25.3 用频率估计概率-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（word版含答案）

25.3用频率估计概率
知识点1
用频率估计概率
例1．在一个不透明的盒子中装有若干个黑球和白球，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则摸到白球的概率约为（
）
A．0.8
B．0.3
C．0.2
D．0.5
变式2．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
0.26
0.253
（1）补全上表中的有关数据
；
（2）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是
；（精确到0.01）
（3）估算袋中白球的个数．
3．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
16
14
25
20
12
13
（1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
（2）小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”．小亮的说法正确吗？
（3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
知识点2
由概率计算频率或频数
例4．小覃和小莫两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次试验，实验的结果如下：
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
12
19
15
18
20
x
（1）求表格中x的值．
（2）计算“3点朝上”的频率．
（3）小覃说：“根据实验，一次实验中出现1点朝上的概率是12%”：小覃的这一说法正确吗？
（4）小莫说：“如果掷6000次，那么出现5点朝上的次数大概是1500次左右．”小莫的这一说法正确吗？为什么？
变式5．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒．
A．
B．
C．
D．
6．在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是_____.
课堂练习
7．某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规定：顾客随机转转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域就能获奖（若指向分界线，则重转）．通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.2附近，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（　　）
A．90°
B．72°
C．60°
D．45°
8．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（
）
A．
B．
C．
D．
9．数学兴趣小组在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的频率分布散点图，则符合这一结果的实验可能是（　　）
A．抛掷一枚硬币，正面向上的概率
B．抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率
C．从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率
D．两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率
10．下表是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：
每批粒数
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数
96
282
382
570
948
1904
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.952
0.950
对于下列推断：
①当为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；
②随着试验大豆粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；
③若大豆粒数为4000，可以估计大豆发芽的粒数大约为3800粒；
④通过表格中的试验数据可以确定，若试验大豆为2500粒，则大豆发芽的概率是0.951．
正确的是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
11．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的小球共20只．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回袋里，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：表
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数n
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近
　
　（精确到0.1）
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率
　
　，摸到黑球的概率
　
　．
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
12．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小明做摸球实验，搅匀后，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
70
124
190
325
538
670
2004
摸到白球的频率
0.70
a
0.633
0.65
0.6725
0.670
0.668
（1）在表中：______；
（2）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到0.01）
（3）试估算盒子里有______只黑球．
试卷第4页，总4页
参考答案
1．C
【分析】
概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【详解】
解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴摸到白球的概率约为0.2．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
2．（1）0.251；（2）0.25；（3）3
【分析】
(1)依据图表中的数据及数据间的关系，摸到黑球次数÷摸球的次数即可求得；
(2)利用摸到黑球的频率进行求解平均值即可；
(3)设白球的个数为个，利用黑球的概率，可求解；
【详解】
(1)依题可知，摸到黑球的频率为：摸到黑球次数÷摸球的次数；摸到黑球的频率为：；
(2)利用实验数据的处理方法，对所得的摸到黑球的频率进行求解平均值：
；
(3)
设白球的个数为个，
结合(2)中摸到黑球的概率为：；
∴
，可得：；
∴估算袋中的白球个数为3个；
【点睛】
本题考查频率、频数、概率的定义及关系式，重点在理解和应用概率来解决问题求值；
3．（1）“1点朝上”的频率为0.16，“6点朝上”的频率为0.13；（2）不正确；（3）
【分析】
