2021-2022学年苏科版七年级数学上册2.6有理数的乘法与除法解答专题训练（Word版，含答案）

2021-2022学年苏科版七年级数学上册《2.6有理数的乘法与除法》解答专题训练（附答案）
1．观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”．
（1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”；
（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）　
　“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（4）如果（m，n）是“共生有理数对”（其中n≠1），直接用含n的式子表示m．
2．学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：小明：原式＝；小军：原式＝．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来．
（3）用你认为最合适的方法计算：．
3．已知ab＜0，＞0．b＞|a|＞|c|．
（1）a　
　0，b　
　0，c　
　0；
（2）化简|a﹣b|+|c+b|﹣2|c+a|．
4．【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考．
【探索】
（1）若ab＝6，则a+b的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是　
　；（填序号）
（2）若a+b＝﹣5，且a、b为整数，则ab的最大值为　
　；
【拓展】
（3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若ab＜0，试比较a+b与0的大小．
5．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两大类：正奇数和正偶数，小明受到启发，按照一个正整数被3整除的余数把正整数分成了3类：如果一个正整数被3整除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3整除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于　
　类．（选填A或B或C）
（2）①从A类数中任意取两个数，它们的和属于　
　类．（选填A或B或C）
②从A类数中任意取8个数，从B类数中任意取9个数，从C类数中任意取10个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　
　类（选填A或B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则关于下列关于m、n的叙述中正确的是　
　．（填序号）
①m+2n属于C类；
②|m﹣n|属于B类；
③m属于A类，n属于B类；
④m、n属于同一类．
6．计算：25×11＝275，13×11＝143，48×11＝528，74×11＝814，
观察上面的算式，我们发现两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一．
仿照上面的速算方法，
（1）填空：①54×11＝　
　；
②87×11＝　
　；
③95×（﹣11）＝　
　．
（2）已知一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数乘11．
①若a+b＜10，计算结果的百位、十位、个位上的数字分别是　
　、　
　、　
　，
请通过计算加以验证．
②若a+b≥10，请直接写出计算结果中百位上的数字．
7．在一条不完整的数轴上，有A、B、C三个点，C点在A点的右侧，B点在A、C两点之间，已知A点对应数为﹣5，AB＝3，设A、C两点对应数的和为m，A、B、C三个点对应数的积为n．
（1）求B点表示的数是　
　；
（2）若点B是线段AC的三等分点，求m的值；
【注：把一条线段平均分成三等分的两个点，都叫线段的三等分点】
（3）如图所示，把一把直尺放置在数轴上，发现A点、B点、C点与直尺的刻度0.6，刻度2.4，刻度6分别对应，求n的值．
8．数轴上A，B，C三点对应的数分别是a，b，c，若a+b＜0，ab＞0，|a|＞|b|，c为最小的正整数．
（1）请在数轴上标出A，B，C三点的大致位置；
（2）化简：|a﹣b|+2|b﹣a+c|﹣|b﹣2c|．
9．在数轴上，我们把表示数2的点定为核点，记作点C，对于两个不同的点A和B，若点A，B到点C的距离相等，则称点A与点B互为核等距点．如图，点A表示数﹣1，点B表示数5，它们与核点C的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为核等距点．
（1）已知点M表示数3，如果点M与点N互为核等距点，那么点N表示的数是
　
　；
（2）已知点M表示数m，点M与点N互为核等距点，
①如果点N表示数m+8，求m的值；
②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以2，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动5个单位长度得到点N，求m的值．
10．阅读理解：李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是他从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”例如：①24×11＝264．计算过程：24两数拉开，中间相加，即2+4＝6，最后结果264；②68×11＝748．计算过程：68两数分开，中间相加，即6+8＝14，满十进一，最后结果748．
（1）计算：①32×11＝　
