2021-2022学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》能力提升训练(附答案)
一.选择题
1.在△ABC纸片上有一点P,且PA=PB,则P点一定( )
A.是边AB的中点
B.在边AB的垂直平分线上
C.在边AB的高线上
D.在边AB的中线上
2.到三角形的三条边距离相等的点( )
A.是三条角平分线的交点
B.是三条中线的交点
C.是三条高的交点
D.以上答案都不对
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,DC=AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于( )
A.1
B.
C.2
D.
4.如图,三条公路两两相交,现计划修建一个油库,计划使得该油库到三条公路的距离相等,则油库的可选位置有( )处.
A.1
B.2
C.3
D.4
5.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,BD:DC=2:1,BC=9.6cm,则D到AB的距离为( )
A.2.2cm
B.3.2cm
C.4.8cm
D.6.4cm
6.如图,已知:AC=AD,BC=BD,那么( )
A.CD垂直平分AB
B.AB垂直平分CD
C.CD与AB互相垂直平分
D.以上说法都不对
7.如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=120°,BC=20cm,则AM的长度为( )
A.20cm
B.10cm
C.5cm
D.15cm
8.如图,在△ABC中,∠BAC>90°,AB的垂直平分线交BC于点E,AC的垂直平分线交BC于点F,连接AE、AF,若△AEF的周长为2,则BC的长是( )
A.2
B.3
C.4
D.无法确定
9.如图,在△ABC中,已知点D在BC上,且BD+AD=BC,则点D在( )
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的中点
D.AB的垂直平分线上
10.如图,已知:AD平分∠BAC,EF垂直平分AD,交BC的延长线于F,连接AF,若∠B=50°,则∠CAF=( )
A.25°
B.30°
C.45°
D.50°
11.如图,AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB,ID⊥BC,△ABC的周长为18,ID=3,则△ABC的面积为( )
A.18
B.30
C.24
D.27
12.如图,在△ABC中,I是三角形角平分线的交点,O是三边垂直平分线的交点,连接AI,BI,AO,BO,若∠AOB=140°,则∠AIB的大小为( )
A.160°
B.140°
C.130°
D.125°
二.填空题
13.如图,在△ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点,并且相交于点F,且∠DFE=70°,则∠DAE的度数是
.
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,DE垂直平分AB交AB于点E,若DE=1,BD=2,则AC=
.
15.如图,△ABC中,已知∠C=90°,DE是AB的垂直平分线,若∠DAC:∠DAB=1:2,那么∠BAC=
度.
16.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=12,BC=18,CD=8,则四边形ABCD的面积是
.
17.如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线DE交BC的延长线于E,交AB于F,∠A=50°,则∠EFC的度数为
度.
18.已知MN是线段AB的垂直平分线,P、Q是直线MN上两点,且∠PAB=35°,∠QBA=60°,则∠QAP的度数为
.
19.如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,连接BD,BD⊥CD,垂足为D,∠ADB=∠C,点P是边BC上的一动点,则DP的最小值是
.
三.解答题
20.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是152cm2,AB=20cm,AC=18cm,求DE的长.
21.如图,在四边形ABCD中,BD所在的直线垂直平分线段AC,过点A作BC的平行线AF交CD于F,延长AB、DC交于点E.
求证:(1)AC平分∠EAF;
(2)∠FAD=∠E.
22.如图,在△ABC中,点E是BC边上的一点,连接AE,BD垂直平分AE,垂足为F,交AC于点D,连接DE.
(1)若△ABC的周长为18,△DEC的周长为6,求AB的长.
(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,求∠CDE的度数.
参考答案
1.解:∵PA=PB,
∴P点在在边AB的垂直平分线上,
故选:B.
2.解:∵三角形三条角平分线交于一点,这点到三角形的三边的距离相等.
∴到三角形的三条边距离相等的点是三条角平分线的交点,
故选:A.
3.解:如图,过D作DE⊥AB于E,
∵∠C=90°,
∴CD⊥BC,
∵BD平分∠ABC,CD⊥BC,DE⊥AB,
∴DE=CD,
∵CD=,AC=4,
∴,
∴,
故选:B.
4.解:如图,油库的可选位置有4处.
故选:D.
5.解:过D点作DE⊥AB于E,如图,
∵BD:DC=2:1,
∴DC=BC=×9.6=3.2(cm),
∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴DE=DC=3.2cm,
即D到AB的距离为3.2cm.
故选:B.
6.解:∵AC=AD,BC=BD,
∴AB垂直平分CD(到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上).
故选:B.
7.解:延长DM交AB于点G,
∵∠B=∠C=90°,
∴∠C=∠MBG=90°,
∵∠DMC=∠BMG,MC=MB,
∴△DMC≌△GMB(ASA),
∴DM=GM,∠ADM=∠CDM=∠G=∠ADC=60°,
∴△ADG是等边三角形,
∴AM⊥DG,
∴AM=,
∵DM=cm,
∴AM=20cm,
解法二:过点M作ME⊥AD.∵M是BC的中点,BC=20cm,
∴CM=BM=10cm,
.∵DM平分∠ADC,∠C=90°,ME⊥AD,
∴ME=CM=10cm=BM,
又∵∠B=90°,ME⊥AD,
∴AM平分∠DAB,
∵∠B=∠C=90°,
∴DC∥AB,
∵∠ADC=120°,
∴∠DAB=60°,
∴∠EAM=30°,
∴AM=2ME=20cm.
