第四章 图形的相似单元检测卷（含解析）

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2021-2022学年度北师大版九年级上册第四章《图形的相似》检测卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.已知
，则
的值为（
）
A. B. C. ﹣
D. ﹣
2.在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（　　）
A. 10m B. 25m C. 100m D. 10000m
3.
与
的相似比为
，则
与
的周长比为（
）
A. B. C. D.
4.下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（
）
A. B.
C. D.
5.如图，小明（用
表示）站在旗杆（用
表示）的前方
处，某一时刻小明在地面上的影子
恰好与旗杆在地面上的影子
重合，若
，
，则旗杆
的高度为（
）
A. B. C. D.
6.如图，点P是
的边
上一点，连接
，则下列条件中，不能判定
的是（
）
A. B. C. D.
7.如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是（　　）

A. 2：1 B. 1：2 C. 4：1 D. 1：4
8.如图，在□ABCD中，AE＝
AD，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（
）
A. 3 B. 4 C. 4.2 D. 4.8
9.如图，已知正方形ABCD的边长为4,
P是AB边上的一个动点，连结PD，作PQ⊥PD交BC边于点Q．当点P从点A出发向终点B运动时，点Q所经过的路径长为（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.已知
中，D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能推断
与
相似的有(
)个
①∠BDE+∠C=180°；②
；③
；④∠A=90°，且
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.若
，则
＝ .
12.如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F.若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝________.
13.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，则△ABC与△DEF的面积之比为
．
14.如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为 时，使得△BOC∽△AOB．
15.如图，在
中，
，点
是边
上的一点，
于
，则边
的长为________.
16.如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝ ．
17.如图，在
中，
，点
为
上任意一点，连接
，以
为邻边作平行四边形
，连接
，则
的最小值为 .
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.已知
=k，求k2-3k-4的值.
19.如图，在
中，D、E分别为BC、AC上的点.若
，AB＝8cm，求DE的长.
20.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且顶点都在格点上,每个小正方形的边长都为1.
（1）在图上标出位似中心D的位置,并写出该位似中心D的坐标是 ；
（2）求△ABC与△A′B′C′的面积比．
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21.如图，△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC，求证：AM2＝AB AD.
22.甲和乙两位同学想测量一下广场中央的照明灯P的高度，如图，当甲站在A处时，乙测得甲的影子长AD正好与他的身高AM相等，接着甲沿AC方向继续向前走，走到点B处时，甲的影子刚好是线段AB，此时测得AB的长为1.2m.已知甲直立时的身高为1.8m，求照明灯的高CP的长.
23.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE，DE．AC与DE相交于点F．
（1）求证：△ADF∽△CEF；
（2）若AD=4，AB=6，求
的值．
四、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）.求证：△ADF∽△DEC；
（2）.若AB=8，AD=6
，AF=4
，求AE的长．
25.如图1，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动.设运动时间为t（s），过点P作PE⊥AC于E，PQ交AC边于D，线段BC的中点为M，连接PM.
（1）当t为何值时，△CDQ与△MPQ相似；
（2）在点P、Q运动过程中，点D、E也随之运动，线段DE的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求DE的长；
（3）如图2，将△BPM沿直线PM翻折，得△B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值.
答案解析部分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.【答案】
D
【解析】【解答】
【分析】将
化简
，再将
代入即可.
2.【答案】
C
【解析】解答：设A、B两地间的实际距离为xm，
根据题意得
，
解得x＝100．
所以A、B两地间的实际距离为100m．
故选C．
分析：设A、B两地间的实际距离为xm，根据比例线段得
，然后解方程即可．
3.【答案】
C
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4．
故答案为：C．
【分析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方。
4.【答案】
D
【解析】【解答】解：A、B和C中的两个图形都是位似图形，
A中的位似中心是点C，
B中的位似中心是点O，
C中的位似中心是点O.
只有选项D的对应顶点的连线相不交于一点，对应边不互相平行，故D不是位似图象.
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的定义“两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形”并结合各选项即可判断求解.
5.【答案】
B
【解析】【解答】解：∵AC=8m,CE=2m
∴AE=AC+CE=10m
∵△ECD∽△EAB
∴
，即
，解得AB=8m.
故答案为B.
【分析】先求出AE的长，根据题意可得△ECD∽△EAB，然后根据相似三角形的性质列比例求解即可.
