重庆市第一重点高中2022届高三上学期9月月考数学试题（Word版含答案）

秘密★启用前【考试时间：9月24日15：00-17：00】
2021年重庆一中高2022届高三上期九月月考
数学测试试题卷
本卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1.已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形面积为（
）
A.
B.
C.
D.
3.已知则（
）
A.
B.
C.
D.3
4.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为℃，空气的温度是℃，那么分钟后物体的温度（单位℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20℃的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60℃，则再经过（
）分钟，物体的温度是40℃（假设空气的温度保持不变）.
A.2
B.4
C.6
D.8
5.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
6.如图所示，在中，点在线段上，，，，则边的长为（
）
A.
B.
C.
D.
7.已知，则实数为（
）
A.
B.2
C.
D.
8.当函数的图象经过的象限个数最多时，实数的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全得5分，部分选对的得2分。有选错的得0分.
9.下列有关说法正确的是（
）
A.当时，
B.若，则“”是“”的必要不充分条件
C.若函数的定义域为R，则
D.命题“，”的否定是“，”
10.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则下列说法正确的是（
）
A.若，则无解
B.若，则恰有一解
C.若，则有两解
D.若，则有两解
11.已知函数，其中是自然对数的底数。则下列说法正确的是（
）
A.是奇函数
B.是的周期
C.在上单调递减
D.在上有2个极值点
12.函数满足，且在上单调。若在上存在最大值和最小值，则实数可以是（
）
A.
B.
C.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的图象在处的切线倾斜角为135°，则实数___________.
14.函数，则不等式的解集为___________.
15.若函数在上单调递增，则的取值范围是___________.
16.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点.
（1）求，；
（2）若角满足，求的值.
18.在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值.
19.如图，在三棱锥中，是正三角形，是等腰直角三角形，，.
（1）求证：；
（2）若点E为BD的中点，求BD与平面ACE所成角的大小.
20.已知函数，其中，.
（1）当，时，求在区间上的值域；
（2）若关于的方程有两个不同的解，求的取值范围.
21.已知椭圆：的长轴为，动点是椭圆上不同于，的任一点，点满足，.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的动直线交于，两点，轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点；若不存在，请说明理由.
22.已知函数，，.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.
2021年重庆一中高2022届高三上期九月月考
数学测试参考答案
一、单项选择题：
1-4DBDB
5-8BDAB
二、多项选择题：
9.BC
10.ABC
11.AD
12.AD
三、填空题：
13.-2
14.
15.
16.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：（1）∵，∴，∴，，∴.
（2）由（1）得：，
∴.
即.
18.（1）∵角，，的对边分别为，，，且
∴，∴，∴
∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴.
（2）∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴.
∵，∴，∴，
∵由正弦定理得：，，，∴.
19.（1）证明：取的中点O，连接OD，OB.
由题设可知，是等腰直角三角形，且，则，所以.
因为是正三角形，所以.
又，则AC平面BOD，
∵平面BOD，因此，；
（2）在中，，又，而，所以，故，
由题设及（1）知，平面BOD，
以点О为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，.
为的中点，得，故，，，
设是平面的法向量，则，即，
取，则，
因为，
所以与平面所成角的大小为.
20.（1）当，时，
∵，∴，∴，，
∴的值域为；
（2）关于有两个不同的解，
，关于有两个不同的解，
设，∵，∴，∴在有两个不向的解，
①当，不符合题意.
②当时，在内有两个不同的解，令，
21.（1）设，，，，
∵，，∴，，∴
解得代入，得点的轨迹的方程为.
（2）设，，假设存在这样的点满足，
当直线的斜率存在时，设为，代入椭圆中，得，
∴，，，
∵，∴，即，
即
，
∵，∴，即；
当斜率不存在时，直线也过.
综上，轴上存在定点，使得总成立..
22.解：（1），
①当时，恒成立，则在R上单调递增；
②当时，时，，的单调递增区为；
时，，的单调递减区间为.
（2）对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.令，
①当时，在恒成立，在上单调递减.只需，即，矛盾.
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
所以只需，即，∴；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
；∴，
综上，实数的取值范围为
法二：，①当时，，，，在单减，递增，
②当时，恒成立，由①可知当时，恒成立，，因此，
综上，实数的取值范围为.