2021-2022年苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性能力达标测评（word版含解析）

2021-2022年苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足+|b﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．7
B．10
C．11
D．10或11
2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（　　）
①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
6．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④
7．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
8．下列说法中错误的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的中线、角平分线、高线都是线段C．任意三角形的内角和都是180°
D．三角形按边分可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形
9．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．7或8
B．6或10
C．6或7
D．7或10
10．如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
二．填空题（共1小题，满分5分）
11．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝3，DE＝5，则线段EC的长为　
　．
三．解答题（共11小题，满分75分）
12．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BD为角平分线，延长BC到E，使CE＝CD，作DH⊥BE，垂足为H．
（1）求证：H为BE的中点；
（2）探究∠A为多少度时，AD＝HC？
13．操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点E作射线EF交AC于点F，使∠AEF＝∠B．
（1）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；
（2）请你探索：当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．
15．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是　
　三角形；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，AB＝AC＝8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN＝3．
（1）求∠CAD度数；
（2）求△BMN的周长．
17．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：MN∥AB．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？
19．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当动点P、Q同时运动2s时，则BP＝　
　cm，BQ＝　
　cm．
（2）当动点P、Q同时运动t（s）时，分别用含有t的式子表示；BP＝　
　cm，BQ＝　
　cm．
（3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
20．如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．
（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C出发，沿线段CA向点A运动，到达A点后停止运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBC是等腰三角形；
（2）过点P作PH⊥AB，垂足为H，当H为AB中点时，求t的值．
22．如图，点O是等边△ABC内一点，∠BOC＝α．将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△DOC是等边三角形；
（2）当AO＝5，BO＝4，α＝150°时，求CO的长；
（3）若∠AOB＝110°，探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵+|b﹣4|＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝3，b＝4，
∵等腰三角形的两边长分别为a，b，
∴当a为腰长时，
∴等腰三角形的周长为：3+3+4＝10，
当b为腰长时，
等腰三角形的周长为：3+4+4＝11，
故此等腰三角形的周长为10或11．
故选：D．
2．解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
3．解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；
②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；
③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，
1+1+2＝4，
故选：D．
4．解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
5．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；
∴CD＝BD，
∵AD＝CD，
∴CD＝AB；故②正确；
∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵若∠E＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，
∴CF＝DF，
∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．
故选：B．
6．解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确．
所以都正确．
故选：D．
7．解：①、∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故①正确；
②、∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故②正确；
③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故③正确；
④、∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
8．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，故说法错误，符合题意；
B、三角形的中线、角平分线、高线都是线段，说法正确，不合题意
，故本选项不合题意；
C、任意三角形的内角和都是180°，说法正确，不合题意；
D、三角形按边分可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，说法正确，不合题意；
故选：A．
9．解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴
解得：，
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7．
故选：A．
10．解：∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，
∴AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，
∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，
∴∠AFD＝∠CFE＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∴CE＝8﹣2＝6，
∴CF＝CE＝3，
∴BF＝5，
故选：C．
二．填空题（共1小题，满分5分）
11．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠CFE＝∠BCF，
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF，
∴BD＝DF＝3，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共11小题，满分75分）
12．（1）证明：∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠4
∵BD平分∠ABC
∴∠1＝∠2
∵CE＝CD
∴∠3＝∠E
∴∠2＝∠E
∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED
∵DH垂直于BE
∴H为BE中点（三线合一）
（2）当∠A＝90°时，AD＝HC．
证明：∵BD为角平分线，DH⊥BE，∠A＝90°，
∴AD＝DH，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠DCH＝45°，
∵∠DHC＝90°，
∴△DHC是等腰直角三角形，
∴DH＝HC，
∴AD＝HC．
13．解：（1）由图①可猜想PD＝PE，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD＝PE．
