第二章 一元二次方程单元检测卷（含解析）

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2021-2022学年度北师大版九年级上册第二章《一元二次方程》检测卷
选择题（每小题3分，共30分）
1.方程x2=x的解是（
）
A. x=1 B. x1=﹣1，x2=1 C. x1=0，x2=1 D. x=0
2.若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣1，则另一个根是（
）
A. 1 B. 0 C. 2 D. ﹣2
3.下列一元二次方程中，两个实数根的和是的是
(
)
A. B. C. D.
4.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　）
A. x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B. x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C. 2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2= D. 3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=
5.如果关于x的方程x3﹣5x2+（4+k）x﹣k=0的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k的值为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.一元二次方程x2+4x-3=0的两根为
、
，则

的值是（　　）
A. 4 B. -4 C. 3 D. -3
7.已知实数a，b分别满足
，
且a≠b，则的值是(




)
A. 7 B. －7 C. 11 D. －11
8.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（
）
A. 50（1+x）2=182 B. 50+50（1+x）+50（1+x）2=182
C. 50(1+2x)＝182 D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=182
9.已知当x=2时，多项式x2-2mx+4的值为-4，那么当x为何值时，该多项式的值为11？（　　）
A. 7 B. -1 C. 3 D. 7或-1
10.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm
，
BC＝3cm
，
动点P
，
Q分别从点A
，
B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为
cm/s
，
点Q的速度为1cm/s
，
点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为
，则点P运动的时间是（　　）
A. 2s B. 3s C. 4s D. 5s
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.一元二次方程ax2+3x+2＝0（a≠0）的有个根是1，则a＝________
12.已知实数
满足
，那么
的值为 .
13.某校有一块长方形的空地
，其中长
米，宽
米，准备在这块空地上修3条小路，路宽都一样为
米，并且有一条路与
平行，2条小路与
平行，其余地方植上草坪，所种植的草坪面积为110米.根据题意可列方程________.
14.若m，n是一元二次方程
的两个实数根，则
的值为
.
15.对于实数a，b，定义运算“ ”：
，例如：5 3，因为5＞3，所以5 3=5×3﹣32=6．若x1
，
x2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1 x2=
．
16.小丽想用一块面积为
的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为
的长方形纸片，使它的长宽之比为
，则这个长方形的边长分别是________．
17.关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是

