2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.7弧长及扇形面积 知识点分类训练（Word版，含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形面积》知识点分类训练（附答案）
一．弧长的计算
1．一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的半径是
　
　cm．
2．如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角∠AOB＝90°，则这段铁轨的长度为
　
　米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为　
　（结果保留π）．
4．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　
　．
5．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为　
　cm．
6．如图，已知AB为⊙O的直径，C为半圆上异于A、B的一个动点，∠ACB的平分线与⊙O交于点E，若圆的半径为2时，则的长度为　
　．
7．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝130°，∠CAO＝60°，OA＝6，则的长为　
　．
二．扇形面积的计算
8．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（　　）
A．
B．
C．π﹣1
D．π﹣2
9．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1
B．π﹣3
C．π﹣2
D．4﹣π
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．8﹣π
B．4﹣π
C．2﹣
D．1﹣
11．如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A′，则此时线段CA扫过的图形的面积为（　　）
A．4
B．6
C．
D．
12．如图菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分面积为（　）
A．
B．
C．2π
D．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（　　）
A．16π﹣12
B．16π﹣24
C．20π﹣12
D．20π﹣24
14．如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（　　）
A．π
B．π
C．π
D．π
15．如图，方老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm，那么这张扇形纸板的面积是
　
　cm2（结果用含π的式子表示）．
16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是
　
　．
17．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为
　
　．
18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，求图中阴影部分的面积是．
19．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，求阴影部分的面积．
20．如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，求图中阴影面积．
参考答案
一．弧长的计算
1．解：设扇形的半径为rcm，由题意得，
＝8π，
解得r＝10（cm），
故答案为：10．
2．解：圆弧长是：＝100π（米）．
故答案是：100π．
3．解：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，
∴∠ABC＝60°，
∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，
∴BD⊥AC，且AO＝CO，
∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，
∴BD＝2CD＝2，
在Rt△COD中，∵∠ACD＝30°，
∴OD＝CD＝，
∴OB＝BD﹣OD＝2﹣＝，
∴的长为：＝，
故答案为．
4．解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝2，
的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为2+＝．
故答案为：．
5．解：该莱洛三角形的周长＝3×＝6π（cm）．
故答案为6π．
6．解：连接OE，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的平分线与⊙O交于点E，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，
∴的长度为＝π；
故答案为：π．
7．解：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAO＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝130°﹣60°＝70°，
∴的长＝＝π．
故答案为π．
二．扇形面积的计算
8．解：两扇形的面积和为：＝π，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，
则四边形EMCN是矩形，
∵点C是的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM＝CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，
∴∠MCG＝∠NCH，
在△CMG与△CNH中，
，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，
∴空白区域的面积为：××＝1，
∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．
故选：D．
9．解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD＝FO＝EO＝EB＝1，
∴，OB＝OD．
∴弓形OB＝弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD＝＝π﹣2．
故选：C．
10．解：根据题意可知AC＝＝＝1，则BE＝BF＝AD＝AC＝1，
设∠B＝n°，∠A＝m°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）＝﹣（）＝1﹣＝1﹣，
故选：D．
11．解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A′BC＝90°．
由旋转的性质，得A′C＝AC＝4．
在Rt△A1BC中，cos∠ACA′＝＝．
∴∠ACA′＝60°．
∴扇形ACA′的面积为＝π．
即线段CA扫过的图形的面积为π．
故选：D．
12．解：连接AC，延长AP，交BC于E，
在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
在△APB和△APC中，
，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠PAB＝∠PAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，
∵△BPC为等腰直角三角形，
∴PE＝BC＝1，
在Rt△ABE中，AE＝AB＝，
∴AP＝﹣1，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，
故选：A．
13．解：连接AD，OE
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠CDF＝∠DAC，
∵∠CDF＝15°，
∴∠DAC＝15°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
∴∠AOE＝120°，
作OH⊥AE于H，
在Rt△AOH中，OA＝4，
∴OH＝2，
AH＝6，
∴AE＝2AH＝12，
∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝＝16．
故选：A．
14．解：设P（m，﹣2m+2），则Q（m，﹣m+3）．
∴OP2＝m2+（﹣2m+2）2＝5m2﹣8m+4，OQ2＝m2+（﹣m+3）2＝2m2﹣6m+9．
∵△OPQ绕点O顺时针旋转45°．
∴△OPQ≌△ODC，∠QOC＝∠POD＝45°．
∴PQ扫过区域（阴影部分）面积S＝S扇OQC﹣S扇OPD＝＝＝．
当m＝时，S的最大值为：．
故选：A．
15．解：这张扇形纸板的面积＝×2π×10×18＝180π（cm2）．
故答案为180π．
16．解：连接OA、OB、OM，如图，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵AM＝BM＝AB＝，
∴OM⊥AB，
∴OM＝×＝1，
∴OA＝2OM＝2，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN∥AC，MN＝AC，
∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，
∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，
∴△ABC的面积最大值为：××（2+1）＝3，
∴△MBN的面积最大值为：，
∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣＝﹣，
∴此时，S阴影＝﹣+＝﹣，
故答案为：﹣．
17．解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB＝1，PF＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案为：2﹣．
18．解：连接BE，
∵AB为直径，
∴BE⊥AC，
∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∴BE＝AE＝CE，
∴S弓形AE＝S弓形BE，
∴图中阴影部分的面积＝S半圆﹣（S半圆﹣S△ABE）﹣（S△ABC﹣S扇形CBF）
＝π×22﹣（﹣）﹣（﹣）
＝3π﹣6，
故答案为3π﹣6．
19．解：作OE⊥AB于点F，
∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，
∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OD＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，
∴BD＝2，
∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，
故答案为：+π．
20．解：∵∠ACB＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵OD∥AB，
∴S△ABD＝S△ABO，
∴S阴影＝S扇形AOB＝．
故答案为：．