云南省大理下关一高教育集团2021-2022学年高二上学期9月段考数学试题（一）（Word版含答案）

下关一中教育集团2021~2022学年高二年级上学期段考（一）
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．复数的虚部为（
）
A．-2
B．2
C．
D．
3．已知，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知，两点，若直线与线段恒有交点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知正三角形的边长为2，，是的中点，则等于（
）
A．3
B．2
C．-2
D．-3
7．下列命题中正确的是（
）
A．命题“，”的否定是“，”
B．任意直线都存在倾斜角与斜率
C．
D．与直线平行，且过点的直线方程为
8．某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组：，，，，，，（时间均在内），如图1，已知上述时间数据的第70百分位数为3.5，则，的值分别为（
）
A．0.3，0.35
B．0.4，0.25
C．0.35，0.3
D．0.35，0.25
9．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为，且，，若，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图2是函数的部分图象，给出下列四种说法：
①函数的周期为；
②函数图象的一条对称轴方程为；
③函数的递减区间为；
④当时，函数的值域为.
其中，正确的说法是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
11．设直线，为直线上动点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．设函数，则关于的不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设向量，，且，则______．
14．在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．
15．对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是______．
16．在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则三棱锥的外接球直径长为______，的长为______．（第一空2分，第二空3分）
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知直线，．
（Ⅰ）当时，求实数的值；
（Ⅱ）当时，求直线与之间的距离．
18．（本小题满分12分）
在校体育运动会中，甲乙丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
（Ⅰ）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
（Ⅱ）求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
19．（本小题满分12分）
如图3，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为60°．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．
20．（本小题满分12分）
在中，内角，，的对边分别为，，，向量，向量，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）如果是钝角三角形，求该三角形中最长边与最短边的比值的取值范围．
21．（本小题满分12分）
创新是一个民族的灵魂，国家大力提倡大学毕业生自主创业，以创业带动就业，有利于培养大学生的创新精神．小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．
（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）；
（Ⅱ）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
22．（本小题满分12分）
已知函数是定义在实数集上的奇函数，且当时，．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若在时恒成立，求的取值范围．
下关一中教育集团2021~2022学年高二年级上学期段考（一）
数学（A卷）参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
A
D
B
C
D
C
B
B
A
C
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
2
，
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）因为，所以，解得．
（Ⅱ）因为，所以，解得或1．
当时，直线与重合，不合题意，舍去；
当时，直线的方程为，
直线的方程为，即，
所以直线与直线距离．
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）若甲队获第一名且丙队获第二名，即甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，
即，
即甲队获第一名且丙队获第二名的概率是．
（Ⅱ）当甲队恰得3分，即甲队胜了一场，甲胜乙且丙胜甲，或甲胜丙且乙胜甲时，
，
当甲恰得6分，即甲队胜了2场时，即，
那么该次比赛中甲队至少得3分的概率．
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为平面，平面，所以，
又因为四边形是正方形，所以，
因为，所以平面．
（Ⅱ）
解：因为，，两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系，
因为平面，所以即为与平面所成的角，
即，
所以，
由，可知，则，．
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则
即
令，则，，所以，
因为平面，所以为平面的法向量，，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
（Ⅲ）解：依题意得，设，则，
因为平面，所以，即，
解得，
所以点的坐标为，此时，
所以点是线段靠近点的三等分点．
20．（本小题满分12分）
解：（1）因为，
所以，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，
所以．
（Ⅱ）因为是钝角三角形，不妨设为钝角，
从而得，否则为钝角，，，，与事实不符；
根据三角形中大角对大边，必有，
于是，
结合正弦定理，，
因为，所以，
故．
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为每件产品售价为10元，所以万件产品销售收入为万元．
依题意得，当时，；
当时，．
所以
（Ⅱ）当时，，
当时，取得最大值；
当时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数；
当时，取得最大值．
由，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为函数是定义在实数集上的奇函数，
所以，，
当时，，则，
所以当时，，
所以
（Ⅱ）因为当时，，
所以在时恒成立等价于：
在时恒成立，
令，，
则问题等价于在时恒成立，
①当时，在时不恒成立，故舍去；
②当时，必有，此时对称轴，
若，即或时，恒成立，
因为，所以；
若，即时，
因为，所以，
要使恒成立，即时，
因为，所以，
要使恒成立，
则有与矛盾，故舍去，
综上，实数的取值范围是．