第2章对称图形——圆 高频易错题型能力达标测评 2021-2022学年苏科版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《第2章对称图形——圆》高频易错题型
能力达标测评（附答案）
一．选择题（共7小题，满分28分）
1．下列关于圆的说法中，正确的是（　　）
A．等圆中，相等的弦所对的弧也相等
B．过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦
C．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．三角形的内心一定在三角形内部，且到三条边的距离相等
2．如图，AB是⊙O的切线，以点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠B＝20°，则∠ADC的度数为（　　）
A．40°
B．35°
C．30°
D．20°
3．已知△ABC的外心为O，内心为I，∠BOC＝120°，则∠BIC的度数为（　　）
A．120°
B．130°
C．120°或150°
D．130°或150°
4．⊙O的半径为3，锐角三角形ABC内接于⊙O，且BC＝3．则∠A的度数为（　　）
A．30°
B．150°
C．30°或150°
D．不能确定
5．如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　）
A．2
B．2
C．2
D．4
6．如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（　　）
A．（0，2）
B．（0，3）
C．（﹣2，0）
D．（﹣3，0）
7．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（　　）
A．2
B．2
C．
D．1
二．填空题（共9小题，满分26分）
8．在△ABC中，CA＝CB，∠BAC＝80°，以AB中点为圆心作⊙O，切CA、CB于D、E，若P为⊙O上一动点（不与D、E重合），过P作⊙O切线交直线CA、CB于M、N，则∠MON＝　
　．
9．如图，AB是的直径，C、D两点在圆上，∠CAB＝20°，则∠ADC的度数等于　
　．
10．如图正方形ABCD的边长为4，M为AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作圆P，当圆P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为　
　．
11．△ABC内接于⊙O，∠B＝70°，∠OCB＝50°，点P是⊙O上一个动点（不与图中已知点重合），若△ACP是等腰三角形，则∠ACP的度数为　
　．
12．如图，△BAC是⊙O的内接三角形，BC为直径，AD平分∠BAC，连接BD、CD，若∠ACB＝65°，则∠ABD的度数为　
　．
13．△ABC中，AB＝9cm，AC＝40cm，BC＝41cm，则△ABC的外接圆半径长是　
　．
14．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为
　
　．
15．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ＝90°，则圆锥的底面圆半径r为
　
　cm．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴分别交点为B，C，圆心M的坐标是（4，5），则弦BC的长度为
　
　．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．如图，AB为⊙O的直径，点
C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．
18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB＝2，求的长．
19．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF＝1．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求线段OF的长度．
20．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是
　
　；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
21．已知，ABCD为菱形，点A，B，D在⊙O上．
（Ⅰ）如图①，若CB，CD为⊙O的切线，求∠C的大小；
（Ⅱ）如图②，BC，CD与⊙O分别交于点E，点F，连接BF，若∠BDC＝50°，求∠CBF的度数．
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，BD是⊙O的直径，点P是BD延长线上一点，且PA是⊙O的切线，A是切点．
（1）求证：AP＝AB；
（2）若PD＝，求阴影部分的面积．
参考答案
一．选择题（共7小题，满分28分）
1．解：A．等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故A错误；
B．过圆心且平分弦（不是直径
）的直线一定垂直于这条弦，故B错误；
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故C错误；
D．三角形的内心一定在三角形内部，且到三条边的距离相等，故D正确．
故选：D．
2．解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠B＝20°，
∴∠O＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝∠O＝×70°＝35°．
故选：B．
3．解：如图1，当△ABC是锐角三角形，
∵点O为△ABC的外心，∠BOC＝120°，
∴∠A＝60°，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，则∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°．
如图2，当△ABC是钝角三角形，
∵∠BOC＝120°，
∴∠A＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝30°，
∴∠BIC＝150°．
故选：C．
4．解：如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，
∵⊙O的半径为3，BC＝3．
∴OB＝OC＝BC＝3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝BOC＝30°，
∴∠A的度数为30°，
故选：A．
5．解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴＝，AE＝DE＝2，
∴∠COD＝2∠ABC＝45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE＝ED＝2，
∴OD＝＝2，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF＝OC，
∵OC＝OD＝2，
∴CF＝2，
故选：B．
6．解：连接AQ、PA，如图，
∵PQ切⊙A于点Q，
∴AQ⊥PQ，
∴∠AQP＝90°，
∴PQ＝＝，
当AP的长度最小时，PQ的长度最小，
∵AP⊥x轴时，AP的长度最小，
∴AP⊥x轴时，PQ的长度最小，
∵A（﹣3，2），
∴此时P点坐标为（﹣3，0）．
故选：D．
7．解：连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，
∵∠DCE＝100°，
∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，
∵点D关于AB对称的点为E，
∴∠BAD＝∠BAE＝40°，
∴∠BOD＝∠BOE＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC＝∠COD＝40°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，
∵OE＝OC，OH⊥CE，
∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，
∵直径AB＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴EH＝CH＝，
∴CE＝2．
故选：A．
