广西桂林市普通高中学校联盟2022届高三上学期10月质量监测数学文试题（PDF版，含解析）

广西普通中学
2021-2022秋季
10月教学质量检测
高三年级
数学

文科


考试时间
120
分钟，满分
150
分

说明：
1.本试卷分第
I卷

选择题
和第
II卷

非选择题
两部分.
2.请在答题卷上答题

在．本．试．卷．上．答．题．无．效．

3.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
第
I卷（选择题）
评卷人
得分
一、选择题(共
12题，每题
5分，60分)
1．已知向量

=
(cosθ, sinθ), θ
∈
[0, π],
=
(
3,

1).若|2

|
<
m
恒成立，则实数
m
的范围是
A.[4,
+
∞)
B.(4,
+
∞)
C.(2,
+
∞)
D.(4, 10)
2．已知奇函数
f
x
在

上是增函数,g
x
=
xf
x
.若
a
=
g(

log20.5),b
=
g(20.8),c
=
g(3),
则
a,b,c
的大小关系为
A.a
<
b
<
c
B.c
<
b
<
a
C.b
<
a
<
c
D.b
<
c
<
a
4
3．函数
y
=
x3的图象是
A.
B.
C.
D.
4．已知
，
，则“
”是“
”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5．已知ΔABC
中,满足
b
=
2,B
=
60°的三角形有两解,则边长
a
的取值范围是
A.
3
<
a
<
2
B.
1
<
a
<
2
2
2
C.2
<
a
<
4
3
D.2
<
a
<
2
3
3
6．若
f
x
=
x3
+
ax2
+
bx

a2

7a
b在
x
=
1
处取得极大值
10,则
的值为
a
A.

3

1
B.

3
1或
或
C.
3
D.

1
2
2
2
2
2
2
7．已知函数
f
x
=
e|x|
+
cosx,若
f(2x

1)
≥
f(1),则
x
的取值范围为
A.(

∞,0]
∪
[1,
+
∞)
B.[0,1]
C.(

∞,0]
D.[1,
+
∞)
8．已知
0
<
a
<
b
<
1,p
=
ab,q
=
ba,r
=
logba,则
p,q,r
的大小关系是
A.p
<
q
<
r
B.p
<
r
<
q
C.r
<
p
<
q
D.q
<
p
<
r
1

e x,x
≤
0
9．已知函数
f
x
=
，|f
x
|
≥
ax,则实数
a
的取值范围为
2x,x
>
0
A.(

∞,0]
B.(

∞,

1]
C.[

2,0]
D.[

1,0]
10．设函数
y=
f
x
)在区间
D上的导函数为
f′(x)，f′(x)在区间
D上的导函数为
g(x).若在区
间
D上，g(x)＜0恒成立，则称函数
f
x
在区间
D上为“凸函数”.已知实数
m是常数，f
x
=
x4
3
mx

3x
2
若对满足|m|≤2的任何一个实数
m，函数
f
x
在区间(a，b)上都为“凸函数”，则
12
6
2
b a的最大
为
A.3
B.2
C.1
D. 1
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.4
B.5
3
2
C.7
D.5
3
3
12．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是
A.f
x
=
|x|
x
B.f
x
=
ln(
x
2
+
1

x)
x
x
2
C.f
x
=
e
+e
ex e x
D.f
x
=
1 x
|x+3|+|4 x|
第
II卷（非选择题）
评卷人
得分
二、填空题(共
4题，每题
5分，共
20分)
13．已知函数
f
x
=
2sinωx
[
π
π在区间
﹣
，
]上的最小值为
2，则ω的取值范围
4
6
为
.
14.角
A、B、C
所对的边分别为
a、b、c,且
acosB

bcosA
=
1
c,
2
当
tan(A

B)取最大值时,角
C
的值为
15．已知
满足约束条件
,若目标函数
z
=
ax
+
by(a
>
0,b
>
0)的最大值
7
3+
4为
，则
的最小值为_________.
a
b
16．下面有四个命题：①函数
y
=
sin4x