（1）由共做了100次试验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为16，13，即可求得“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率．
（2）由一次试验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确；
（3）利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）“1点朝上”的频率为：16÷100＝0.16；
“6点朝上”的频率为13÷100＝0.13；
（2）小亮的判断是错误的；
因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；
小亮的判断是错误的；因为事件发生具有随机性；
（3）任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，其中不小于4一共有3种情况，
∴P（朝上的点数不小于4）＝＝．
【点睛】
本题考查了概率公式，解题的关键是掌握试验中的概率等于所求情况数与总情况数之比；实际概率是经过多次试验后得到的一个接近值．
4．（1）16；（2）；（3）不正确；（4）不正确，见解析．
【分析】
（1）总次数减去1、2、3、4、5点出现的总次数即可求得；
（2）利用频率公式计算即可；
（3）利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率即可完成；
（4）根据随机事件发生的概率的意义回答即可答案．
【详解】
（1）由题意得：x=100-12-19-15-18-20=16
（2）“3点朝上”出现的次数是15，所以“3点朝上”的频率为：
（3）小覃的这一说法不正确．因为1点朝上的频率是12%，不能说明1点朝上的概率是12%，只有当实验的次数足够多时，事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以把这个频率的稳定值作为该事件发生的概率．
（4）小莫说法不正确的，因为5点朝上的频率是20%，所以掷6000次，则出现5点朝上的次数大概是1200次左右．
【点睛】
本题考查了频率的计算，用频率估计概率，关键是了解“大量重复实验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”．
5．B
【分析】
设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可．
【详解】
设瓶子中有豆子粒豆子，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：估计瓶子中豆子的数量约为粒．
故选：．
【点睛】
本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
6．6
【分析】
根据概率公式得到＝，然后利用比例性质求出n即可.
【详解】
解：根据题意得＝
解得n＝6，
经检验：n＝6是分式方程的解，
所以口袋中小球共有6个.
故答案为：6.
【点睛】
此题主要考查概率公式的运用，解题的是熟知概率公式的运用.
7．B
【分析】
由概率公式的意义即可得出答案．
【详解】
解：∵通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.2，
∴可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是360°×0.2=72°；
故选B．
【点睛】
本题考查了概率公式的应用；理解题意，熟练掌握概率公式是解题的关键．
8．C
【分析】
先求出正方形二维码的面积，再根据点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，然后进行计算即可得出答案．
【详解】
解：∵正方形二维码的边长为3cm，
∴正方形二维码的面积为9cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积约为：9×0.6＝5.4；
故选C．
【点睛】
本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
9．C
【分析】
根据统计图可知，试验结果在0.6附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.6者即为正确答案．
【详解】
解：、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
、抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率为，故此选项不符合题意；
．从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率为，故此选项符合题意；
．两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率为，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大．
10．B
【分析】
根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．
【详解】
解：①当n=400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误；
②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计大豆发芽的概率是0.95，此推断正确；
③若n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为4000×0.950=3800粒，此结论错误．
通过表格中的试验数据可以确定，若试验大豆为2500粒，则大豆发芽的概率是0.95，故此结论错误．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
11．（1）0.60；（2）0.6，0.4；（3）黑、白两种颜色的球各有8只、12只
【分析】
（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近表格中频率的平均数，求出平均数即可；
（2）根据（1）中求得的摸到白球的频率即可得；
（3）用球的总个数乘以各自的频率即可求得球的个数．
【详解】
解：（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近（0.58+0.64+0.58+0.59+0.605+0.601）÷6≈0.60，
故答案为：0.60；
（2）摸到白球的概率是0.60，摸到黑球的概率是1-0.60=0.40，
故答案为0.60，0.40；
（3）白球有20×0.60=12（只），黑球有20-12=8（只），
答：黑、白两种颜色的球各有8只、12只.
【点睛】
本题主要考查了用频率估计概率，知道概率求数量，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
12．（1）0.62；（2）0.67；（3）33
【分析】
（1）根据摸到白球的频率计算即可；
（2）根据大量重复实验下摸球的频率可以估计概率，据此求解即可；
（3）根据摸出白球的概率求出摸出黑球的概率，用摸出黑球的概率乘以总数100即可求得；
【详解】
（1），
，
故答案为：0.62；
（2）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.67，
故答案为：0.67；
（3）依题意的：，
所以，估计盒子里有33只黑球．
故答案为：33．
【点睛】
本题考查了用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，理解频率估计概率是解题的关键．
答案第6页，总6页