　，②78×11＝　
　；
（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（a+b＜10），将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是　
　，十位数字是　
　，个位数字是　
　；（用含a、b的代数式表示）
（3）请你结合（2）利用所学的知识解释其中原理．
11．已知一些两位数相乘的算式：
62×11，78×69，34×11，63×67，18×22，15×55，12×34，54×11．
利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形：
（1）观察已知算式，选出具有共同特征的3个算式，并用文字描述它们的共同特征；
（2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；
（3）证明你发现的规律；
（4）在已知算式中，找出所有可以应用（或经过转化可以应用）上述规律的算式，并将它们写在横线上：　
　．
12．用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下：
M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…
M（）＝﹣，M（）＝﹣，M（）＝﹣，…
利用以上规律计算：
（1）M（28）×M（）；
（2）﹣1÷M（39）÷[﹣M（）]．
13．阅读下列材料：计算50÷（﹣+）．
解法一：原式＝50÷﹣50÷+50÷＝50×3﹣50×4+50×12＝550．
解法二：原式＝50÷（﹣+）＝50÷＝50×6＝300．
解法三：原式的倒数为（﹣+）÷50
＝（﹣+）×＝×﹣×+×＝．
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　
　是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题：
计算：（﹣）÷（﹣+﹣）
14．．
15．有三个有理数a，b，c，已知a＝，（n为正整数）且a与b互为相反数，b与c互为倒数．
（1）当n为奇数时
你能求出a，b，c各是几吗？
（2）当n为偶数时，你能求a，b，c三数吗？若能请算出结果，不能请说明理由．
（3）根据（1）中的结论，求：ab﹣bn﹣（b﹣c）2021的值．
16．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）．
（1）当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　
　，　
　；
（2）你认为当输入数等于　
　时（写出一个即可），其输出结果为0；
（3）你认为这个“数值转换机”不可能输出　
　数；
（4）有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是　
　（用含自然数n的代数式表示）．
17．÷（+﹣﹣）+（+﹣﹣）÷．
18．对于正整数a、b，规定一种新运算
，a
b等于由a开始的连续b个正整数的积，例如：2
3＝2×3×4＝24，5
2＝5×6＝30，那么7
（1
2）的值等于多少？
29．阅读下面的材料：
计算：
解：
应用：根据你对材料的理解，计算：．
20．用简便方法计算：
（1）（﹣+﹣）×（﹣36）
（2）﹣3+3﹣﹣
（3）19×（﹣38）
（4）（﹣6）×（﹣）+10×（﹣）﹣14×（﹣）
参考答案
1．解：（1）∵1﹣2＝﹣1，1×2+1＝3，
∴1﹣2≠1×2+1，
∴（1，2）不是共生有理数对；
（2）由题意，得a﹣3＝3a+1，
解得a＝﹣2；
（3）∵（m，n）是共生有理数对，
∴m﹣n＝mn+1，
∴﹣n﹣（﹣m）＝m﹣n＝mn+1，
∴（﹣n，﹣m）是共生有理数对；
故答案为：是．
（4））∵（m，n）是共生有理数对，
∴m﹣n＝mn+1，
∴m（1﹣n）＝1+n，
∴．
2．（1）小军的解法较好．
（2）还有更好的解法．
（3）．
3．解：（1）∵ab＜0，
∴a，b异号，
∵＞0，
∴b，c同号，
∵b＞|a|＞|c|
∴b＞0，
∴c＞0，a＜0．
故答案为：＜，＞，＞．
（2）由（1）可得，a﹣b＜0，c+b＞0，c+a＜0，
∴|a﹣b|＝﹣a+b，|c+b|＝c+b，|c+a|＝﹣c﹣a．
∴|a﹣b|+|c+b|﹣2|c+a|
＝﹣a+b+c+b﹣2（﹣c﹣a）
＝﹣a+b+c+b+2c+2a
＝a+2b+3c．
4．解：（1）∵ab＝6，
∴a、b同号，
∴a、b同为正数时，a+b＞0；
a、b同为负数时，a+b＜0；
故答案为：①②；
（2）∵a+b＝﹣5，ab最大，
∴a、b同号，
∵a+b＝﹣5，
∴a、b同为负数，
∵a、b为整数，
∴a、b分别为﹣1和﹣4，此时ab＝4或a、b分别为﹣2和﹣3，此时ab＝6，
故答案为：6；
（3）∵ab＜0，
∴a、b异号，
设a＞0，则b＜0，
若|a|＞|b|，则a+b＞0，
若|a|＝|b|，则a+b＝0，
若|a|＜|b|，则a+b＜0．
5．解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；
故答案为：A；
（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；
②从A类数中任意取出8数，从B类数中任意取出9数，从C类数中任意取出10数，把它们的余数相加，得
（8×1+9×2+10×0）＝26÷3＝8…2，
∴余数为2，属于B类；
故答案为：①B；②B；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，
∵最后的结果属于C类，
∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；
