新源县三校2020--2021学年第二学期期末联考
高二理科数学参考答案
一、选择题答案（每小题5分，共60分）
1．D
2．C
3．A
4．C
5．B
6．A
7．B
8．D
9．B
10．D
11．D
12．C
二、填空题答案（每题5分，共20分）
13．
4
36000
15．
16．
三、解答题答案（17题10分，其余各题均为12分，共70分）
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据纯虚数的定义即可求解；
（2）将代入即可求解z的值.
【详解】
解：（1）由题意，当z是纯虚数时，有，解得；..........5分
（2）当时，...........10分
18．（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】
（Ⅰ）由甲、乙两组人数的比例是，再根据从甲、乙两组中共抽取3名工人求解.
（Ⅱ）根据古典概型的概率求法，分别计算从车间10名工人抽取2人的基本事件数，从4名女工人抽取1人的基本事件数，代入公式求解.
（Ⅲ）抽取的3名工人中恰有2名男工人分两种情况：甲组2男乙组1女或甲组1男1女乙组1男求解.
【详解】
（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，
所以甲、乙两组的比例是，..........2分
又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，
所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；..........4分
（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，
所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；..........8分
（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，
所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．..........12分
19．（1）；2；（2）证明见解析．
【分析】
（1）求导并根据即可得，检验满足题意，再根据导函数求上的单调区间，即可求解；
（2）令，进而证明函数的最小值大于0即可.
【详解】
（1）函数的定义域为，，，
所以（经验证满足题意）
所以..........2分
在上，单调递减，在上，单调递增，..........4分
所以时取最小值为
所以在的最小值为2；..........5分
（2）当时，令，..........6分
，..........7分
令，
因为恒成立，
所以在上单调递增，，
由零点存在性定理可得存在，使得，即，..........10分
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，，
由二次函数性质可得，
所以，即，得证．..........12分
【点睛】
本题考查导数求函数的最值，证明不等式问题，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据已知条件，将问题转化为求函数的最小值问题，其中包含了隐零点的问题求解.
20．（1），表格答案见解析；（2）有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.
【分析】
（1）由题意可得从而可求出的值，进而可填出列联表；
（2）直接利用公式求解，然后根据临界值表得结论
【详解】
解：（1）由己知得解得..........3分
补全表中所缺数据如下：
不使用手机
使用手机
合计
学习成绩优秀人数
28
12
40
学习成绩不优秀人数
14
26
40
合计
42
38
80
..........6分
（2）根据题意计算观测值为，..........10分
所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响...........12分
21．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）方案一：4例逐个化验，检测结果呈阳性的人数，分别求得各个频率，即可得答案.
（2）方案二：4人平均分成两组，若呈阴性，则检验次数为1，其概率为，若呈阳性，则检验次数为3，概率为，则Y可取2,4,6，分别求得各个概率，即可得答案.
【详解】
（1）方案一例逐个化验，检测结果呈阳性的人数，..........2分
所以，
..........4分
所以X的分布列为
0
1
2
3
4
..........6分
（2）方案二：4例平均分成两组化验，每一组两个样本检测，
若呈阴性，则检验次数为1，概率为
若呈阳性，则检验次数为3，概率为..........8分
..........10分
所以的分布列为
2
4
6
..........12分
22．（1）单调递减，上单调递增；（2）存在；．
【分析】
（1）求函数导数，根据导函数的正负可得单调区间；
（2）根据，分、和三种情况分别讨论单调性求最值，列方程求解即可.
【详解】
（1）当时，，定义域为，
，..........2分
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上：在单调递减，上单调递增；..........5分
（2），..........6分
假设存在实数，使有最小值3...........7分
①当时，因为，所以，
所以在上单调递减，
，解得（舍去）；..........8分
②当时，在上单调递减，在上单调通增，
∴，解得，满足条件；..........9分
③当时，因为，所以，
∴在上单调递减，
∴.解得，舍去...........10分
综上，存在实数，使得当时，有最小值3...........12分新源县三校2020-2021学年第二学期期末联考
高二数学试卷（理科）
考试时间：150分钟
满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．设已知复数z满足，且z的共轭复数为，则（
）
A．
B．2
C．
D．
2．下列求导数运算错误的是（
）
A．(c为常数)
B．
C．
D．
3．（改编题）曲线在
处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知随机变量的概率分布如下表，则=（
）
A．
B．
C．
D．
5．（改编题）将四个“优秀教师”名额分到三所学校，每所学校至少一个名额有（
）种不同分配方法.
A．18
B．3
C．36
D．4
6．为了解东城社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入(万元)
12
支出(万元)
但是统计员不小心丢失了一个数据(用代替，在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．甲、乙、丙、丁四人参加某项技能比赛，赛前甲、乙、丙分别做了预测.甲说：“丙得第1名，我第3名”.乙说：“我第1名，丁第4名”.丙说：“丁第2名，我第3名”.比赛成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半.获得第一名的是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
8．俗话说：“一心不能二用”，意思是我们做事情要专心，那么，“一心”到底能否“二用”，某高二几个学生在学完《统计》后，做了一个研究，他们在本年级随机抽取男生和女生各100名，要求他们同时做一道数学题和英语听力题，然后将这些同学完成问题所用时间制成分布图如下，则下列说法正确的是（
）
①男生“一心二用”所需平均时间平均值大于女生；②所有女生“一心二用”能力都强于男生；③女生用时众数小于男生；④男生“一心二用”能力分布近似于正态分布.
A．①④
B．②③
C．①③
D．①③④
9．（改编题）6道题目中有5道理科题目和1道文科题目，如果不放回地依次抽取2道题目，则在第1次抽到理科题目的条件下，第2次抽到理科题目的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（
）
A．B．C．
D．
11．人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作，隐性基因记作.成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是，或”.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的，分别用，表示显性基因 隐性基因，基因对中只要出现了显性基因，就一定是卷舌的。生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数满足(其中是的导数)，若，，，则下列选项中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题）
填空题、（每题5分，共20分）
13．计算____________.
14．（改编题）新源县某高中有三个重点班，分别为A班40人，B班36人，C班有25人。现从三个班各选一人参加一项活动，则不同的选法有______种．（以数字作答）
15．展开式中的系数为___________.（以数字作答）
16．随机变量的取值为0，1，2.若，则______________.
三、解答题（17题10分，其余各题均为12分，共70分）
17．已知复数，i为虚数单位．
（1）当z是纯虚数时，求m的值；
（2）当时，求z的值．
18．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率
19．已知（且）．
（1）若是函数的极值点，求实数的值，并求此时在上的最小值；
（2）当时，求证：．
20．随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定。某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.
不使用手机
使用手机
合计
学习成绩优秀人数
12
学习成绩不优秀人数
26
合计
（1）求表中，的值，并补全表中所缺数据；
（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？
参考数据：，其中.
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21．核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验：若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现用两种方案对4例疑似病例进行核酸检测.
（1）方案一：4例逐个化验，设检测结果呈阳性的人数为X，求X的概率分布列；
（2）方案二：4例平均分成两组化验，设需要检测的次数为Y，求Y的概率分布列.
22．已知，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）是否存在实数，使在区间上的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
7