cos4x
的最小正周期是π.②函数
f
x
=
3sin(2x

π
)的图象关于直线
x
=
11
π对称；③在同一坐标系中，函数
y
=
sinx
的图象和函数
y
=
x
的
3
12
图象有三个公共点.④把函数
y
=
3sin(2x
+
π
)
π的图象向右平移
得到
y
=
3sin2x
的图象．其
3
6
中真命题的序号是
(写出所有真命题的编号)
评卷人
得分
三、解答题(共
6题，共
70分)
17．(本题
10分)在△ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c,已知
sinA+
3cosA=0,
1(1)求
c;
(2)设
D为
BC边上一点,且
AD⊥AC,求△ABD
的面积.
18．(本题
12分)已知命题
：任意
，有
，命题
：存在
，使得
.若“
或
为真”，“
且
为假”，求实数
的取值范围.
19．(本题
12分)
1已知函数
f
x
=
lnx
+
a(1

),a
∈
．
x
(1)若
a
=
1,试求
f
x
的最小值;
(2)若 x
≥
1
都有
f
x
≥
0
恒成立,求
a
的取值范围.
20．(本题
12分)已知命题
P：函数
y
=
loga(1

2x)在定义域上单调递增；命题
Q：不等式
(a

2)x2
+
2(a

2)x

4
<
0
对任意实数
x恒成立；若
P
∨
Q
是真命题，P
∧
Q
是假命题，
求实数
a的取值范围.
21(
1+lnx本题
12分)已知函数
f
x
=
.
x
(Ⅰ)若函数
f
x
在区间(a,a
+
1
)(a
>
0)上存在极值点,求实数
a
的取值范围;
3
(Ⅱ)当
x
≥
1
k时,不等式
f
x
≥
恒成立,求实数
k
的取值范围;
x+1
22．(本题
12分)已知
A(

1，0),B(1，0)，动点M满足∠AMB
=
2θ，|AM|

|BM|

cos2θ
=
3，设M的轨迹为曲线
C，
(1)求曲线
C的方程；
(2)过
A的直线l1与曲线
C交于
E、F两点，过
B与l1平行的直线l2与曲线
C交于
G、H两
点，求四边形
EFGH的面积的最大值.
广西普通中学
2021-2022秋季
10月教学质量检测
高三年级
数学

文科

参考答案
1.B
【解析】本题考查平面向量数量积、向量的模、三角函数恒等变换、三角函数最值，意在
考查考生的分析理解能力与运算求解能力.依题意，
|2

|=
42

4


+
2=
8

4(
3cosθ

sinθ)=
8

8cos(θ
+
π
)，由θ
∈
[0, π],得
6
θ
+
π
∈
[
π
,
7π
]，得
cos(θ
+
π
)
∈
[

1,
3
]，故|2

|的最大值为
4,得
m
>
4.故本题正确
6
6
6
6
2
答案为
B.
2.A
【解析】本题考查函数的基本性质.解答本题时要注意先根据条件确定函数的奇偶性及单调
性,然后比较大小.因为奇函数
f
x
在

上是增函数,所以
g
x
=
xf
x
是偶函数,在(0,
+
∞)上
是增函数,所以在(

∞,0)上是减函数.因为
3
>
20.8
>
1.所以
g
3
>
g
20.8
>
g

log20.5
=
g(1),即
a
<
b
<
c.故选
A.
3.A
【解析】本题考查函数的图像与性质。由题意知函数是偶函数，排除
D；当
x=10时，
，排除
B、C；选
A。
4.A
【解析】本题考查充分必要条件，基本不等式。
，所以充分性成立；令
x=0，y=4，满足
，但不满足
，所以必要性不成立。所以，则“
”是“
”的充分
不必要条件。选
A。
5.C
【解析】本题主要考查正弦定理.因为满足
b
=
2,B
=
60°
b的三角形有两解,所以
b
<
a
<
,
sinB
所以
2
<
a
<
4
3
.
3
6.C
【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.f'
x
=
3x2
+
2ax
+
b;因为
f
x
在
x
=
1
处取得
'
10,
f
1
=
3
+
2a
+
b
=
0
a
=
2
a
=
6极大值
所以
f
1
=
1
+
a
+
b

