25.2.2 用树状图求概率-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（word版含答案）

25.2第二课时用树状图求概率
知识点1
用树状图求概率
例1．现有四张正面分别标有数字﹣1、0、1、2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记下数字m，再从剩下的卡片中随机抽取一张记下数字n，则点(m，n)在抛物线y＝x2-1上的概率为______．
变式2．甲、乙两名同学分别从《我和我的家乡》、《夺冠》、《姜子牙》三部电影中随机选择一部观看．
（1）甲同学选择《夺冠》的概率是　
　；
（2）求甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率．
3．有三张正面分别标有数字1，2，3的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为　
　；
（2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率．
知识点2
游戏公平性问题
例4．小明和小颖制作了10张游戏卡片，卡片上所标数字分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，它们除数字外其余均相同．游戏规则：将卡片洗匀后数字面朝下，小明从中任意抽取一张（不放回），小颖再从剩余的卡片中任意抽取一，谁摸到的卡片所标数字大谁就获胜．然后两人把摸到的卡片都放回，重新开始游戏．
（1）若小明已经摸到的卡片所标数字为3，则小明获胜的概率为　　　　，小颖获胜的概率为　　　　．
（2）若小明已经摸到的卡片所标数字为5，那么小颖摸到的卡片所标数字是偶数且获胜的概率是多少？
变式5．在班上组织的“元旦迎新晚会”中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示，游戏规定：随意转动转盘，若指针指到偶数，则小丽去；反之，则小芳去．你认为这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改转盘中的数字，使这个游戏变得公平．
6．“为自己和他人的生命健康与安全加份保险﹣﹣让救护知识走进千万家”的声音正从医务界响彻全社会，学习并掌握急救护理知识成为现代社会的新时尚．为了解学生对急救护理知识的掌握程度，甲、乙两个学校各组织了急救护理知识测试（同份题），现从两校各随机抽取20名学生的测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，共分成四组：A.60≤x≤69，B.70≤x≤79，C80≤x≤89，D.90≤x≤100）下面给出了部分信息：
a．甲校学生的测试成绩是：
78
86
74
80
75
76
87
70
75
90
75
80
80
70
74
80
86
69
84
77
b．乙校学生的测试成绩在B组中的数据是：73
77
70
73
78
70
c．乙校学生测试成绩的扇形统计图及甲、乙两所学校学生测试成绩的平均数、中位数．众数：
甲校
乙校
平均数
78.3
78.3
中位数
n
80
众数
80
81
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝_______，n＝_______，扇形统计图中，C组所占扇形圆心角的度数是_______；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两所学校中，哪所学校的学生对急救护理知识掌握的比较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）通过此次急救护理知识测试，小明对医学产生了很大的兴趣，他准备从基础医学、临床医学、法医学、预防医学这四类中随机选择两类进行更加细致地研读学习，请用树状图或表格求他选中的两类医学中包括法医学的概率．
课堂练习
7．小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下方式决定谁去参加活动：将一个转盘九等分，分别标上1至9九个数字．
（1）任意转动一次转盘，转到的数字是2的倍数的概率是多少？
（2）若转到的数字是2的倍数（6除外），小亮参加活动；若转到的数字是3的倍数（6除外），小芳去参加活动，若转到的数字是6或其它数字，则重新转动转盘。你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
8．4张看上去无差别的卡片上分别印正三角形、菱形、正五边形、圆．将印有图案的一面朝下，混合均匀．
（1）从中随机抽取1张，抽到的图案是中心对称图形的概率为　
　；
（2）从中随机抽取两张，求抽到的图案都是中心对称图形的概率．
9．现有三张鼠年生肖邮票，三张邮票除图案之外，其余都相同，将这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的概率．（注：三张邮票从左到右依次可标记为A、B、C）
10．放寒假期间，小明和小李准备去眉山市内的仁寿黑龙滩（记为A），柳江古镇（记为B），瓦屋山风景区（记为C）的其中一个景点游览，他们各自在这三个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性都相同．
①小明选择去仁寿黑龙滩游览的概率是多少？
②用画树状图或列表的方法求小明和小李分别去不同景点游览的概率．
11．现有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里装有1个红球，1个黄球；乙袋子里装有1个红球，1个白球，这些球除颜色外其余完全相同．
（1）从甲袋子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率为
　　；
（2）从甲袋子里随机摸出一个球，再从乙袋子里随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色相同的概率是多少？
12．小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其他号码（或者在数字与数字之间的交界线上），则重新转动转盘．
（1）转盘转到2的倍数的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
试卷第4页，总4页
参考答案
1．
【分析】
画树状图展示所有12个等可能的结果数，其中点在抛物线上的结果数为3个，再根据概率公式求解．
【详解】
解：画树状图为：
共有12个等可能的结果数，其中点在抛物线上的结果数为3个，分别为（-1，0），（0，-1），（1，0），
点在抛物线上的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
2．（1）；（2）．
【分析】
（1）利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两人选择同一部电影的情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）∵有三部不同的电影，恰好选择《夺冠》的有1种情况，
∴甲同学选择《夺冠》的概率是；
故答案为：；
（2）《我和我的家乡》、《夺冠》、《姜子牙》三部电影分别用A、B、C表示，画树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的有3种，
则甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率是．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率，正确列表或画出树状图，掌握概率公式是解题的关键．
3．（1）；（2）两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率为．
