2.4 圆的方程 同步学案（含答案）

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专题五圆的方程
圆的方程（01）
圆的标准方程
知识点01
圆的标准方程的认识
圆的标准方程
基本要素
当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径.
标准方程
圆心为，半径为r的圆的标准方程是.
图示
说明
若点在圆上，则点的坐标适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在圆上.
知识点02
圆的标准方程的推导
如图，设圆的圆心坐标为，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为
①，①式两边平方，得.
知识点03
点与圆的位置关系
圆C：，其圆心为，半径为，点，
设.
位置关系
与的大小
图示
点P的坐标的特点
点在圆外
点在圆上
点在圆内
【典例1】若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】　D
【解析】　(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D正确．
【典例2】写出下列各圆的标准方程．
（1）圆心在原点，半径长为2；
（2）圆心是直线与的交点，半径长为．
【解析】（1）∵圆心在原点，半径长为2，即，
∴圆的标准方程为．
（2）由题意知圆心是两直线的交点，
由，得．
∴圆心为，
又∵半径长为，∴圆的标准方程为．
【典例3】过点且圆心在直线上的圆的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【解析】设点为圆心，
因为点在直线上，所以可设点的坐标为．
又因为该圆经过两点，所以
所以，
解得．所以．
所以圆心坐标为，半径．
故所求圆的标准方程为．
【典例4】已知点A（1，2）和圆C：（x–a）2+（y+a）2=2a2，试求满足下列条件的实数a的取值范围．
（1）点A在圆C的内部；
（2）点A在圆C上；
（3）点A在圆C的外部．
【解析】（1）∵点A在圆C的内部，∴（1–a）2+（2+a）2<2a2，即2a+5<0，解得a<．
故a的取值范围是{a|a<}．
（2）将点A（1，2）的坐标代入圆C的方程，得（1–a）2+（2+a）2=2a2，解得a=，故a的值为．
（3）∵点A在圆C的外部，∴（1–a）2+（2+a）2>2a2，即2a+5>0，解得a>．
故a的取值范围是{a|a>}．
基础过关练
题组一　圆的标准方程的认识
1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心坐标和半径分别是
(　　)　　　　　
　　　　　
　　　　　
A.(-2,3),1
B.(2,-3),3
C.(-2,3),
D.(2,-3),
2.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的是
(　　)
A.以(a,b)为圆心的圆
B.以(-a,-b)为圆心的圆
C.点(a,b)
D.点(-a,-b)
3.过圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心,且斜率为1的直线l的方程为
(　　)
A.x+y-1=0
B.x+y+3=0
C.x-y+3=0
D.x-y-3=0
4.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程为
(　　)
A.(x+3)2+(y+1)2=5
B.(x+3)2+(y+1)2=25
C.(x-3)2+(y-1)2=5
D.(x-3)2+(y-1)2=25
5.方程x=表示的图形是
(　　)
A.两个半圆
B.两个圆
C.圆
D.半圆
题组二　圆的标准方程的求法
6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是
(　　)
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1
7.已知圆C的一条直径的端点坐标分别是(4,1),(-2,3),则圆C的标准方程是
(　　)
A.(x+1)2+(y+2)2=10
B.(x-1)2+(y-2)2=40
C.(x-1)2+(y-2)2=10
D.(x+1)2+(y+2)2=40
8.若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则此圆的标准方程是
(　　)
A.(x-2)2+(y+3)2=13
B.(x+2)2+(y-3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52
D.(x+2)2+(y-3)2=52
9.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是　　　　　　　.
10.已知圆过点A(1,-2),B(-1,4).
(1)求周长最小的圆的标准方程；
(2)求圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.
11.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.
题组三　点与圆的位置关系
12.若圆C的圆心坐标为(0,0),且圆C经过点M(3,4),则圆C的半径为
(　　)
A.5
B.6
C.7
D.8
13点(sin
30°,cos
30°)与圆x2+y2=的位置关系是
(　　)
A.点在圆上
B.点在圆内
C.点在圆外
D.不能确定
14.已知点P(a,a+1)在圆x2+y2=25内部,那么a的取值范围是
(　　)
A.-4B.-5C.-5D.-615.已知圆C的圆心为C(-3,-4)且过原点O,求圆C的标准方程,并判断点M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆C的位置关系.