6.【答案】
A
【解析】【解答】解：A、由∠A＝∠A，
，不能判定△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；
B、由∠A＝∠A，
，能判定△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
C、由∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，能判定△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、由∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，能判定△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两组角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可.
7.【答案】
D
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，
∴五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积比是：1：4．
故选：D．
【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，然后由相似多边形的性质可得：五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值．
8.【答案】
D
【解析】【解答】解：在
中，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，由已知条件可得
，
然后根据平行线分线段成比例的性质求解即可.
9.【答案】
B
【解析】【解答】解：∵∠A=∠PBQ=90°，∠APD+∠BPQ=∠APD+∠ADP=90°，
∴∠BPQ=∠ADP，
∴△PAD∽△PBQ，
∴AD：PB=AP：BQ，
设AQ=x，BQ=y，BP=4-x，
∴4：（4-x）=x：y，
，
∴x=2时，y有最大值1，这时P为AB的中点，
∴Q由A到中点经过的路径长为1，然后Q再由中点到B所经过的路径长也为1，
∴整个过程Q经过的路径长为2.
故答案为：B.
【分析】先证明△PAD∽△PBQ，然后根据相似三角形的性质列比例式，设AQ=x，BQ=y，得出y是关于x的二次函数，配方求出最大值，再根据二次函数对称的性质求出Q经过的路径长即可.
10.【答案】
C
【解析】【解答】由图可知，
∠A是△ADE与△ACB的公共角，
①∵∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠ADE=∠C，
利用“两组角对应相等，两三角形相似”得到△ADE与△ACB相似；
②由AD AB=AE AC得到
，可以利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”得到△ADE与△ACB相似；
③由AD BC=AB DE可得到
，公共角不是夹角，不能得到△ADE与△ACB相似；
④∵
，∠A=90°，
利用“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”得到△ADE与△ACB相似，
综上所述，能判断△ADE与△ACB相似的是①②④，共3个．
故答案为：C．
【分析】根据图形得到∠A是公共角，然后根据相似三角形的判定方法进行判断即可．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.【答案】
10
【解析】【解答】解：设
＝k，
可得：a＝2k，b＝3k，c＝4k，
把a＝2k，b＝3k，c＝4k代入
＝
故答案为：10
【分析】根据比例的性质解答即可.
12.【答案】
6
【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，
∴
，
∵AB=2，CB=4，DE=3，
∴
，
∴EF=6，
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可.
13.【答案】
1：9
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
故答案为：1：9．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比和相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
14.【答案】
（1，0）或（﹣1，0）
【解析】【解答】解：∵△BOC∽△AOB，
∴
=
，
∴
=
，
∴OC=1，
∵点C在x轴上，
∴点C的坐标为（1，0）或（﹣1，0）
故答案为：（1，0）或（﹣1，0）．
【分析】根据△BOC∽△AOB，得出
=
，再根据A、B点的坐标，即可得出答案．
15.【答案】
4
【解析】【解答】解：由射影定理得，
，
解得：
，
故答案为：
.
【分析】首先判断出△ACD∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式建立方程，求解即可得出AC的长.
16.【答案】
1︰5
【解析】【解答】
解：延长CD、EF交于H，易证△DFH∽△AEF，由AF＝FD可知AE=DH，又因AE=CD，所以CH=4AE，易证△CGH∽△AEG，因而CG=4AG，AG︰AC=1︰5
【分析】本题利用相似比解决问题，关键在于作出相似图形。
17.【答案】
【解析】【解答】解：
,AB=3,AC=4,
,
四边形APCQ是平行四边形,
PO=QO,CO=AO.
∵PQ最短也就是PO最短,
过O作BC的垂线OP′.
,
,
,
,
,
PQ的最小值为
.
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.【答案】
∵
=k，
∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，
=k，
k=
=
；
当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a，
∴k=
=-2；
当k=
时，
；
当
时，
.
【解析】【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得
=k，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a，代入即可计算出k的值.
19.【答案】
解：在△CDE和△CAB中，
∵
，∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CAB，
∴
,
∴
,
∴DE=
.
【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等证△CDE∽△CAB，由相似性质得对应边成比例求解.
20.【答案】
解：（1）如图：D（7，0）；
（2）∵△ABC∽△A′B′C′
∴
【解析】【分析】考查位似.