a2
，解得
或
;而当

7a
=
10
b
=
1
b
=
9
a
=
2
,f
x
x
=
1
a
=
6
b
3b
=
1
时
在
处取得极小值；所以
b
=
9
,即
=
.选
C.a
2
7.A
【解析】本题主要考查导数与函数的性质.
因为
f

x
=
f
x
,且
x>0时
f
x
=
ex
+
cosx,
f
x
0
x
=
e

sinx
>
e
+
cos0
=
0
所以函数
f
x
为偶函数,且在[0,
+
∞)上单调递增
因此
f(2x

1)
≥
f(1),
所以
2x

1
≥
1
或
2x

1
≤
1,
所以
x
≥
1
或
x
≤
0.
选
A.
8.A
【解析】本题主要考查指数函数与对数函数.已知
0
<
a
<
b
<
1,p
=
ab,q
=
ba,r
=
logba,函
数
y
=
ax递减,则ab
<
aa,函数
y
=
xb递增,则aa
<
ba
<
1,函数
y
=
logbx
递减,则logba
>
logbb
=
1,故ab
<
ba
<
logba,即
p
<
q
<
r,故选
A.
9.D
【解析】本题考查分段函数，导数的几何意义.画出函数|f
x
|的图像(如图所示)；当
x
≤
0
时，|f'
x
|
=
e x,所以
f'
0
=
1；结合图形由题意得
a
∈
[

1,0].选
D.
10.B
【解析】本题是一个新定义的问题，主要考查导数的应用及恒成立问题,意在考查考生的转
3
化求解能力.先求导f'
x
=
x

m
x2

3x，g
x
=
x2
mx

3；根据“凸函数”的定义，原问
3
2
2
题可以转化为：x2
mx

3
<
0
对任意的
2
≤
m
≤
2
恒成立；故
x
+
2x

3
<
02
，解得x

2x

3
<
0

3
<
x
<
1

1
<
x
<
3，解得
x
∈
(

1,1),由(a,b)

(

1,1),故(b

a)max
=
2.应选
B.
11.A
【解析】本题考查利用三视图求空间几何体体积.依题意，该几何体为一个三棱锥和一个三
1
棱柱的组合体，其底面积为
S
=
×
2
×
1
=
1，棱锥和棱柱的高均为
1，故其体积为
V
=
2
S
×
1
+
1
×
S
×
1
=
4.故本题正确答案为
A.
3
3
12.B
【解析】本题考查程序框图、函数的奇偶性，函数的零点，意在考查考生的分析理解能力.
对于
A，函数为奇函数，但无零点，故不能输出；对于
B，f
x
=
ln(
x2
+
1

x)，
f

x
=
ln
x2
+
1
+
x
=
ln
x2
+
1

x
=
f
x
，故函数为奇函数，f(0)
=
0
故函数
有零点，则
B可以输出；对于
C，函数不存在零点，故不能输出；对于
D，函数为偶函数
故不能输出.故本题正确答案为
B.
13.(﹣∞，﹣3]
∪
[2，
+∞)
π
【解析】本题主要考查正弦函数的单调性及最值.依题可知：当ω
>
0
时，
ω
≤
ωx
≤
4
πω
π，∴
ω
≤
π
π
π
π
π，即ω
≥
2；
当ω
<
0
时，
ω
≤
ωx
≤
ω，∴
ω
≤
，即ω
≤
3，
6
4
2
6
4
6
2
∴ω的取值范围为ω
≤
3
或ω
≥
2，故填
(﹣∞，﹣3]
∪
[2，
+∞).
14.①②④
【解析】本题考察二倍角公式，三角函数的图像与性质.
y
=
sin4x