理由如下：
连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP＝PB，CP⊥AB，∠ACP＝∠ACB＝45°．
∴∠ACP＝∠B＝45°．
又∵∠DPC+∠CPE＝∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC＝∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD＝PE．
（2）△PBE是等腰三角形，
①当PE＝PB时，此时点C与点E重合，CE＝0；
②当BP＝BE时，E在线段BC上，；E在CB的延长线上，；
③当EP＝EB时，CE＝1．
14．解：（1）∠BAE＝∠FEC；
理由如下：
∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，
∴∠BAE＝∠FEC；
（2）如图1，当∠AFE＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠C+∠CEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEF＝90°，
即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；
如图2，当∠EAF＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠1，
∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，
∴2∠AEF+∠1＝90°，
即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．
15．解：（1）∵△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝＝＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
又∵∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝30°+30°＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
①当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE，
∴∠ECD＝∠CDE＝30°，
∵∠AED＝∠ECD+∠CDE，
∴∠AED＝60°，
②当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE，
∵∠ECD+∠CED+∠CDE＝180°，
∴∠CED＝＝＝75°，
∴∠AED＝180°﹣∠CED＝105°，
③当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，
∠ACD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠ACB＝120°，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°．
16．解：（1）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°，
又∵D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝×40°＝20°，
故∠CAD度数为20°．
（2）∵NM∥AC，
∴∠ANM＝∠CAD，
又∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠ANM＝∠BAD，
∴AM＝NM，
∴△BMN的周长＝MB+BN+NM＝AB+BN，
∵AB＝8，BN＝3，
∴△BMN的周长＝8+3＝11．
故△BMN的周长为11．
17．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，
∵∠DCA＝∠ECB＝60°，
∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD；
（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM＝∠CDN，
∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN＝60°，
在△ACM与△DCN中，
∵，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC＝NC，
∵∠MCN＝60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC＝∠DCN＝60°，
∴∠NMC＝∠DCA，
∴MN∥AB．
18．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，
∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t；
（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
∴当t＝4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；
（3）当PQ⊥AC时，PQ∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵PQ∥BC，
∴∠QPA＝30°
∴AQ＝AP，
∴t＝（12﹣2t），解得t＝3，
∴当t＝3时，PQ∥BC．
19．解：（1）BQ＝1×2＝2（cm），BP＝3﹣2＝1（cm），
故答案为1，2；
（2）BP＝（3﹣t）
cm，BQ＝tcm，
故答案为（3﹣t），t；
（3）根据题意，得AP＝t
cm，BQ＝t
cm．
在△ABC中，AB＝BC＝3
cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm．
在△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm．，BQ＝tcm，
若△PBQ是直角三角形，
则只有∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°
①当∠BQP＝90°时，BQ＝BP，
即t＝（3﹣t），解得t＝1；
②当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ，
即3﹣t＝t．解得t＝2．
答：当t＝1s或t＝2s时，△PBQ是直角三角形．
20．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝9cm，
∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，
∴CP＝2t，
则PB＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm；
∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，
∴BQ＝5t；
（2）若△PBQ为等边三角形，
则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，
解得t＝，
所以当t＝s时，△PBQ为等边三角形；
（3）设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得：5t﹣2t＝18，
解得t＝6，
则6s时，两点第一次相遇．
当t＝6s时，P走过得路程为2×6＝12cm，
而9＜12＜18，即此时P在AB边上，
则两点在AB上第一次相遇．
21．解：（1）∵∠C＝90°，
∴当△PBC为等腰三角形时，其必为等腰直角三角形，
∴BC＝PC，
由题意可知PC＝2t，且BC＝6cm，
∴2t＝6，解得t＝3，
即当t为3秒时，△PBC为等腰三角形；
（2）在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝8cm，
∵PH⊥AB，且H为AB中点，
∴PH垂直平分AB，
∴PB＝PA，
由题意可知PC＝2tcm，则PB＝PA＝（8﹣2t）cm，
在Rt△PBC中，由勾股定理可得PB2＝CB2+CP2，
即（8﹣2t）2＝62+（2t）2，解得t＝，
即当H为AB中点时t的值为．
22．（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，
∴CO＝CD．
∴△COD是等边三角形；
（2）∵△ADC≌△BOC，
∴DA＝OB＝4，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，又∠ADC＝∠α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝90°，
∴△AOD为直角三角形．
又AO＝5，AD＝4，
∴OD＝3，
∴CO＝OD＝3；
（3）若△AOD是等腰三角形，
所以分三种情况：①∠AOD＝∠ADO②∠ODA＝∠OAD③∠AOD＝∠DAO，
∵∠AOB＝110°，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝360°﹣110°﹣60°﹣∠AOD＝190°﹣∠AOD，
而∠BOC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，
由①∠AOD＝∠ADO可得∠BOC＝∠AOD+60°，
求得α＝125°；
由②∠ODA＝∠OAD可得∠BOC＝150°﹣∠AOD
求得α＝110°；
由③∠AOD＝∠DAO可得∠BOC＝240°﹣2∠AOD，
求得α＝140°；
综上可知α＝125°、α＝110°或α＝140°．