．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.用配方法解方程：
19.如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BC＝7cm
．
动点P在线段AC上从点C出发，沿CA方向运动；动点Q在线段BC上同时从点B出发，沿BC方向运动．如果点P
，
Q的运动速度均为lcm/s
，
那么运动几秒时，它们相距5cm
．
20.已知关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+2=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若方程的两个根的平方和等于5，求k的值．
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21.如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
22.经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．
（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是________吨.
（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
23.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0．问：
（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两实数根x1、x2
，
满足|x1|+|x2|=3，求k的值．
24.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）.若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
（2）.若宾馆某一天获利10640元，则房价定为多少元？
（3）.房价定为多少时，宾馆的利润最大？
25.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动.
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm.
答案解析部分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.【答案】
C
【解析】【解答】解：x2=x，
x2﹣x=0，
x（x﹣1）=0，
∴x1=0，x2=1，
故选：C．
【分析】因式分解法求解可得．
2.【答案】
D
【解析】【解答】解：设方程的另一个根是t，
根据题意得﹣1 t=2，解得t=﹣2，
即方程的另一个根是﹣2．
故选D．
【分析】设方程的另一个根是t，根据根与系数的关系得到﹣1 t=2，然后解一次方程即可．
3.【答案】
D
【解析】【分析】先通过△分别确定四个方程有没有实数根，若△≥0，则利用根与系数的关系：进行计算，作出判断：
A．
，
则
，
所以A选项错误；
B．
，
则方程没有实数根，所以B选项错误；
C．
，
则方程没有实数根，所以C选项错误；
D．
，
则
，
所以D正确.
故选D．
4.【答案】
B
【解析】【解答】解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A选项正确．
B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．
C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+
，
∴（t﹣）2=
，
故C选项正确．
D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=
，
∴x2﹣x+=+
，
∴（x﹣）2=
．
故D选项正确．
故选：B．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．
5.【答案】
B
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x3﹣5x2+（4+k）x﹣k=0有三个根，
∵x3﹣5x2+（4+k）x﹣k=0
∴（x﹣1）（x2﹣4x+k）=0
∴①x﹣1=0，解得x1=1；
②x2﹣4x+k=0，
∴△=16﹣4k=0，即k=4，
∴k的值是k=4．
故选：B．
【分析】根据原方程可知x﹣1=0，和x2﹣4x+k=0，因为关于x的方程（x﹣1）（x2﹣4x+k）=0有三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，所以x2﹣4x+k=0的根的判别式△=0，然后再由等腰三角形的三边关系来确定k的值．
6.【答案】
D
【解析】解答:
=-3．
故选D．
分析:
根据根与系数的关系求解
7.【答案】
A
【解析】【分析】根据已知两等式得到a与b为方程x2-6x+4=0的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．
【解答】根据题意得：a与b为方程x2-6x+4=0的两根，
∴a+b=6，ab=4，
则原式=
故选A
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
8.【答案】
B
【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率)，如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】依题意得五、六月份的产量为50（1+x)、50（1+x)2
，
∴50+50（1+x)+50（1+x)2=182．
故选B．
【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
9.【答案】
D
【解析】
【分析】先将x=2代入x2-2mx+4=-4，求出m，再根据多项式的值为11求出x即可．
【解答】∵x=2时，多项式x2-2mx+4的值为-4，
∴4-4m+4=-4，
解得m=3，
∴当m=3时，x2-2mx+4=x2-6x+4，
∴x2-6x+4=11，
解得x=-1或7．
故选D．
10.【答案】
B
【解析】【解答】解：设动点P
，
Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为
，
则BP为（4﹣
t）cm
，
BQ为tcm
，
由三角形的面积计算公式列方程得，
×（4﹣
t）×t＝
，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P
，
Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为
．
故答案为：B
．
【分析】设出动点P
，
Q运动t秒，能使△PBQ的面积为
，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.【答案】
-5
【解析】【解答】解：把x＝1代入原方程，得a+3+2＝0，解得a＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【分析】把x＝1代入已知方程，得到关于a的新方程，解方程即可求得a的值．
12.【答案】
1
【解析】【解答】设
，
∴原式可转化为：
，
整理得，
，
解得，
或
，
∵
，
∴将
(舍去)
∴
的值为1，
故答案为：1.
【分析】设
，将已知方程转化为关于
的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可.
13.【答案】
【解析】【解答】解：∵长方形长
米，宽
米，路宽为
米，
∴草坪的长为
，宽为
，
∴草坪的面积为
.
故答案为
：
.
【分析】利用平移的性质将草坪平移在一起得出一个大的矩形，从而表示出大矩形草坪的长和宽，根据长方形的面积公式列式即可.
14.【答案】
3
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2
，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴
，
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数关系，可得m2+3m-1=0，m+n=-3，然后整体代入计算即可.
15.【答案】
±4
【解析】【解答】解：x2﹣6x+8=0，
解得：x=4或2，
当x1=2，x2=4时，x1 x2=22﹣2×4=﹣4；
当x1=4，x2=2时，x1 x2=4×2﹣22=4；
故答案为：±4．
【分析】根据题意用因式分解法求出方程的根，再根据新定义求出代数式的值.
16.【答案】
，
【解析】【解答】∵长方形的长宽之比为
∴设长方形的长为
，宽为
，
∵长方形纸片的面积为
，
，
解得
，
∴长方形的长为
，宽为
．
∵正方形纸片的面积为
，
∴边长为
，
故所求长方形的长宽符合题意，
故答案为：
，
．
【分析】设长方形的长为3x，宽为2x，得到方程
，
解出x，得到长方形的长与宽，由于解出的答案符合题意，得到结果。
17.【答案】
m=1或m>2
【解析】【解答】①当1-m2
=0时，m=±1，
当m=1，可得出2x-1=0，x=
，
符合题意，
当m=-1，可得出-2x-1=0，x=
，
不符合题意，
②当1-m2≠0时，
（1-m2）x2+2mx-1=0，可解出
x1=
，
x2=
根据题意可得出，
0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2，
综上，m=1或m＞2.
【分析】分别讨论1-m2是否等于0的情况，根据根的条件，可解出m的取值范围。