故选:A.
8.解:∵AB的垂直平分线交BC于点E,
∴EA=EB,
∵AC的垂直平分线交BC于点F.
∴FA=FC,
∴BC=BE+EF+FC=AE+EF+FC=△AEF的周长=2.
故选:A.
9.解:∵BD+DC=BC,BD+AD=BC,
∴DC=DA,
∴点D在AC的垂直平分线上,
故选:A.
10.解:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵EF垂直平分AD,
∴FA=FD,
∴∠FAD=∠FDA,
∵∠FDA=∠B+∠BAD,∠FAD=∠CAF+∠CAD,
∴∠CAF=∠B=50°,
故选:D.
11.解:如图,过点I作IE⊥AB于E,IF⊥AC于F,
∵∠ABC、∠ACB的平分线,ID⊥BC,
∴ID=IE,ID=IE,
∴ID=IE=IF=3,
∵△ABC的周长为18,
∴△ABC的面积=(AB+BC+AC)×3=×18×3=27.
故选:D.
12.解:连接CO,
∵∠AOB=140°,
∴∠OAB+∠OBA=180°﹣140°=40°,
∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC=180°﹣40°=140°,
∵O是三边垂直平分线的交点,
∴OA=OC,OB=OC,
∴∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC,
∴∠OCA+∠OCB=70°,
∴∠CAB+∠CBA=180°﹣70°=110°,
∵AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,
∴∠IAB=∠CAB,∠IBA=∠CBA,
∴∠IAB+∠IBA=(∠CAB+∠CBA)=55°,
∴∠AIB=180°﹣55°=125°,
故选:D.
13.解:∵AB、AC的垂直平分线相交于点F,∠DFE=70°,
∴∠BAC=360°﹣90°﹣90°﹣70°=110°,
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°,
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点,
∴DA=DB,EA=EC,
∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,
∴∠DAB+∠EAC=∠B+∠C=70°,
∴∠DAE=110°﹣70°=40°,
故答案为:40°.
14.解:∵DE垂直平分AB,BD=2,
∴AD=BD=2,
∵BD平分∠ABC,∠C=90°,DE⊥AB,
∴CD=DE=1,
∴AC=AD+CD=2+1=3,
故答案为:3.
15.解:设∠DAB=x,则∠DAC=2x,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴DA=DB,
∴∠B=∠DAB=x,
∵∠C+∠B+∠CAB=180°,
∴90°+x+2x+x=180°,解得x=22.5°,
∴∠BAC=x+2x=3x=67.5°.
故答案为67.5.
16.解:过点D作DE⊥BA的延长线于点E,如图所示.
∵BD平分∠ABC,
∴DE=DC=8,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD,
=AB DE+BC CD,
=×12×8+×18×8,
=120.
故答案为:120.
17.解:∵DE垂直平分AC,
∴AF=CF,∠FDC=90°,
∴∠ACF=∠A=50°.
在△CDF中,∠EFC=∠FDC+∠FCD=90°+50°=140°.
18.解:当点P、Q在AB的同旁时,
∵MN是线段AB的垂直平分线,
∴QA=QB,
∵∠QBA=60°,
∴∠QAB=∠QBA=60°,
∴∠QAP=∠QAB﹣∠PAB=60°﹣35°=25°,
当点P、Q′在AB的两旁时,
∴∠Q′AP=∠Q′AB+∠PAB=60°+35°=95°,
故答案为:25°或95°.
19.解:由垂线段最短可得DP⊥BC时,DP有最小值,
∵∠A+∠ADB+∠ABD=180°,∠BDC+∠C+∠DBC=180°,∠A=90°,
∴∠ABD=∠DBC,
∴DP=AD,
∵AD=3,
∴DP的最小值为3.
故答案为3.
20.解:∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴DE=DF,
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴S△ABC=,
∵△ABC面积是152cm2,AB=20cm,AC=18cm,
∴152=,
∴10DE+9DF=152,
∵DE=DF,
∴19DE=152,
∴DE=8cm.
21.证明:(1)∵BD所在的直线垂直平分线段AC,
∴BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵BC∥AF,
∴∠CAF=∠BCA,
∴∠CAF=∠BAC,即AC平分∠EAF;
(2)∵BD所在的直线垂直平分线段AC,
∴DA=DC,
∴∠DAC=∠DCA,
∵∠DCA是△ACE的一个外角,
∴∠DCA=∠E+∠EAC,
∴∠E+∠EAC=∠FAD+∠CAF,
∵∠CAF=∠EAC,
∴∠FAD=∠E.
22.解:(1)∵BD是线段AE的垂直平分线,
∴AB=BE,AD=DE,
∵△ABC的周长为18,△DEC的周长为6,
∴AB+BE+EC+CD+AD=18,CD+EC+DE=CD+CE+AD=6,
∴AB+BE=18﹣6=12,
∴AB=6;
(2)∵∠ABC=30°,∠C=45°,
∴∠BAC=180°﹣30°﹣45°=105°,
在△BAD和△BED中,
,
∴△BAD≌△BED(SSS),
∴∠BED=∠BAC=105°,
∴∠CDE=∠BED﹣∠C=105°﹣45°=60°