2﹣2×1＝6．
故选：B．
7．解：把x＝1代入（m+2）x2﹣2x+m2﹣2m﹣6＝0，得（m+2）﹣2+m2﹣2m﹣6＝0．
解得m1＝﹣2，m2＝3．
故选：A．
8．解：当2为底边长时，则a＝b，a+b＝10，
∴a＝b＝5．
∵5，5，2能围成三角形，
∴n+1＝5×5，
解得：n＝24；
当2为腰长时，a、b中有一个为2，则另一个为8，
∵8，2，2不能围成三角形，
∴此种情况不存在．
故选：B．
9．解：∵x1为方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
10．解：设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则BC边的长为（49+1﹣2x）m，
依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，
整理得：x2﹣25x+100＝0，
解得：x1＝5，x2＝20．
当x＝5时，49+1﹣2x＝49+1﹣2×5＝40＞35，不合题意，舍去；
当x＝20时，49+1﹣2x＝49+1﹣2×20＝10＜35，符合题意．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：：∵方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k≥0，
解得k≤1，
∵α，β是方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，
∴α2﹣2α+k＝0，α+β＝1，
∴α2﹣2α＝﹣k，
∵α2﹣α+β＝5，
∴α2﹣2α+α+β＝5，
∴﹣k+1＝5，
∴k＝﹣4，
故答案为﹣4．
12．解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝42﹣4（k﹣1）×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣3且k≠1．
故答案为k＞﹣3且k≠1．
13．解：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，
∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9；
当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，
∴4﹣12+m＝0，解得m＝8，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∵2+2＝4，
∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，
综上所述，m的值为9．
故答案为9．
14．解：设商场的二、三月份的总收入平均增长率为x，
由题意得：100（1+x）2＝121，
解之得：x＝0.1或﹣2.2；
考虑实际应用，﹣2.2不合题意舍去；
∴x＝0.1＝10%．
答：这个商场的二、三月份的总收入平均增长率为10%，
故答案为：10%．
15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2+4a2＞0．
∴a是任意实数．
根据题意知，x1+x2＝2，x1 x2＝﹣a2，
则由+＝﹣8得：＝＝﹣8．
解得a＝±．
故答案是：2；±．
16．解：∵y2﹣12y+32＝0，
∴（y﹣8）（y﹣4）＝0，
∴y﹣8＝0或y﹣4＝0，
解得y1＝8，y2＝4，
即菱形ABCD的对角线长为8和4，
∴菱形的边长＝＝2，
∴菱形ABCD的周长为4×2＝8．
故答案为．
17．解：∵方程m2+2mx＝b﹣x2整理得（x+m﹣1+1）2＝n，
把方程关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2看作关于x+1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m﹣1）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4，
所以x+1＝﹣1，x+1＝4，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
故答案为x1＝﹣2，x2＝3．
18．解：∵关于x的方程mx2﹣4x﹣5＝0的两个实数根分别为x1和x2，且x1＝n，
∴mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，
∵mn2﹣4n+m＝6，
∴5+m＝6，
解得m＝1，
则方程为x2﹣4x﹣5＝0，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣5，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝42﹣2×（﹣5）
＝16+10
＝26，
故答案为：26．
19．解：设y＝x2+3x，则y2+2y﹣3＝0，
整理，得（y+3）（y﹣1）＝0．
所以y+3＝0或y﹣1＝0．
解得y＝﹣3或y＝1．
当y＝﹣3时，x2+3x＝﹣3，此时该方程无解，故舍去．
综上所述，x2+3x＝1．
故答案是：1．
20．解：∵小明看错了一次项系数b，
∴c＝x1 x2＝1×2＝2；
∵小刚看错了常数项c，
∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7，
∴b＝﹣7．
∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．
故答案为：x2﹣7x+2＝0．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）x2﹣4x+2＝0，
a＝1，b＝﹣4，c＝2，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，
∴x＝＝，
∴，；
（2）x（x﹣1）＝（1﹣x），
x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或x+2＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣2．
22．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣8m≥0，
解得：m≤．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2m﹣2，x1 x2＝m2，
∵x12+x22＝8﹣3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，
解得：m1＝﹣，m2＝2（舍去），
∴实数m的值为﹣．
23．（1）证明：∵Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×（2m﹣8）
＝m2﹣4m+4﹣8m+32
＝m2﹣12m+36
＝（m﹣6）2．
∵（m﹣6）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0，
可得（x﹣2）（x﹣m+4）＝0，解得x1＝2，x2＝m﹣4，
若方程有一个根为负数，则m﹣4＜0，
故m＜4．
24．解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
25．解：（1）依题意得：2x+y＝70，
∴y＝﹣2x+70．
∵0＜y≤35，即，
解得：≤x＜35．
∴y＝﹣2x+70（≤x＜35）．
（2）依题意得：xy＝600，即x（﹣2x+70）＝600，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15（不合题意，舍去），x2＝20，
∴y＝﹣2x+70＝﹣2×20+70＝30．
答：当苗圃的面积是600平方米时，x的值为20，y的值为30．
（3）不能，理由如下：
依题意得：xy＝700，即x（﹣2x+70）＝700，
整理得：x2﹣35x+350＝0．
∵Δ＝（﹣35）2﹣4×1×350＝﹣175＜0，
∴该方程没有实数根，
∴苗圃的面积不能达到700平方米．
26．解：（1）30+2×5＝30+10＝40（台），
（50﹣5）×40＝45×40＝1800（元）．
故答案为：40；1800．
（2）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50﹣x）元，每天可以售出（30+2x）台，
依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15，x2＝20．
∵尽快减少库存，
∴x的值应为20．
答：每台空气加湿器应降价20元．
（3）不能，理由如下：
设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50﹣y）元，每天可以售出（30+2y）台，
依题意得：（50﹣y）（30+2y）＝2500，
整理得：y2﹣35y+500＝0．
∵Δ＝（﹣35）2﹣4×1×500＝1225﹣2000＝﹣775＜0，
∴该方程无实数根，
∴商场平均每天盈利不能达到2500元