cos4x=sin2x

cos2x=-
cos2x
π
f
11π
=
3sin
11
π，其最小正周期是
，①正确；
π

=
1，所以函数
f
x
=
12
6
3
3sin(2x

π
)
11的图象关于直线
x
=
π对称，②正确；f
x
=
x

sinx
单增，且
f
0
=
0，即
3
12
f
x
=
x

sinx
只有
1个零点，即
y
=
sinx
和
y
=
x
的图象有一个公共点，③错误；y
=
3sin(2x
+
π
)=
3sin2(x
+
π
)
π向右平移
得到
y
=
3sin2x
的图象，④正确；所以真命题的序号
3
6
6
是①②④.
15.7
【解析】本题考查的知识点为基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划.
作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，利用直线平移法求出当
x=3且
y=4时，z=ax+by取得最大值为
7，即
3a+4b=7.再利用整体代换法，根据基本不等式
加以计算，可得当
a=b=1时
的最小值为
7.
作出不等式组
表示的平面区域，
得到如图的
及其内部，其中
A（1，0），B（3，4），C（0，1）
设
z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），
将直线
l：z=ax+by进行平移，并观察直线
l在
x轴上的截距变化，
可得当
l经过点
B时，目标函数
z达到最大值.
，即
3a+4b=7.
∵a＞0，b＞0，
∴
当且仅当
a=b=1时，
的最小值为
7.
故本题正确答案是
7
16.π
2
【解析】本题主要考查利用正弦定理两角和与差的正切公式以及基本不等式解三角形，考
查了分析问题与解决问题的能力以及计算能力.由正弦定理可得sin
A
cosB

cosA
sin
B
=
1
sin
C
=
1
(
sin
A
cosB
+
cosA
sin
B
),可得
tanA
=
3tanB，显然
B为锐角，tan
A

B
=
2
2
tanA tanB
=
2
≤
3
11
，当且仅当
=
3tanB，即
tanB
=
3
，tanA
=
3时，等号成
1+tanA·tanB
+3tanB
3
tanB
3tanB
π
π
π
立，此时
A=
，B=
，则角
C
的值为
.
3
6
2
17.(1)由
sinA
+
3cosA
=
0
得
tanA
=
3,
又
A
∈
(0,π),
2π得
A
=
.
3
由余弦定理a2
=
b2
+
c2

2bc

cosA.
又因为
a
=
2
7,b
=
2,cosA
=
1,
2
代入并整理得(c
+
1)2
=
25,故
c
=
4.
(2)因为
AC
=
2,BC
=
2
7,AB
=
4,
2
cosC
=
a
+b
2 c2
由余弦定理
=
2
7.
2ab
7
因为
AC
⊥
AD,即△
ACD
为直角三角形,
则
AC
=
CD

cosC,得
CD
=
7.
由勾股定理
AD
=
|CD|2

|AC|2
=
3.
又
A
=
2π,则∠DAB
=
2π

π
=
π,
3
3
2
6
S
=
1△ABD
|AD|

|AB|

sin
π
=
3.
2
6
【解析】本题主要考查正余弦定理,三角形面积公式.
(1)由
sinA
+
3cosA
=
0
得
tanA
=
3,又
A
∈
(0,π),
2π得
A
=
,再根据余弦定理求出
c.
3
(2)根据已知条件利用余弦定理求出
cosC
=
2
7,在直角三角形△
ACD
中求出
CD,AD,然后利
7
用面积公式求出面积.
19.解：p真，任意
，有
，即
在
恒成立，
则
a≤1；q真，则△=（a-1）2-4＞0,即
a＞3或
a＜-1
∵“p或
q”为真,“p且
q”为假,∴p,q中必有一个为真,另一个为假，
当
p真
q假时，有
得-1≤a≤1当
p假
q真时，得
a＞3；
∴实数
a的取值范围为-1≤a≤1或
a＞3
【解析】本题考查命题的真假性、不等式恒成立问题。
20.(1)当
a
=
1
时,f
x
=
lnx
+
1

