云南省永善一高2021-2022学年高二上学期9月月考数学试题（Word版含答案）

永善县第一中学2021年秋季学期9月月考
高二数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知向量，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知直线过点，两点，则直线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知，，，则（
）
A．18
B．
C．
D．
4．已知向量，，若，分别是平面，的法向量，且，则（
）
A．
B．1
C．
D．2
5．若向量，，，且，，共面，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知点，，三点共线，则（
）
A．0
B．1
C．
D．
7．已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（
）
A．
B．
C．或
D．或
8．设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（
）
A．或
B．
C．
D．或
9．设，，为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称，，线性无关，否则称它们线性相关．若，，线性相关，则（
）
A．9
B．7
C．5
D．3
10．如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知，，，则是（
）
A．等边三角形
B．等腰非等边三角形
C．直角三角形
D．以上均不正确
12．已知在正方体中，是的中点，是底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，若，则______．
14．对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，若，，，四点共面，则______．
15．已知空间的一个基底为，空间向量，，，若，则______．
16．如图，在正四棱锥中，二面角为，为的中点．已知为直线VF
上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为，则______．
三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求顶点的坐标．
18．（12分）
已知空间中三点，，，设，．
（1）若|，且，求向量；
（2）已知向量与互相垂直，求的值；
（3）若点在平面上，求的值．
19．（12分）
如图，在四面体中，点在线段上，且，为的中点．
（1）若，，，用向量，，表示向量；
（2）若四面体的棱长均为1，求．
20．（12分）
如图所示，已知为圆的直径，，点为半径的中点，点为圆上一点，，线段垂直于圆所在平面．
（1）求证：；
（2）当二面角的正切值为时，求的长．
21．（12分）
如图，在三棱柱中，，，，顶点在底面内的射影恰好是线段的中点．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
22．（12分）
如图，平面平面，，四边形为平行四边形，，，，为线段的中点，点满足．
（1）证明：平面．
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
永善县第一中学2021年秋季学期9月月考·高二数学
参考答案、解析及评分细则
1．A因为，．所以．
2．A设直线的斜率为，则．
3．B因为．所以．
4．C由题可知，，则，即．
5．C向量，，共面，存在实数，使得，，解得．
6．B因为，，三点共线，所以可设，因为，，所以
，解得所以．
7．A，，又，，．又，与的夹角为．
8．D）由题设可得，．因为直线与线段相交．则或．故选D．
9．A依题意，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数，，，使得成立，故，由得，，代入，得，由于，，不全为0．故，则．
10．D如图，连接，因为点，分别是，的中点，所以．因为点是的中点，所以．因为点是的中点．所以，则．
11．D因为，，，所以，，，可知不是等腰三角形，也不是直角三角形．
12．D）建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1．可得，，，．所以，．所以．
13．
因为，所以．解得．
14．3
已知空间任意一点和不共线的三点，，，且，，，四点共面等价于，所以．
15．2
由题意可知，解得，所以．
16．11
取的中点．以为坐标原点，分别以，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，．
设，则．
从而，
整理得，解得（舍去），
故．
17．解：设，因为四边形为平行四边形．可得，．
所以．
可得，解得，．
所以顶点的坐标为．
18．解：（1），因为，所以．
又|，故即．
所以或c=．
（2），，
因为与互相垂直，故即，
故即．
（3）因为点在平面上，故存在，使得，
又，所以，解得．
故．
19．解：（1），，，点在上，且，为的中点，
（2）因为空间四面体的棱长均为1．所以，．
即．
20．解（1）连接，因为是圆的直径，所以，由知，，所以为等边三角形．又点为半径的中点，所以，又垂直于圆所在平面，平面，所以，由得平面，
又平面，所以．
（2）以为原点．建立如图所示的空间直角坐标系，则，
由（1）知，，设．
，，．所以．
，．
由平面知，
平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，．
所以．因为二面角的正切值为
所以二面角的余弦值为
所以，
解得（舍去）或，所以的长为3．
21．（1）证明：因为，，所以，又有，所以．
由顶点在底面内的射影恰好是的中点，知平面，所以．
又，所以平面．
（2）解：连接，以为原点．分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．如图所示
由，，点是的中点，得．又，，得，所以，，，
设平面的法向量为，由得，令，有．
由（1）知．平面的法向量为．
所以二面角的余弦值为．
22．（1）证明：连接，交于点，连接．
在平行四边形中，因为，所以．
又因为，即，所以．
又因为平面，平面．
所以平面．
（2）解：连接，因为，为线段的中点，所以．
又因为平面平面于，平面，
所以平面．
在平行四边形中，因为，，．利用余弦定理可得，所以．
如图，以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，．
因为平面．
设（），因为，，
设为平面的一个法向量，
所以，不妨设．
因为，．
设为平面的一个法向量，
所以，不妨设．
因为平面平面．所以．所以，
因为，所以．
因此，，
所以
故直线与平面所成角的正弦值为．