能力提升练
题组一　圆的标准方程的求法
1.()圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的标准方程为
(　　)　　　　　
　　　　　
　　　　　
A.(x-2)2+(y-1)2=1
B.(x+2)2+(y+1)2=1
C.(x-2)2+(y-1)2=5
D.(x+2)2+(y+1)2=5
2.()过点A(-1,3),B(3,-1),且圆心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为
(　　)
A.(x+1)2+(y+1)2=4
B.(x+1)2+(y+1)2=16
C.(x-1)2+y2=13
D.(x-1)2+y2=5
3.()若圆C与圆C'(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的标准方程为
(　　)
A.(x+1)2+(y-2)2=1
B.(x-2)2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+(y+2)2=1
D.(x-2)2+(y+1)2=1
4.()圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1关于直线x-y-2=0对称的圆C2的标准方程为
(　　)
A.(x-4)2+(y+1)2=1
B.(x+4)2+(y+1)2=1
C.(x+2)2+(y+4)2=1
D.(x-2)2+(y+1)2=1
()已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C的标准方程为　　　　　　　　.
6.()已知直线l1经过点A(-3,0),B(3,2),直线l2经过点B,且l1⊥l2.
(1)分别求直线l1,l2的方程；
(2)设直线l2与直线y=8x的交点为C,求△ABC的外接圆的标准方程.
题组二　点与圆的位置关系
7.()若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为
(　　)
A.
B.
C.2
D.1
8.(多选)()设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是
(　　)
A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
9.()已知实数x,y满足x2+y2=1,则x+y的取值范围是
(　　)
A.(-2,2)
B.(-∞,2]
C.[-2,2]
D.(-2,+∞)
10.()已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的方程.
答案全解全析基础过关练
1.D　由圆的标准方程可得圆心坐标为(2,-3),半径为.
2.C　由(x-a)2+(y-b)2=0,解得因此它只表示一个点(a,b).故选C.
3.C　圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心坐标为(-1,2),因为直线l的斜率k=1,所以由点斜式得直线l的方程是y-2=x+1,化简得x-y+3=0,故选C.
4.D　∵所求圆的圆心为(3,1),半径为5,∴所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=25.故选D.
5.D　根据题意得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1,由此确定图形为半圆,故选D.
6.A　设圆的圆心为C(0,b),
则=1,∴b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
7.C　已知圆C的一条直径的端点坐标分别是(4,1),(-2,3),
故利用中点坐标公式求得圆心为(1,2),利用两点间距离公式得半径为×==,
故圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=10,故选C.
8.A　易知直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得圆的半径为,因为圆心坐标为(2,-3),所以所求圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=13.
9.答案　(x-2)2+(y-4)2=20
解析　由可得即圆心为(2,4),又圆过原点,所以圆的半径r==2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.
10.解析　(1)当线段AB为圆的直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小,
即所求圆以线段AB的中点(0,1)为圆心,|AB|=为半径.故所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=10.
(2)解法一:直线AB的斜率k==-3,则线段AB的垂直平分线的方程是y-1=x,即x-3y+3=0.
由解得即圆心的坐标是(3,2).所以圆的半径r==2.
所以所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
解法二:设圆心坐标为(a,b),半径为R(R>0),则圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=R2,由题意得
解得所以所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
11.解析　设所求圆的圆心为(a,b),标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
则有
解得所以△ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.
12.A　圆C的半径为=5.
13.C　因为sin230°+cos230°=+=1>,所以点在圆外.
14.A　由题意得a2+(a+1)2<25,即2a2+2a-24<0,解得-415.解析　因为圆C过原点O,圆心为C(-3,-4),所以圆C的半径r=|OC|==5,因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以点M1(-1,0)在圆C内；因为(1+3)2+(-1+4)2=25,所以点M2(1,-1)在圆C上；因为(3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以点M3(3,-4)在圆C外.