1,
x
f'
x
=
1

1
x 12
=
2
,f
x
在(0,1)单调递减,在(1,
+
∞)单调递增.x
x
x
∴当
x
=
1
时,f
x
min
=
f(1)
=
0.
(2)f
x
=
lnx
+
a(1

1
)
≥
0
在
x
≥
1
时恒成立,
x
a·
x 1
≥
lnx

a·(x

1)
≥
xlnx.
x
当
x
=
1
时,a
≥
0
恒成立,∴a
∈
.
当
x
>
1
时,a
≥
xlnx.
x 1
g
x
≥
xlx
(x
>
1),(xlnx)'
=
lnx
+
1,g'
x
=
(lnx+1)(x 1)+xlnx
=
lnx x+1令
.
x 1
(x 1)2
(x 1)2
令
h
x
=
lnx

x
+
1,h'
x
=
1

1
=
1 x
>
0,
x
x
∴h
x
在(1,
+
∞)上单调递增,h
x
>
h(1)
=
0.
∴g'
x
>
0,g
x
在(1,
+
∞)上单调递增,g
x
>
g(1).
:
lim
xlnx由洛必达法则
=
lim
(

lnx

1)
=
1.∴g
x
<
1,∴a
≥
1；
x→
1+
x 1
x→
1+
即
a
∈
[

1,
+
∞).
【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.(1)当
a
=
1
时,求导得
f
x
在(0,1)单减,在
(1,
+
∞)单增.∴f
x
min
=
f(1)
=
0.(2)不等式转化为
a·(x

1)
≥
xlnx.分类讨论,构造函数,
求导得
a
∈
[

1,
+
∞).
21.解：∵命题
P函数
y=loga(1﹣2x)在定义域上单调递增,∴0＜a＜1;
又∵命题
Q:不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4＜0对任意实数
x恒成立,
a

2
<
0
∴a=2或
△=
4(a

2)2
+
16(a

2)
<
0，即﹣2＜a≤2;
∵P
∨
Q
是真命题，P
∧
Q
是假命题，
∴a的取值范围是
2
<
a
≤
0
或
1
≤
a
≤
2.
【解析】本题考查逻辑连接词，命题及其关系，不等式恒成立问题，函数的单调性.命题
P
真，则
0＜a＜1;命题
Q真，则﹣2＜a≤2;∵P
∨
Q
是真命题，P
∧
Q
是假命题，可得
a的取值
范围是
2
<
a
≤
0
或
1
≤
a
≤
2.
18.(Ⅰ)函数
f
x
定义域为
，
，
由
，当
时，
，当
时，
，
则
在
上单增，在
上单减，函数
在
处取得唯一的极值.
由题意得
，故所求实数
的取值范围为
.
(Ⅱ)当
时，不等式
．
令
，由题意，
在
恒成立.
.
令
，则
，当且仅当
时取等号.
所以
在
上单调递增，
,
因此
，则
在
上单调递增，
,
所以
，即实数
的取值范围为
.
【解析】本题考查利用导数研究函数的极值、不等式恒成立问题.(Ⅰ)求导，利用导函数的符
号研究函数的单调性，进而得到函数的极值，再利用函数的极值与区间的关系进行求解；
(Ⅱ)先进行分离参数，再构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用
导数求其最值.
22.(1)设
，在
中，
由余弦定理得
，
即
又
，所以
.
由于
，
因此点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，同时该椭圆的长半轴
，焦距
，
所以，曲线
的方程为
；
(2)由题意可知四边形
为平行四边形，结合对称性，则
设直线
的方程为
且
由
，得
，
，且
成立，
，
令
，则
，
，
又
在
上单调递增，
，
的最大值为
，
的最大值为
，此时
.
【解析】本题主要考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合应用.