二．填空题（共9小题，满分36分）
8．解：如图，①当MN与⊙O切于点P时，连接OP，OD，OE，
∵CA＝CB，∠BAC＝80°，
∵OD⊥AC，OE⊥BC，
∴∠AOP＝∠BOE＝10°，
∴∠DOE＝160°，
∵OM平分∠DOP，ON平分∠EOP，
∴∠MON＝80°，
②当M′N′与⊙O切于点P′时，连接OP′，
同上理由可知：∠M′ON′＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：80°或100°．
9．解：连接BC．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝20°，
∴∠B＝90°﹣20°＝70°，
在圆内接四边形ABCD中，
∠ADC＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°．
10．解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
∴x2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝2.5，
∴CP＝2.5；
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝2，PM＝4，
在Rt△PBM中，PB＝＝2，
∴CP＝BC﹣PB＝4﹣2．
综上所述，CP的长为2.5或4﹣2．
故答案是：2.5或4﹣2．
11．解：如图，连接OA，OB，
∵∠OCB＝50°，
∴∠OBC＝50°，
∵∠B＝70°，
∴∠OBA＝∠OAB＝20°，
∴∠AOB＝140°，
∴∠AOC＝360°﹣80°﹣140°＝140°，
∴∠OAC＝∠OCA＝20°，
∴∠ACB＝50°+20°＝70°，
∴AB＝AC，
当AP′＝AC时，
此时点P′与点B重合，不符合题意；
当AP＝PC时，
∵∠B＝70°，
∴∠APC＝180°﹣70°＝110°，
∴∠ACP＝∠CAP＝（180°﹣110°）＝35°；
当AP′＝P′C时，
∠P′AC＝∠P′CA＝（180°﹣70）＝55°；
当AC＝P′C时，
∠ACP′＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：35°或55°或40°．
12．解：∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵∠ACB＝65°，
∴∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
∵∠DBC＝∠DAC＝45°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠DBC＝25°+45°＝70°．
则∠ABD的度数为70°．
故答案为：70°．
13．解：在△ABC中，AB＝9cm，AC＝40cm，BC＝41cm，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且AB是斜边，
∴△ABC的外接圆半径长为：AB＝20.5cm．
故答案为：20.5cm．
14．解：过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，如图，
∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形，
∴AC＝OD，OC＝AD，
∵⊙A与x轴相切，
∴AC为⊙A的半径，
∵点A坐标为（8，5），
∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝10，
在Rt△PAD中，根据勾股定理得，
PD＝＝＝6，
∴OP＝PD+DO＝11，
∵点P在y轴上，
∴点P坐标为（0，11）．
故答案为：（0，11）．
15．解：∵扇形的圆心角为90°，母线长为8cm，
∴扇形的弧长为＝4π，
设圆锥的底面半径为rcm，
则2πr＝4π，
解得：r＝2，
故答案为2．
16．解：如图，连接BM、AM，作MH⊥BC于H，
则BH＝CH，
∴BC＝2BH，
∵⊙M与x轴相切于点A，
∴MA⊥OA，
∵圆心M的坐标是（4，5），
∴MA＝5，MH＝4，
∴MB＝MA＝5，
在Rt△MBH中，
由勾股定理得：BH＝＝＝3，
∴BC＝2×3＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．证明：（1）在△AOE和△CDE中，
，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）∵△AOE≌△CDE，
∴OA＝CD，∠AOE＝∠D，
∴OB∥CD，
∴四边形OBCD为平行四边形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBCD是菱形．
18．解：（1）连接OC，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠CAD＝∠OAC＝35°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠B＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠OAC＝90°﹣35°＝55°；
（2）连接OE，
∵⊙O的直径AB＝2，
∴OA＝1，
∵＝，
∴∠COE＝2∠CAE＝2×35°＝70°，
∴的长为：＝．
19．（1）证明：连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠A＝60o，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO＝∠A＝60o，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴∠FDO＝∠AFD＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AB，OC＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∵∠AFD＝90°，∠A＝60o，
∴∠ADF＝30°，
∵AF＝1
∴CD＝OD＝AD＝2AF＝2，
由勾股定理得：DF2＝3，
在Rt△ODF中，OF＝，
∴线段OF的长为．
20．解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；
（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．
21．解：（Ⅰ）如图①，连接OB、OD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠A＝∠C，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A，
∴∠BOD＝2∠C，
∵CB，CD为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，OD⊥CD，
∴∠BOD+∠C＝180°，
∴2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝60°；
（Ⅱ）如图②，∵四边形ABCD为菱形，∠BDC＝50°，
∴∠BDA＝∠BDC＝50°，AB＝AD，
∴∠DBA＝∠BDA＝50°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
同理，∠C＝80°，
∵四边形ABFD是⊙O内接四边形，
∴∠BFC＝∠A＝80°
∴∠CBF＝180°﹣∠C﹣∠BFC＝20°．
22．（1）证明：连接OA，AD，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝30°，
∵OB＝OA，
∴∠OAB＝∠ABD＝30°，
∴∠AOP＝∠ABD+∠OAB＝60°，
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝30°，
即∠P＝∠ABD，
∴AB＝AP；
（2）解：过O作OQ⊥AB于Q，
∵∠PAO＝90°，∠P＝30°，
∴OP＝2AO，
∵PD＝，OA＝OD，
∴OD+＝2OA，
解得：OA＝OD＝＝OB，
在Rt△BQO中，∠OQB＝90°，∠ABO＝30°，
∴OQ＝OB＝，
由勾股定理得：BQ＝＝＝，
∵OA＝OB，OQ⊥AB，
∴AB＝2BQ＝2×＝，
∵∠ABO＝∠OAB＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×＝﹣．