能力提升练
1.A　由题意可知,圆心坐标为(2,1),半径为1,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
2.B　直线AB的斜率为=-1,线段AB的中点坐标为(1,1),
所以线段AB的垂直平分线为y=x,
解方程组得因此圆心坐标为(-1,-1),
半径r==4,
所以圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=16,故选B.
3.D　已知圆C与圆C'关于原点对称,则两圆的圆心关于原点对称,半径相等,因此,圆C的圆心为(2,-1),半径为1,从而圆C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=1,故选D.
解题模板　与圆有关的对称问题,利用对称前后两圆全等,知两圆的半径相等,因此只要利用对称关系求出圆心坐标,就可得到圆的标准方程.
4.A　由题意得,圆C1的圆心坐标为(1,2),设圆心C1(1,2)关于直线x-y-2=0的对称点为C2(a,b),则解得所以圆C2的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=1.
5.答案　(x-2)2+y2=4
解析　设圆心坐标为(a,0),且a>0,则点(a,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-(舍去),则圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4.
6.解析　(1)因为直线l1经过点A(-3,0),B(3,2),所以=,
所以l1的方程为x-3y+3=0.
因为l1⊥l2,所以设直线l2的方程为3x+y+c=0.因为点B(3,2)在直线l2上,所以c=-11.所以直线l2的方程为3x+y-11=0.
(2)由得即C(1,8),所以|AC|=4,|BC|=2,又|AB|=2,所以|AB|2+|BC|2=|AC|2,所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形.又AC的中点为(-1,4),
所以Rt△ABC的外接圆的圆心为(-1,4),半径为2.所以△ABC的外接圆的标准方程为(x+1)2+(y-4)2=20.
D　(x+5)2+(y-12)2=142表示以(-5,12)为圆心,14为半径的圆,x2+y2表示圆上的动点到原点距离的平方.根据其几何意义,可知x2+y2的最小值为14-=1.
8.ABD　圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,A正确；令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k2-6k+5=0,无实数根,∴B正确；由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两不等实根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误；由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.故选ABD.
9.C　设x=sin
α,y=cos
α,则x+y=sin
α+cos
α=2sin,所以x+y的取值范围是[-2,2].故选C.
10.解析　要使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.
因为|PA|=,|PB|=,|PC|=5,
所以|PA|<|PB|<|PC|,
所以圆的半径r=|PB|=.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=13.
圆的方程（02）
圆的一般方程
知识点01
圆的一般方程的定义
当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径.
知识点02点与圆的位置关系
点与圆的位置关系是：
在圆内 ，
在圆上 ，
在圆外 .
知识点03轨迹和轨迹方程
1．轨迹和轨迹方程的定义
平面上一动点M，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.
2．求轨迹方程的五个步骤
①建系：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点M的坐标；
②设点：写出适合条件的点的集合；
③列式：用坐标表示条件，列出方程；
④化简：化方程为最简形式；
⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
【典例1】判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．
（1）x2+y2+2x+1=0；
（2）x2+y2+2ay–1=0；
（3）x2+y2+20x+121=0；
（4）x2+y2+2ax=0．
【解析】（1）原方程可化为（x+1）2+y2=0，它表示点（–1，0），不表示圆．
（2）原方程可化为x2+（y+a）2=a2+1，它表示圆心为（0，–a），半径为
的圆，
标准方程为x2+（y+a）2=（）2
．
（3）原方程可化为（x+10）2+y2=–21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．
（4）原方程可化为（x+a）2+y2=a2．
①当a=0时，方程表示点（0，0），不表示圆；
②当a≠0时，方程表示以（–a，0）为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为（x+a）2+y2=a2．
【典例2】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．
【解析】　圆心C，因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，
