2021-2022学年苏科版八年级数学上册2.4线段、角的轴对称性 能力达标测评（word版、含解析）

2021-2022学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》能力达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足是E．若AC＝5，DE＝2，则AD为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
2．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．无法确定
3．如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（　　）
A．40°
B．45°
C．50°
D．80°
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，BD＝5，AD＝3，若点P是BC上的动点，则线段DP的最小值是（　　）
A．3
B．2.4
C．4
D．5
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝10，则点D到AB的距离是（　　）
A．8
B．9
C．10
D．11
6．如图所示，已知∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于点E，且OE＝3cm，则点O到AB，CD的距离之和是（　　）
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
7．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（　　）
A．5
B．8
C．9
D．10
8．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　）
A．S1＞S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＜S2+S3
D．无法确定
二．填空题（共10小题，满分30分）
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为
　
　．
10．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC＝18，AB＝8，BC＝4，则DE＝　
　．
11．如图，已知∠BAC＝60°，∠B＝80°，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于点E，则∠BAD＝　
　．
12．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足为D，∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是
　
　．
13．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若△ABC的周长26cm，△AEC的周长17cm，则AB的长为
　
　．
14．如图∠BAC＝100°，若MP和NQ分别是AB、AC的垂直平分线，则∠PAQ＝　
　°．
15．如图，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为　
　．
16．已知MN是线段AB的垂直平分线，P、Q是直线MN上两点，且∠PAB＝35°，∠QBA＝60°，则∠QAP的度数为
　
　．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝DC，若BC＝6，AD＝7，则图中阴影部分图形的面积为
　
　．
18．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接OA，OC，AC，若∠ABC＝40°，则∠OAC＝　
　°．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．如图，△ABC中，DE，FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足，∠DAF＝20°．
（1）若△DAF的周长为6，求BC的长；
（2）求∠BAC的度数．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D，求∠BAD的度数．
21．如图，已知△ABC的周长是20，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD＝3，求△ABC的面积．
22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）试说明AD垂直平分EF；
（2）若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE的长．
23．△ABC（∠C＞90°）的三条角平分线相交于点D，延长AD交BC于点E．作AF⊥BC，交BC延长线于点F．
（1）若∠BAC＝40°，则∠BDC＝　
　°；
（2）判断∠CDE与∠ABD的数量关系，并说明理由；
（3）求证∠ACD＝∠EAF+∠ABD．
24．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD．
25．已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，且∠AEP+∠CFP＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图3，若∠AEP：∠CFP＝2：1，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时旋转t秒，问t为多少时，射线EP1∥FP2，直接写出t的值．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
∵AC＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣2＝3，
故选：B．
2．解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴EA＝EB，
∵AC的垂直平分线交BC于点F．
∴FA＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+FC＝△AEF的周长＝2．
故选：A．
3．解：连接OA，
∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，
∴OA＝OB，OB＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，
∵∠BOC＝100°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，
∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，
即∠BAC＝50°，
∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，
∴∠ODA＝∠OEA＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠α＝180°﹣130°＝50°，
故选：C．
4．解：当DP⊥BC时，DP的值最小，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°
当DP⊥BC时，
DP＝AD，
∵AD＝3，
∴DP的最小值是3，
故选：A．
5．解：如图，作DH⊥AB于H．
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DH（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝10，
∴DH＝10，即点D到AB的距离是10．
故选：C．
6．解：如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，
如图所示，AB∥CD，
∴MN⊥CD．
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，
∴OM＝OE＝3cm．
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON＝OE＝3cm，
∴MN＝OM+ON＝6cm，
即AB与CD之间的距离是6cm．
故选：B．
7．解：∵△ABC周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∵AC＝6，