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21.【答案】
证明：∵MN∥BC，
∴
，
∵DN∥MC，
∴
，
∴
，
即AM2＝AD AB.
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后利用比例的基本性质变形即可.
22.【答案】
解：如图，设CP长为xm，
∵AM⊥DC，DA＝MA，
∴∠D＝45°
又∵CP⊥DC
∴∠CPD＝45°
∴CD＝CP＝x
∵CP⊥DC，BN⊥DC
∴BN∥CP
∴∠CPA＝∠BNA，
又∵∠NAB＝∠PAC
∴△ACP∽△ABN
∴
解得x＝5.4.
答：路灯高CP为5.4米.
【解析】【分析】根据AM⊥CD，BN⊥CD，PC⊥CD，得到AM∥PC∥BN，从而得到△ACP∽△ABN，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可.
23.【答案】
（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
（2）解：∵E为AB的中点，∴CE=
AB=AE，∴∠EAC=∠ECA；∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF；
∵CE=
AB=3，AD=4，∴
=
=
，∴
=
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义证明∠DAC=∠CAB，从而得出△ADC∽△ACB；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等量代换证明∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；进而得到△AFD∽△CFE，，根据相似三角形的性质得出AD：CE=AF：CF；进而得出答案。
四、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24.【答案】
（1）证明：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，∴
∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°，∴
∠C＝180°－∠B．
∵
∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴
∠AFD＝180°－∠B，∴
∠AFD＝∠C，∴
△ADF∽△DEC
（2）解：在□ABCD中，CD＝AB＝8，∵
△ADF∽△DEC，
∴
，∴
，∴
DE＝12．
∵AD∥BC，AE⊥BC，∴
AE⊥AD．在Rt△AED中，
【解析】【分析】（1）由题意易证∠ADF＝∠CED，∠AFD＝∠C，然后根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ADF∽△DEC；
（2）由（1）中的相似三角形可得比例式
，
可求得DE的长，在Rt△AED中，
用勾股定理可求得AE的长。
25.【答案】
（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠DBQ＝120°，
∵∠BQP＝∠CQD，∠PMQ＞90°，
∴只有当∠PMQ＝∠DCQ＝120°时，△PMQ∽△DCQ，
则PM∥DC，
∵M是BC的中点，
∴P是AB的中点，
即AP＝3＝t，
∴t＝3时，△PMQ∽△DCQ；
（2）解：不变化.理由如下：
如图1中，作PK∥BC交AC于K.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝60°，
∵PK∥BC，
∴∠APK＝∠B＝60°，
∴△APK是等边三角形，
∴PA＝PK，
∵PE⊥AK，
∴AE＝EK，
∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，
∴△PKD≌△QCD（AAS），
∴DK＝DC，
∴DE＝EK+DK＝
（AK+CK）＝
AC＝3cm；
（3）解：如图2中，连接AM，
则AB'≥AM﹣MB'，
而MB'＝MB，
∴当A，B'，M在一条直线上时，AB'最小，
即：点B'在AM上，（如图3）
∵BM＝CM＝3，AB＝AC＝6，
∴AM⊥BC，
∴∠BAM＝
∠BAC＝30°，
，
∵B'M＝BM＝3，
∴AB'的最小值为AM﹣B'M＝
，
由折叠知，BP＝B'P，∠PB'M＝∠B＝60°，
∴∠APB'＝∠PB'M﹣∠BAC＝30°＝∠BAM，
∴AB'＝B'P＝6﹣t＝3
﹣3，
∴t＝9﹣3
，
即：t为9﹣3
时，AB'的值最小，最小值为3
﹣3.
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，然后判断出相似三角形的对应关系可得PM∥DC，即可得出P是AB的中点，从而求出结论；（2）P是AB的中点，根据等边三角形的性质和判定证出△APK是等边三角形，利用AAS证出△PKD≌△QCD，从而证出DK＝DC，即可求出结论；（3）连接AM，易知当A，B'，M在一条直线上时，AB'最小，利用三线合一和勾股定理求出∠BAM和AM，即可求出AB'的最小值，由折叠知，BP＝B'P，∠PB'M＝∠B＝60°，最后根据AB'＝B'P即可求出结论.
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精品试卷·第
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