重庆市南开区高级中学2022届高三上学期9月月考数学试题（Word版含答案）

重庆南开中学高2022级高三（上）数学测试（9.15）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个各选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．设i为虚数单位，如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是（
）
A．M
B．N
C．P
D．Q
3．若（且），，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．设，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．在一次试验中，随机事件A，B满足，则（
）
A．事件A，B一定互斥
B．事件A，B一定不互斥
C．事件A，B一定互相独立
D．事件A，B一定不互相独立
6．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，每位同学从中选3门．若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（
）
A．18种
B．24种
C．30种
D．36种
7．已知未成年男性的体重G（单位：）与身高x（单位：）的关系可用指数模型来描述，根据大数据统计计算得到．现有一名未成年男性身高为，体重为，预测当他体重为时，身高约为（
）
A．
B．
C．
D．
8．设双曲线的左右焦点为，左顶点为A，点M是双曲线E在第一象限中内的一点，直线交双曲线E的左支于点N，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5份，部分选对得2分，选错不得分．
9．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为（
）
A．
B．
C．
D．
10．某中学高一年级半期考试后将进行新高考首选科目的选择，每位同学必须在“物理”、“历史”中二选一．学校采用分层抽样的方法，抽取了该年级部分男、女学生选科意愿的一份样本，并根据统计结果绘制如下两个等高堆积条形图：
根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（
）
A．该年级男生数量多于女生数量
B．样本中对物理有意愿的学生数量多于对历史有意愿的学生数量
C．样本中对物理有意愿的男生人数多于对历史有意愿的男生人数
D．样本中对历史有意愿的女生人数多于对物理有意愿的女生人数
11．已知实数x、y、z满足．则下列关系式中可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数，则下列说法正确的有（
）
A．．是偶函数
B．是周期函数
C．在上，有且只有一个极值点
D．过作的切线，有且仅有3条
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共40分）
13．已知函数，则_________
14．函数在处取得极值，则__________．
15．数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的不得分．已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为__________．
16．对于实数a和b，定义运算“○”，，函数，若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是______________．
四．解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设函数．已知关于x的不等式的解集为
（1）求的解析式；
（2）若关于x的方程在区间内有解，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知且，函数是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知函数
（1）求函数在的最值；
（2）设在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
20．（12分）中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员的成绩（滿分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在内的频数为3．
（1）求n的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；
（2）已知抽取的n名参赛人员中，成绩在和女士人数都为2人，现从成绩在和的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为X，求X的分布列与数学期望．
21．（12分）在平面直角坐标系中，有定点，动点T满足．
（1）求动点T的轨迹的方程；
（2）过点作直线，交曲线于两点A，B，以A，B为切点作曲线的切线交于点P，连接．
（ⅰ）证明：点P在一条定直线上；
（ⅱ）记分别为的面积，求的最小值．
22．（12分）函数为的导函数．
（1）若，证明：；
（2）若，且对任意恒成立，求实数m的取值范围．
重庆南开中学高2022级高三（上）数学测试（9.15）参考答案
一、单选题：
ACBC
BCCB
二、多选题：
ACD
BC
ABC
ACD
三、填空题：
13．
14．1
15．
16．
四、解答题
17．解：（1）由题的解集是，∴和1是方程的两个根．由韦达定理可得，∴
（2）
18．解：（1）因为是奇函数，所以，即恒成立，所以，解得；
（2）不等式对任意恒成立，
令，则对恒成立，
因为函数在时递减，所以．
19．解：（1），所以在上单调递增，
3分
；
5分
（2），，
7分
因为在区间上单调递增，所以恒成立，
8分
，由（1）知递增，
10分
所以，当x时，，故
12分
20．解：（1）由频率分布直方图知，成绩在频率，
∵成绩在内频数为3，∴抽取的样本容量，
∴参赛人员平均成绩为．
（2）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在的人数为，
成绩在的人数为，
∴X的可能取值为0，1，2，3，4，
∴；，
，，
．
∴x的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴．
21．解：（1）设点，则，
1分
由，得，
2分，整理，得
4分
（2）（ⅰ）设，则
联立直线与抛物线，所以，；
5分
由，求导得，切线，即，
同理，切线，
6分，
联立可得
7分
即，所以，点P在条定直线上．
8分
（ⅱ）
9分
设O，P到直线的距离为
则
10分
11分
关于递增，显然，当时，取得最小值
12分
22．解：（1）
令，则，
1分
所以在单调递增，
2分，
所以，在单调递增；
3分
所以时，，即时，．
4分
（2）
①
令，则①式等价于，
7分
，当时，
又因为，，所以，
所以，
9分
令，，
所以在递增，在递减，所以，故
11分
综上，
12分