沪教版（上海）高中数学高一下册 5.2 任意角的三角比 教案1

任意角的三角比
【教学目标】
1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；
2．了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切等三角比对角的条件要求；
3．体会同一角三角比的值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑。
【教学重难点】
重点：任意角的三角比的定义。
难点：用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值。
【教学过程】
一、情景引入
回顾：在初中我们学习了锐角的三角比，它是在直角三角形的条件下，通过角的对边、邻边与斜边之间两两的比值来定义的。例如：
；
；
；
。
引入：前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们研究任意角的三角比。
把锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限。易知在角的终边上，设它的坐标为，它与原点的距离，可发现作为锐角的三角比能用其终边上的点的坐标来定义，而这种定义方法可用于定义任意角的三角比。
二、学习新课
1．概念形成。
任意角的三角比定义。
设是一个任意角，在的终边上任取一点（除原点），
则与原点的距离，
比值叫做的正弦，记作：；
比值叫做的余弦，记作：；
比值叫做的正切，记作：；
比值叫做的余切，记作：；
比值叫做的正割，记作：；
比值叫做的余割，记作：。
提问：对于确定的角，这六个三角比值的大小与点在角终边上的位置是否有关？
利用相似三角形的知识，可以得出对于确定的角，这六个三角比值的大小与点在角的终边上的位置无关。
提问：根据这六个三角比的定义，是否对于任意的一个角，它的六个三角比都存在呢？
（1）当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点的横坐标都为0，所以、无意义；
（2）当角的终边在横轴上时，即时，终边上任意一点的纵坐标都为0，所以、无意义。
从而有：
。
说明：
（1）以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与轴的非负半轴重合。
（2）是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的。
（3）是个整体符号，不能认为是“”与“”的积，其余五个符号也是这样。
（4）三角比值只与角的大小有关。
（5）任意角三角比的定义与锐角三角比的定义的联系与区别：
任意角的三角比就包含了锐角三角比，实质上锐角三角比的定义与任意角的三角比的定义是一致的，锐角三角比是任意角三角比的一种特例。
所不同的是，锐角三角比是以边的比来定义的，任意角的三角比是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的。
为了便于记忆，我们可以利用两种三角比定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角比进行类比记忆。?
2．三角比的一种几何表示：
单位圆和有向线段：
（1）单位圆：半径等于单位长度1的圆叫做单位圆。
（2）有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段。
设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于。
规定：当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；
当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；
当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；
根据上面规定，则，
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线。
由正弦、余弦、正切三角比的定义有：
；
；
。
这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线。当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线则不存在。
三、课堂小结
1．任意角的三角比的定义；
2．三角比的几何表示——三角函数线；
3．掌握分类讨论的思想（主要对象限的讨论）；
4．掌握数形结合的思想（对三角函数线的理解及其应用）；
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