三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.【答案】
解：
整理，得：
配方，得：
∴
【解析】【分析】利用完全平方公式的性质，利用配方法求出答案即可。
19.【答案】
解：设运动x秒时，它们相距5cm，则CQ＝（7﹣x）cm，CP＝xcm，
根据题意得：x2+（7﹣x）2＝52
，
解得：x1＝3，x2＝4．
答：运动3秒或4秒时，它们相距5cm
【解析】【分析】设运动x秒时，它们相距5cm
，
则CQ＝（7﹣x）cm
，
CP＝xcm
，
根据勾股定理及PQ＝5cm
，
即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
20.【答案】
（1）证明：∵方程kx2+（2k+1）x+2=0为一元二次方程，
∴k≠0．
∵△=（2k+1）2﹣4×2k=（2k﹣1）2≥0，
∴无论k取任何实数时（k≠0），方程总有实数根
（2）解：设方程kx2+（2k+1）x+2=0的两个根为x1、x2
，
∴x1+x2=﹣
，x1x2=
．
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=5，即（﹣
）2﹣
=5，
整理，得：k2=1，
解得：k=±1．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断求解即可；
（2）先求出
x1+x2=﹣
，
x1x2=
，再利用完全平方公式计算求解即可。
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21.【答案】
（1）解：∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x，
∴AB=-2x+44
（2）解：由题意得，（-2x+44） x=192，
即2x2-44x+192=0，
解得x1=6，x2=16，
∵x2=16＞
（舍去），
∴AD=6，
∴AB=-2×6+44=32．
答：AD长为6米，AB长为32米．
【解析】【分析】（1）栅栏的长度为40，根据题意AD为x，BC为x-2，根据三条边的和为40，即可表示AB的长度。
（2）已知AD和AB的代数式，根据矩形的面积公式，计算式子，即可得到x的值，根据题目规定的AB＞AD，选择合适的x的值即可，即可求出矩形的长和宽。
22.【答案】
（1）60
（2）解：设售价每吨为x元，根据题意列方程为：（x
-
100）（45+×7.5）=9000，
化简得x2
-
420x
+
44000=0，
解得x1=200，x2=220（舍去），
因此，将售价定为200元时销量最大。
【解析】【解答】（1）由题意可知月销售量为：45[（260-240）107.5]=60(吨)
【分析】（1）根据题意可得每吨售价每下降10元时、月销售量就会增加7.5吨，再根据每吨售价为260元时、月销售量为45吨，据此列出式子求得当每吨售价是240元时的月销售量；
（2）根据（1）可得一元二次方程，解得x的值即可。
23.【答案】
（1）解：若方程有实数根，
则△=（2k-3）2-4（k2+1）≥0，
∴k≤
∴当k≤
，
时，此方程有实数根；
（2）解：∵此方程的两实数根x1、x2
，
满足|x1|+|x2|=3，
∴（|x1|+|x2|）2=9，
∴x12+x22+2|x1x2|=9，
∴（x1+x2）2-2x1x2+2|x1x2|=9，
而x1+x2=2k-3，x1x2=k2+1，
∴（2k-3）2-2（k2+1）+2（k2+1）=9，
∴2k-3=3或-3，
∴k=0或3，k=3不合题意，舍去；
∴k=0．
【解析】【分析】（1）由于方程有实数根，所以利用其判别式是非负数即可求解；（2）由于方程的两实数根x1、x2
，
满足|x1|+|x2|=3，首先把等式两边同时平方，然后利用根与系数的关系即可求解．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24.【答案】
（1）解:
若每个房间定价增加40元,则这个宾馆这一天的利润为(180+40-20)×(50
）=9200元
（2）解:
设每个房间的定价为a元，
根据题意,得:
，
解得:a=300或a=400,
答:若宾馆某一天获利10640元,则房价定为300元或400元；
（3）解:
设房价增加x元时,利润为w,
则
因而当x=170时,即房价是350元时,利润最大.
【解析】【分析】（1）每个房间定价增加40元时，每个房间的利润为（180+40-20）元，而住的房间数为（）个，它们的积为这个宾馆这一天的利润；（2）设出每个房间的定价为a，列出关于a的一元二次方程，解方程即可求得a的值，特别的，根据实际意义a的值为正数；（3）用房价增加的钱数x表示出利润w，再利用二次函数知识求得w的最大值及此时x的值即可.
25.【答案】
（1）解：设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，
根据题意得：16﹣3x=2x，
解得：x=
.
答：P，Q两点从出发开始到
秒时，四边形APQD为长方形
（2）解：设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2
，
根据题意得：
×6（16﹣3x+2x）=33，
解得：x=5.
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2
（3）解：过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示.
设P，Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，
根据题意得：（16﹣3x﹣2x）2+62=102
，
整理得：（16﹣5x）2=82
，
解得：x1=
，x2=
.
答：P，Q两点从出发开始到
秒或
秒时，点P和点Q的距离是10cm.
【解析】【分析】（1）
设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，
根据路程等于速度乘以时间得出AP=3x，CQ=2x，故BP=16-3x，根据矩形的性质及线段的和差得出BP=CQ，从而列出方程，求解即可；
（2）在P.Q运动的过程中四边形PBCQ是一个梯形，根据梯形的面积计算方法，由四边形PBCQ的面积=（PB+CQ）×BC列出方程，求解即可；
（3）
过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示.
设P，Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，
根据题意PE=
16﹣3x﹣2x
，EQ=BC=6，PQ=10，利用勾股定理建立方程，求解并检验即可.
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精品试卷·第
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