浙江省余姚重点高中2022届高三上学期9月期初测试数学试题（Word版含答案）

余姚中学2022届高三期初测试数学试题
注意事项：1.全卷共8页；2.考试时间120分钟，满分150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每道题4个选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分）
1.已知集合
A=1,
2,
3，B=3,
4,
5，
则
A
B
A
B
=
A.3
B.1,
2,
3
C.3,
4,
5
D.1,
2,
3,
4,
5
2.复数的计算结果为(
)
　A.2i+1
B.i-2
C.1+3i
D.2+2i
3.抛物线y =4x的焦点F以及准线方程与x轴的交点到动直线y=ax+a-2的距离之和的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
4.随机变量X的分布列如图所示：
　　
X
1
2a
2
P
a
b
其中a∈(0,1)，则下列说法正确的是(
)
　A.E(X)不为定值，D(X)有最小值
　B.E(X)不为定值，D(X)有最大值
　C.E(X)为定值，D(X)有最小值
　D.E(X)为定值，D(X)有最大值
5.a为正实数,则“有极值点”是“a＞2”的(
)
　A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
　C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.若a+c=2b,|a-b|=,cos=,则a·b-a·c的
最大值为(
)
A.
B.
C.
D.
7.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x+1)=,则f(2021)+f(520)的最大值为(
)
　A.1+
B.1-
C.
D.
8.若数列{}前8项的值各异，且=,n∈，则下列数列中可取遍数列{}前8项的值的是(
)
A.{}
B.{}
C.{}
D.{}
9.已知点A(0,-2)在椭圆E：，过点P(0,-3)的直线L的斜率为k且交椭圆E于不同的B，C两点，直线AB,AC交y=-3于点M，N，若|PM|+|PN|≤15，则k的取值范围为(
)
A.[-3，-1]∪[1，3]
B.[-3，-1)∪[1，3]
C.[-3，-1)∪(1，3]
D.[-3，-1]∪(1，3]
10.L1、L2、L3是同一平面内的三条平行直线，L1与L2
间的距离为1，L2与L3间的距离为2，正△ABC的三
个顶点分别在L1、L2、L3上，则△ABC的边长为(
)
A.2
B.
C.
D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11.在△ABC，点O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则
OA·(OB+OC)的最小值为_______.
12.已知a∈R，若关于x的方程x +x+|a-|+|a|=0有实
根，则a的取值范围是______.
13.△ABC中，AC=BC∈[,2),点H在BC上且满足AH=CH，
且AC·AH=2，作CD⊥AB，则CD的取值范围是______.
14.设点P在曲线y=上，点Q在曲线y=ln(2x)上，
则|PQ|的最小值为______.
三.解答题(本大题共5小题，共80分)
15.f(x)=(14分)
(1)求f(π)的值
(2)若x∈(，]，求f(x)的值域
16.正三棱柱-中，D为AC中点(14分)
(1)证明：∥面
(2)当
17.已知数列{}的前n项积满足{}是首项为2的等差数列，且
=(16分)
(1)求数列{}的通项公式
(2)设数列{}满足=-，其前n项和为，求证：对任意正整数n有0＜＜
18.已知椭圆C：(a＞b＞0)(18分)
(1)若原点到C的一个长轴端点和一个短轴端点的直线的距离为，且点M(,1)在椭圆C上，求椭圆C的标准方程
(2)过椭圆C上一点P作两条直线，分别与椭圆相交于异于点P的点A，B.若四边形OAPB为平行四边形(O为坐标原点)，则四边形OAPB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不是，请说明理由.
19.f(x)=g(x)-h(x)(18分)
(1)若g(x)=，h(x)=lnx-ex，分析f(x)的单调性
(2)若g(x)=+(x-1),h(x)=x +
证明：当x＞0时，f(x)≥0(注:）
参考答案
A
B
A
C
B
C
A
B
C
D
11.-2
12.[0,]
13.[,2)
14.
15.
(1)f(π)=0………………………(4’)
(2)f(x)=，令t=sin x∈(,]……………(8’)
则f(t)=，令m=1-2t∈[,0)………………(10’)
则f(m)=-m++∈[1,+∞)………………………(12’)
故值域为[1,+∞)……………………(14’)
16.
(1)连接交于点E，连接DE，如图.
由于E平分，D平分AC，于是∥ED，从而∥面
………………………(4’)
(2)当时，由空间余弦定理有
……(10’)
设=x，AB=1，代入得
，因此所求比值为
…………(14’)
17.
(1)设数列{}的公差为d，根据题意，有
……………………(4’)
于是3d=(2+d)(2+4d)，解得d=1…………(5’)
因此=n+1………………(6’)
从而=……………………(7’)
整理可得=
…………(8’)
(2)=
……(12’)
因而有0＜=
累加可得0＜＜
…………(16’)
18.
(1)由题意不妨设过椭圆C的一个长轴端点和一个短轴端点的
直线的方程为，即bx+ay-ab=0
则①…………(2’)
∵点M(,1)在椭圆C上，∴
②……………(4’)
由①②得a =4，b =2…………(5’)
∴椭圆C的标准方程为………………(6’)
(2)是定值，理由如下：
连接AB，当直线AB的斜率不存在时，易得直线AB的方程
为x=±，此时…………(8’)
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程是y=kx+m
代入椭圆方程得…(10’)
设A()，B()，则
∴………………(11’)
|AB|==………(12’)
∵四边形OAPB为平行四边形
∴OA+OB=OP
∴…………(14’)
∵点P在椭圆C上，
整理得……………………(16’)
又点O到直线AB的距离d=
∴
故四边形OAPB的面积是定值，该定值为………(18’)
19.
(1)f(x)=-lnx+ex,x＞0
f(x)=(lnx+1)-+e……………………(2’)
f(x)=(lnx+1) ++＞0………………(4’)
又f()=0…………(5’)
∴f(x)在(0,)上单调递减，在[,+∞)上单调递
增…………(6’)
(2)f(x)=-x +(x-1)-
f(x)=(lnx+1)-x +x-………………(8’)
f(x)=(lnx+1) +-3x+1…………(9’)
f(x)=(lnx+1) +(lnx+1)+(lnx+1-)-3………
(10’)
f(x)=(lnx+1)+(lnx+1) +2[(lnx+1-)(lnx+1)+]
+(lnx+1-) +()…………(11’)
注意到f(1)=f(1)=f(1)=f(1)=0…………(12’)
又lnx≥1-＞-
∴(lnx+1-)(lnx+1)＞2(1-) ＞0…………(14’)
∴f(x)＞0…………(15’)
∴f(x)在(0,1)单调递减，在[1,+∞)单调递增……(16’)
∴f(x)≥f (1)=0…………(17’)
∴f(x)在(0,1)单调递减，在[1,+∞)单调递增
∴f(x)≥f(1)=0，原不等式成立…………(18’)