②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；
③若m＝1，n＝1，③错误；
④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；
综上，①④正确．
故答案为：①④．
6．解：（1）①54×11＝594；
②87×11＝957；
③95×（﹣11）＝﹣1045．
故答案为：①594；②957；③﹣1045；
（2）①若a+b＜10，计算结果的百位、十位、个位上的数字分别是a，a+b，b，
验证：这个两位数为10a+b，
根据题意得：（10a+b）×11
＝（10a+b）（10+1）
＝100a+10（a+b）+b，
则若a+b＜10，百位、十位、个位上的数字分别是a，a+b，b；
②若a+b≥10，百位上数字为a+1．
故答案为：a，a+b，b．
7．解：（1）∵A点对应数为﹣5，AB＝3，C点在A点的右侧，B点在A、C两点之间，
∴B点表示的数为﹣2，
故答案为﹣2；
（2）∵点B是AC的三等分点，
∴当点B靠近点A时，AC＝3AB＝9，
∵A点表示的数为﹣5，且C点在A点的右侧，
∴C点表示的数为4，
∴m＝﹣5+4＝﹣1；
当点B靠近点C时，AC＝AB＝，
∵A点表示的数为﹣5，且C点在A点的右侧，
∴C点表示的数为，
∴m＝﹣5+＝；
（3）数轴上的一个单位长度对应刻度尺上是，
∴BC的长为，
∴C点表示的数为4，
∴n＝（﹣5）×（﹣2）×4＝40．
8．解：（1）∵a+b＜0，ab＞0，|a|＞|b|，
∴a＜0，b＜0，a＜b，
∵c为最小的正整数，
∴c＝1，
在数轴上表示为：；
（2）由（1）知：a＜0，b＜0，a＜b，c＝1，
所以|a﹣b|+2|b﹣a+c|﹣|b﹣2c|
＝b﹣a+2（b﹣a+c）﹣（2c﹣b）
＝b﹣a+2b﹣2a+2c﹣2c+b
＝﹣3a+4b．
9．解：（1）∵点M表示数3，
∴MC＝1，
∵点M与点N互为核等距点，
∴N表示的数是1，
故答案为1；
（2）①因为点M表示数m，点N表示数m+8，
∴MN＝8．
∴核点C到点M与点N的距离都是4个单位长度．
∵点M在点N左侧，
∴m＝﹣2．
②根据题意得2m﹣5＝4﹣m，
解得m＝3．
10．解：（1）①∵3+2＝5
∴32×11＝352
②∵7+8＝15
∴78×11＝858
故答案为352，858．
（2）两位数十位数字是a，个位数字是b，这个两位数乘11，
∴三位数百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b．
故答案为：a，a+b，b．
（3）两位数乘以11可以看成这个两位数乘以10再加上这个两位数，
若两位数十位数为a，个位数为b，
则11（10a+b）
＝10（10a+b）+（10a+b）
＝100a+10b+10a+b
＝100a+10（a+b）+b
根据上述代数式，可以总结出规律口诀为：
“头尾一拉，中间相加，满十进一”．
11．解：（1）62×11，34×11，54×11．
这3个算式共同特征是：一个两位数与11相乘；
（2）62×11＝682，34×11＝374，54×11＝594，
规律：两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数各个位数的和（满10进1），个位上的数是两个因数个位上数的积；
如54×11＝594，
（3）证明：设一个两位数为，另一个数为11，
则它们的积为：×11＝11（10a+b）＝110a+11b＝100a+10a+10b+b＝100a+10（a+b）+b；
（4）18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝7×100+（7+5）×10+5＝825，
所以这些算式也可以利用此规律：18×22，15×55．
故答案为：18×22，15×55．
12．解：（1）原式＝（28﹣3）×[﹣（）2]＝25×（﹣）＝﹣1；
（2）原式＝﹣1÷（39﹣3）÷{﹣[﹣（）2]}
＝﹣1××36
＝﹣1．
13．解：没有除法分配律，故解法一错误；
故答案为：一．
原式＝（）÷（﹣）
＝（﹣）×3
＝．
14．解：原式＝
＝﹣（10+1+20）×1
＝﹣31．
15．解：（1）当n为奇数时，a＝＝2，
∵a与b互为相反数，b与c互为倒数，
∴b＝﹣2，c＝﹣；
（2）当n为偶数时，a＝＝﹣2，
∵a与b互为相反数，b与c互为倒数，
∴b＝2，c＝；
（3）∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣，
∵ab﹣bn﹣（b﹣c）2021＝2×（﹣2）+2n﹣（﹣2+）2021＝﹣4+2n+（）2021．
16．解：（1）若输入的数字为4时，4＞2，得到4+（﹣5）＝﹣1，
﹣1＜2，得到相反数为1，倒数为1，输出结果为1；
若输入数字为7时，7＞2，得到7+（﹣5）＝2，
得到相反数为﹣2，绝对值为2，输出结果为2；
（2）根据题意得：输入数字为0（5、10、15…5的倍数均可），结果为0；
（3）这个“数值转换机”不可能输出负数；
（4）归纳总结得：小明输入的正整数是5n+2．
故答案为：1，2；0；负；5n+2．
17．解：原式＝÷（﹣）+（+﹣﹣）×36＝﹣+9+3﹣14﹣1＝﹣3．
18．解：7
（1
2），
＝7
（1×2），
＝7
2，
＝7×8，
＝56．
19．解：原式＝（100﹣）×（﹣6）
＝100×（﹣6）﹣×（﹣6）
＝﹣600+
＝﹣599．
20．解：（1）（﹣+﹣）×（﹣36），
＝﹣×（﹣36）+×（﹣36）﹣×（﹣36），
＝28﹣30+27，
＝55﹣30，
＝25；
（2）﹣3+3﹣﹣，
＝﹣3﹣+3﹣，
＝﹣6+1，
＝﹣5；
（3）19×（﹣38），
＝（20﹣）×（﹣38），
＝20×（﹣38）﹣×（﹣38），
＝﹣760+2，
＝﹣758；
（4）（﹣6）×（﹣）+10×（﹣）﹣14×（﹣），
＝（﹣）×（﹣6+10﹣14），
＝（﹣）×（﹣10），
＝13．