2.6正多边形和圆同步达标测评 2021-2022学年苏科版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.6正多边形和圆》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）
A．3
B．9
C．18
D．36
2．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（　　）
A．1
B．
C．2
D．2
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（　　）
A．30°
B．36°
C．60°
D．72°
4．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（　　）
A．10
B．9
C．8
D．7
5．正六边形的边心距与边长之比为（　　）
A．1：2
B．：2
C．：1
D．：2
6．已知：如图，ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，F是BC的中点，AF的延长线交⊙O于点E，则AE的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（　　）
A．18°
B．36°
C．54°
D．72°
二．填空题（共7小题，满分35分）
8．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为　
　．
9．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为　
　cm2．（结果保留π）
10．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为　
　．
11．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是　
　度．
12．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为　
　．
13．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为，则BF的长为　
　．
14．如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝　
　度．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
16．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
17．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；
（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．
18．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．
19．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
20．如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．
（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；
（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接出答案）；
（3）根据前面探索和图3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，（n为大于2的偶数）若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积＝18，
故选：C．
2．解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
∴OG＝，
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为．
故选：B．
3．解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．
4．解：∵五边形的内角和为（5﹣2） 180°＝540°，
∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，
则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：D．
5．解：如图：设正六边形的边长是a，则半径长也是a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线段OC，则AC＝AB＝a，
于是OC＝＝a，
所以正六边形的边心距与边长之比为：a：a＝：2．
故选：D．
6．解：连接CE，由相交弦定理知，
AF EF＝BF CF＝4，
由勾股定理得，AF＝2，
∴FE＝，
AE＝AF+EF＝．
故选：A．
7．解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分35分）
8．解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝4，
∴OE＝OF＝2，∵OM⊥EF，
∴EM＝MF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
在RT△OME中，∵OE＝2，∠OEM＝∠GEF＝30°，
∴OM＝，EM＝OM＝，
∴EF＝2．
故答案为2．
9．解：如图所示：连接BO，CO，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB＝BC＝CO＝1，∠ABC＝120°，△OBC是等边三角形，
∴CO∥AB，
在△COW和△ABW中
，
∴△COW≌△ABW（AAS），
∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC＝＝．
故答案为：．
10．解：连接OE，由正六边形是轴对称图形知：
在Rt△OEG中，∠GOE＝30°，OE＝1．
∴GE＝，OG＝．
∴A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）D（1，0），E（，），F（﹣，）．
故答案为：（，﹣）
11．解：连接OB，OC，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC＝90°，
∴∠P＝∠BOC＝45°．
故答案为：45．
12．解：∵∠POM＝45°，∠DCO＝90°，
∴∠DOC＝∠CDO＝45°，
∴△CDO为等腰直角三角形，
那么CO＝CD．
连接OA，可得到直角三角形OAB，
∴AB＝BC＝CD＝CO，BO＝BC+CO＝BC+CD＝2AB，
那么AB2+OB2＝52，
∴AB2+（2AB）2＝52，
∴AB的长为．
故答案为：
13．方法一：
解：连接BD，DF，过点C作CN⊥BF于点N，
∵正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为，
∴BD＝2，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝2，
∵E为DC的中点，
∴CE＝1，
∴BE＝，
∴CN×BE＝EC×BC，
∴CN×＝2，
∴CN＝，
∴BN＝，
∴EN＝BE﹣BN＝﹣＝，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BFD＝90°，
∴△CEN≌△DEF，
∴EF＝EN，
∴BF＝BE+EF＝+＝，
故答案为：．
方法二：
解：连接DF，BD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为，
∴BD＝2，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝2，
∵E为DC的中点，
∴CE＝1，
∴BE＝，
∵∠DFB＝∠C＝90°，∠DEF＝∠CEB，
∴x＝，
故BF＝BE+EF＝+＝，
故答案为：．
14．解：∵四边形ABCD
是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
在正六边形ABEFGH中，∵AB＝AH，∠BAH＝120°，
∴AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴∠ADH＝∠AHD＝（180°﹣150°）＝15°，
故答案为：15．
三．解答题（共6小题，满分65分）
15．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC．
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∴∠APB＝45°，
∴BP＝BE，∴；
又∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC＝AE．
∴．
（3）答：；
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，
连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ＝BP．
∴MP＝QM，
又∵∠APB＝30°，
∴PM＝PB，
∴
∴
16．（1）证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝＝．
17．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，
∵PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
在△BEC和△APC中，
，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，连接OA，OB．如图2，
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∵∠APB＝∠AOB＝45°，
∴BP＝BE，
∴PE＝PB，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴PC＝AE，
∴PA＝AE+PE＝PC+PB；
18．解：（1）如图1中，连接OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AED＝∠AOD＝45°．
（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．
∵BF∥DE，AB∥CD，
∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，
∴∠ABF＝∠CDE，
∵∠CFA＝∠AEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝135°，
∵CD＝AB，
∴△CDE≌△ABF，
∴AF＝CE＝1，
∴AC＝＝，
∴AD＝AC＝，
∵∠DHE＝90°，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，
∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，
在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，
∴＝（4﹣x）2+x2，
解得x＝或（舍弃），
∴DE＝DH＝
19．（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
20．解：（1）方法一：
连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为M．
∵点O是正方形ABCD外接圆圆心，
∴OA＝OB．
∵正方形ABCD，
∴OM＝AB，
∴S△ABO＝S正方形ABCD．
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAF＝∠OBE＝45度．
又∵∠A'OC'＝90°，∠AOF+∠A'OB＝∠A'OB+∠BOE＝90°，
∴∠AOF＝∠BOE．
∴△AOF≌△BOE．
∴S△AOF＝S△BOE．
∴重叠部分面积＝S△BOF+S△BOE＝S△BOF+S△AOF＝S△ABO＝S正方形ABCD．
∴S阴影＝S正方形ABCD．
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3．
方法二：过正方形ABCD的外接圆圆心O分别作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M，N．
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∴OM＝ON＝AB．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形MBNO为矩形．
∵OM＝ON，
∴四边形MBNO为正方形．
∴S正方形MBNO＝S正方形ABCD．
∵∠FOE＝90°，
∴∠FOM+∠MOE＝∠MOE+∠EON＝90度．
∴∠FOM＝∠EON．
∴△FOM≌△EON．
∴S△FOM＝S△EON．
∴重叠部分面积＝S△FOM+S四边形MBEO＝S四边形MBEO+S△EON＝S正方形MBNO＝S正方形ABCD．
∴S阴影＝S正方形ABCD．
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3．
（2）1：2；
（3）n边形的每一个内角度数＝，阴影部分对应的中心角＝360°﹣＝，
两个相同正n边形重叠部分面积与阴影部分面积之比＝：＝（n﹣2）：（n+2）．
但当边数超过六以后，正多边形的边长小于半径，因而结论不适合推广．