【分析】
（1）由概率公式即可得出结果；
（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之和等于5的结果，再由概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字和等于5的结果有2个，
∴两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率=．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
4．（1）；；（2）．
【分析】
（1）先确定小颖抽到的所有可能结果数和获胜结果数，然后再用概率公式求解即可；然后用1减去小明获胜的概率即可得到小明获胜的概率；
（2）先确定小颖抽到的所有结果数和获胜结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）小颖抽到的所有结果数和获胜结果数分别是9和7，则小颖获胜的概率为：；
小明获胜的概率为：1-=；
（2）小颖抽到的所有结果数和获胜结果数分别是9和3，则小颖获胜的概率为：=．
答：小颖获胜的概率为．
【点睛】
本题主要考查了概率在游戏中的应用及概率公式，根据题意确定游戏所有可能结果数和获胜结果数是解答本题的关键．
5．这个游戏不公平，理由见解析；转盘中的数字可这样修改：将其中的1改成6．
【分析】
根据所有出现的可能，分别计算每个人能赢的概率，即可解答．
【详解】
解：（1）这个游戏不公平，因为偶数有2个，奇数有4个，摸到奇数的概率是，摸到偶数的概率是，，所以，小芳去的可能性大．
（2）转盘中的数字可这样修改，将其中的1改成6，使奇数偶数各占一半．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（1）30，77.5，162°；（2）乙校的学生对急救护理的掌握比较好，理由见解析；（3）
【分析】
（1）根据题意可求得乙校学生成绩在B组中所占的百分比，从而可得m的值；把甲校20名学生的测试成绩按从小到大排列后即可求得中位数，从而可求得n的值；分别求出乙校学生成绩在A组、D组、C组的人数，则根据360°×C组成绩所占的百分比，可得到圆心角的度数；
（2）由于平均数相同，只要比较中位数和众数即可，谁高谁好；
（3）画出树状图，用概率公式求出即可．
【详解】
（1）乙校学生的测试成绩在B组中的数据个数有6个，
则m%＝6÷20×100%＝30%，
∴m＝30，
对甲校20名学生的测试成绩排序为：69
70
70
74
74
75
75
75
76
77
78
80
80
80
80
84
86
86
87
90，
则甲校的中位数为：n＝＝77.5（分），
∵A组的人数为：20×＝3（人），D组的人数为：20×10%＝2（人），
∴C组的人数为：20﹣6﹣3﹣2＝9（人），
∴C组所占扇形圆心角的度数是：360°×＝162°，
故答案为：30，77.5，162°；
（2）乙校的学生对急救护理的掌握比较好，理由如下：
甲、乙两校学生测试成绩的平均值相同，乙校成绩的中位数、众数均高于甲校；
（3）把基础医学、临床医学、法医学、预防医学分别记为A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，小明选中的两类医学中包括法医学的结果有6个，
∴P（小明选中的两类医学中包括法医学）＝．
【点睛】
本题考查了扇形统计图，反映数据集中趋势的统计量：众数、平均数、中位数以及应用它们做决策，求随机事件的概率，关键弄清题意，读懂扇形统计图．
7．（1）；（2）游戏不公平，理由见解析
【分析】
（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）利用概率公式计算出两人去参加活动的概率判断即可．
【详解】
解：（1）共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中2的倍数有4个，
（转到2的倍数）；
（2）游戏不公平，理由如下：
共有9种等可能的结果，其中3的倍数有3、6、9共3种可能，2的倍数有2，4，6，8共4种可能，
由于转到6时需要重新转转盘，故6舍去，
小亮去参加活动的概率为：，
小芳去参加活动的概率为：，
，
游戏不公平．
【点睛】
本题考查了根据概率公式计算概率，游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
8．（1）；（2）
【分析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：（1）从中随机抽取1张，抽到的图案是中心对称图形的概率为，
故答案为：；
（2）分别用A、B、C、D表示正三角形、菱形、正五边形、圆，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有2种情况，
∴抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为＝．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成的事件，树状图法适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．
【分析】
先画出树状图，共有9个等可能的结果，抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的结果有4个，然后由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的结果有4个，
∴抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的概率为．
【点睛】
本题考查的是用列表法与树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，需用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．①；②见解析，
【分析】
①直接利用概率公式求解可得．
②先画出树状图，根据树状图可以求得所有等可能的结果以及小明和小李分别去不同景点游览的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：①小明选择去仁寿黑龙滩游览的概率是；
②画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小李分别去不同景点游览的情况有6种结果，
∴小明和小李分别去不同景点游览的概率为．
【点睛】
此题考查随机事件的概率计算，涉及到树状图法表示概率的方法．
11．（1）；（2）
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有4种等可能的结果，摸出的两个球颜色相同的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）从甲袋子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有4种等可能的结果，摸出的两个球颜色相同的结果有1种，
∴摸出的两个球颜色相同的概率为．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（1）P（转到2的倍数）＝；（2）游戏不公平．理由见详解．
【分析】
（1）先求出转盘上所有2的倍数，再根据概率公式解答即可；
（2）首先求得所有等可能的结果与3的倍数的情况，再利用概率公式求解，比较即可．
【详解】
解：（1）∵共有9种等可能的结果，
其中2的倍数有4个，
∴P（转到2的倍数）＝；
（2）游戏不公平．理由如下：
∵共有9种等可能的结果，
其中3的倍数有3个，
∴P（转到3的倍数）＝＝
．
∵＞，
∴游戏不公平．
【点睛】
本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
答案第8页，总8页