第一章 勾股定理 单元检测卷 2021-2022学年北师大版数学八年级上册 （word版含答案）

北师版数学八年级上册《第一章
勾股定理》单元检测卷
一、单选题
1.在西方，人们称为毕达哥拉斯定理，在我国把它称为勾股定理，其具体内容指的是（
）
A.如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2
B.如果直角三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2=c2
C.如果三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2=c2
D.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2
，
那么这个三角形是直角三角形
2.一直角三角形两
直角边长分别为5和12，则斜边长为（
）
A.5
B.12
C.13
D.17
3.如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（
）
A.140米
B.120米
C.100米
D.90米
4.如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（
）
A.16
B.25
C.144
D.169
5..一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（
）千米．
A. 26 B. 18 C. 13 D. 32
6.下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是(
)
A. 9，12，15 B. 7，24，25 C. 15，36，39 D. 12，15，20
7.已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角度数之比为3∶4∶5；③三边长分别为7，24，25；④三边长之比为5∶12∶13.其中直角三角形有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8..在
中，若
，则（
）
A. B. C. D. 不能确定
9.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（
）
A.5.3尺
B.6.8尺
C.4.7尺
D.3.2尺
10.如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（
）
A.5尺
B.25尺
C.13尺
D.12尺
11.如图，在高为
，坡面长为
的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（
）
A.
B.
C.
D.
12..如图，圆柱形玻璃板，高为12cm
，
底面周长为18cm
，
在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（
）cm
．
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
二、填空题
13.如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为________.
14.如图，A代表所在的正方形的面积，则A的值是________.
15.如图，在
中，
，则三个半圆面积S1
，
S2
，
S3的关系为________．
16.在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是________．
17.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为________m.
18.如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入________元.
三、解答题
19.在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C
的对边分别为
a、b、c
．
若
a∶c＝15∶17，b＝24，求
a.
20..《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
21.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝1，判断△AEF是不是直角三角形？试说明理由．
22..《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何 题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点
和点
距离门槛
都为1尺（1尺=10寸），则
的长是多少
23.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升时总是沿最短路线螺旋前进，难道植物也懂数学？
通过阅读以_上信息，解决下列问题：
（1）如果树干的周长(即图中圆柱体的底面周长)为30cm，绕一圈升高(即圆柱的高)40cm，则葛藤绕行一圈的最短路程是多少？
（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈最短爬行100cm，爬行10圈到达树顶，则树干高多少？
24.勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．
（1）（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．
（2）（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积
，
，
之间满足的等量关系是：________．
（3）迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形
，
，
，
的边长分别是
，
，
，
，则正方形
的面积是________．
（4）（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积
，
，
之间满足的等量关系是________．
（5）迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为
，
，斜边长为
，分别以三边为直径作半圆．若
，
，则图中阴影部分的面积等于________．
（6）（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有
尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部
尺处时绳索用尽．问绳索长多少？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
2.【答案】
C
3.【答案】
C
4.【答案】
B
5.【答案】
A
6.【答案】
D
7.【答案】
C
8.【答案】
B
9.【答案】
D
10.【答案】
D
11.【答案】
A
12.【答案】
B
二、填空题
13.【答案】
24
14.【答案】
144
15.【答案】
16.【答案】
如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
17.【答案】
17
18.【答案】
7200
三、解答题
19.【答案】
解：设a=15x，则c=17x，
由勾股定理得，（15x）2+242=（17x）2
，
解得，x=3，
则a=15x=45．
20.【答案】
解：依题意画出图形，如下图，
设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x-1）尺，
因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，
在Rt△ACB'中，52+（x-1）2=x2
，
解得：x=13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
21.【答案】
解：△AEF是直角三角形．
理由：∵正方形的边长为4，E是BC的中点，CF＝1，
∴DF＝3，CE＝BE＝2．
由勾股定理得：AF2＝AD2+DF2＝16+9＝25，
EF2＝CE2+CF2＝4+1＝5，
AE2＝AB2+BE2＝16+4＝20，
∴AF2＝EF2+AE2
，
∴△AEF为直角三角形．
22.【答案】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA=OB=AD=BC，
设OA=OB=AD=BC=r寸，
则AB=2r（寸），DE=10寸，OE=
CD=1寸，
∴AE=（r
1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2=AD2
，
即（r
1）2+102=r2
，
解得：r=50.5，
∴2r=101（寸），
∴AB=101寸.
23.【答案】
（1）解：如图①所示，将圆柱的侧面展开后，该侧面是长方形，AA'=30
cm，高是40
cm，
则A'B'=40
cm，所以AB'2=
AA'2+A'B'2=502
，所以绕行一圈的最短路程为50
cm．
（2）解：如图②所示，因为底面圆的周长为80
cm，即AA'=80
cm，绕一圈最短爬行100
cm，
则AB'
=
100
cm，
在Rt△AB'A'中，因为A'B'2=AB'2-
AA'2=1002-
802=602
，所以A'B'=60
cm，所以树干高=
60×10=
600(cm)，600
cm=6
m．
所以树干高为6
m
24.【答案】
（1）由题意得：②的面积为a2+b2+2
ab=a2+b2+ab；
图③的面积为c2+2
ab=c2+ab，
∴a2+b2+ab=c2+ab，
即a2+b2=c2；
（2）S1+S2=S3
（3）47
（4）S1+S2=S3
（5）30
（6）设绳索长为x尺，根据题意得：
x2-（x-3）2=82
，
解得：x=
，
答：绳索长为
尺．