∴AB+BC＝10，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∴AB+BD＝AE+CE＝×（AB+BC）＝5，
∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，
故选：A．
8．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵S1＝ AB OD，S2+S3＝ BC OE+ AC OF＝OD （BC+AC），
而AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分）
9．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝3，
∴CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
10．解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BDC＝AB DE+BC DF＝18，
即×8 DE+×4 DE＝18，
解得：DE＝3，
故答案为：3．
11．解：∵∠BAC＝60°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝20°，
故答案为：20°．
12．解：由垂线段最短可得DP⊥BC时，DP有最小值，
∵∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠BDC+∠C+∠DBC＝180°，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴DP＝AD，
∵AD＝3，
∴DP的最小值为3．
故答案为3．
13．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵△ABC的周长26cm，
∴AB+AC+BC＝26cm，
∵△AEC的周长17cm，
∴AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+BC＝17cm，
∴AB＝26﹣17＝9（cm），
故答案为：9cm．
14．解：∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵MP和NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C＝80°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）＝20°，
故答案为：20．
15．解：过E点作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EF＝EP，∠ABE＝∠ABC＝×40°＝40°，
∵CE平分外角∠ACD，
∴EH＝EP，
∴EF＝EH，
∴AE平分∠FAC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠FAC＝180°﹣80°＝100°，
∴∠FAE＝∠FAC＝50°，
∵∠FAC＝∠ABE+∠AEB，
∴∠AEB＝50°﹣20°＝30°．
故答案为30°．
16．解：当点P、Q在AB的同旁时，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴QA＝QB，
∵∠QBA＝60°，
∴∠QAB＝∠QBA＝60°，
∴∠QAP＝∠QAB﹣∠PAB＝60°﹣35°＝25°，
当点P、Q′在AB的两旁时，
∴∠Q′AP＝∠Q′AB+∠PAB＝60°+35°＝95°，
故答案为：25°或95°．
17．解：∵AD⊥BC，BC＝6，AD＝7，
∴△ABC的面积＝×6×7＝21，
∵AD⊥BC，BD＝DC
∴AD是BC的垂直平分线，即AD是△ABC的对称轴，
∴阴影部分图形的面积＝×S△ABC＝10.5，
故答案为：10.5．
18．解：连接OB，
∵∠ABC＝40°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣40°＝140°，
∵l1，l2分别为线段AB，BC的垂直平分线，
∴OA＝OB，OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝×（140°﹣40°）＝50°，
故答案为：50．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．解：（1）∵△DAF的周长为6，
∴DA+FA+DF＝6，
∵DE，FG分别为AB、AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝6；
（2）∵DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠DAB+∠FAC＝∠B+∠C，
∵∠DAF＝20°，
∴∠DAB+∠FAC+∠B+∠C＝180°﹣20°＝160°，
∴∠DAB+∠FAC＝80°，
∴∠BAC＝80°+20°＝100°．
20．解：∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝40°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝22°．
21．解：∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
∴OE＝OF＝OD，
∵OD＝3，
∴OE＝OF＝OD＝3，
∵△ABC的周长是20，
∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×3
＝×20×3＝30．
22．解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB ED+AC DF＝DE（AB+AC）＝15，
∵AB＝6，AC＝4，
∴×10×DE＝15，
∴DE＝3．
23．（1）解：如图，∵△ABC（∠C＞90°）的三条角平分线相交于点D，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠BDC＝180°﹣∠2﹣∠3，
∴∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠BDC＝180°﹣×140°＝110°；
故答案为110；
（2）解：∠CDE＝90°﹣∠ABD；
理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠4+∠CAE＝90°，
∵∠CDE＝∠CAD+∠4，
∴∠1+∠4+∠CDE﹣∠4＝90°，
∴∠1+∠CDE＝90°，
即∠CDE＝90°﹣∠ABD；
（3）证明：∵∠5+∠3+∠CDE＝180°，∠CDE＝90°﹣∠1；
∴∠5+∠3+90°﹣∠1＝180°，
∵AF⊥BC，
∴∠5＝90°﹣∠EAF，
∴90°﹣∠EAF+∠3+90°﹣∠1＝180°，
而∠3＝∠4，
∴90°﹣∠EAF+∠4+90°﹣∠1＝180°，
∴∠4＝∠EAF+∠1，
即∠ACD＝∠EAF+∠ABD．
24．证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD．
25．解：（1）∵∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，
∴∠AEP＝∠PEF，∠PFC＝∠CFP，
∵∠AEP+∠CFP＝90°，
∴∠AEF+∠PFC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）设∠PEQ＝α，
∵PE平分∠AEF，
∴∠AEP＝2α，
∵EQ平分∠PEF，
∴∠QEF＝∠PEQ＝α，
∵∠EPF＝90°，
∴∠PFE＝90°﹣2α，
∴∠PFM＝180°﹣（90°﹣2α）＝90°+2α，
∵FQ平分∠PFM，
∴∠PFQ＝45°+α，
∴∠Q＝180°﹣∠QEF﹣∠EFQ＝180°﹣α﹣（90°﹣2α）﹣（45°+α）＝45°；
（3）如图1，EP1∥FP2时，
∵∠AEP：∠CFP＝2：1，∠AEP+∠CFP＝90°，
∴∠AEP＝60°，∠CFP＝30°，
∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠P2FE＝30°﹣3°t，
∵EP1∥FP2，
∴∠P1EF＝∠P2FE，
∴15°t﹣60°＝30°﹣3°t，
∴t＝5；
如图2，EP1∥FP2时，
∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠EFP2＝3°t﹣30°，
∵EP1∥FP2，
∴∠P1EF+∠EFP2＝180°，
∴15°t﹣60°+3°t﹣30°＝180°，
∴t＝15；
综上所述：当t＝5或15时，射线EP1∥FP2，
故答案为5或15．