①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20，
②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，所以
所以圆的一般方程为：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
【典例3】试判断，，，四点是否在同一个圆上．
【解析】解法一：线段的斜率分别是，得，则三点不共线，设过三点的圆的方程为．
因为三点在圆上，所以，解得．
所以过三点的圆的方程为，
将点的坐标代入方程，得，即点在圆上，
故四点在同一个圆上．
解法二：
因为，所以，
所以是过三点的圆的直径，线段的中点即圆心．
因为，所以点在圆上，所以四点在同一个圆上．
【典例4】已知直角的斜边为，且，求：
（1）直角顶点的轨迹方程；
（2）直角边中点的轨迹方程．
【解析】（1）解法一：设顶点，因为，且三点不共线，所以且．
又，，且，
所以，化简得．
因此，直角顶点的轨迹方程为．
解法二：同解法一得且．
由勾股定理得，即，
化简得．
因此，直角顶点的轨迹方程为．
解法三：设中点为，由中点坐标公式得，由直角三角形的性质知，
，
由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆（由于三点不共线，所以应除去与轴的交点）．
设，则直角顶点的轨迹方程为．
（2）设点，
因为是线段的中点，由中点坐标公式得
（且），
，
于是有．
由（1）知，点在圆上运动，将代入该方程得，即．
所以动点的轨迹方程为．
【典例5】已知点P（x，y），A（1，0），B（–1，1），且|PA|=|PB|．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意得·，两边同时平方，化简得x2+y2+6x–4y+3=0，
即点P的轨迹方程为x2+y2+6x–4y+3=0．
（2）解法一：由（1）得（x+3）2+（y–2）2=10，故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为（–3，2），半径为．
解法二：由（1）得D=6，E=–4，F=3，所以D2+E2–4F=36+16–12=40>0，故点P的轨迹是圆．
又，，所以圆心坐标为（–3，2），半径r=．
基础过关练
题组一　圆的一般方程
1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为
(　　)　　　　　
　　　　　
　　　　　
A.8π
B.4π
C.2π
D.π
2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是
(　　)
A.m<
B.m>
C.m<1
D.m>1
3.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为
(　　)
A.-2或2
B.或
C.2或0
D.-2或0
4.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的图形是
(　　)
A.一个圆　　　B.只有当a=0时,才能表示一个圆
C.一个点　　　D.a,b不全为0时,才能表示一个圆
5.下列方程分别表示什么图形？若表示圆,则写出圆心和半径.
(1)x2+y2+5x-3y+1=0；(2)x2+y2+4x+4=0；
(3)x2+y2+x+2=0；(4)x2+y2+2by=0(b≠0).
题组二　圆的方程的求法
6.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是
(　　)
A.(x+3)2+(y-2)2=
B.(x-3)2+(y+2)2=
C.(x+3)2+(y-2)2=2
D.(x-3)2+(y+2)2=2
7.与圆C:x2+y2-2x+4y-1=0有相同的圆心,且半径是圆C的半径的一半的圆的方程为
(　　)
A.x2+y2-2x+4y+2=0
B.x2+y2-2x+4y+1=0
C.x2+y2-2x+4y-=0
D.x2+y2-2x+4y+=0
8.已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P满足|PA|=2|PB|,则P的轨迹为
(　　)
A.直线
B.线段
C.圆
D.半圆
9.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则点P的轨迹方程是　　　　　　.
10.已知△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别是D(5,3),E(4,2),F(1,1).
(1)求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；
(2)求△ABC的外接圆的方程.
题组三　圆的方程的应用
11.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是
(　　)
A.x+y-3=0
B.x-y-3=0
C.2x-y-6=0
D.2x+y-6=0
12.若直线2x-5y+a=0平分圆x2+y2-4x+2y-5=0,则a=
(　　)
A.9
B.-9
C.1
D.-1
13.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最小值是
(　　)
A.3-
B.3+
C.3-
D.
14.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0上任一点A关于直线x-ay+2=0对称的点A'仍在该圆上,则a=　　　　.

15.已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为　　　　.

能力提升练
题组一　圆的一般方程
1.()当方程x2+y2+ax+2y+a2=0所表示的圆的面积最大时,直线y=(a-1)x+2的倾斜角为
(　　)　　　　　
　　　　　
　　　　　
A.
B.
C.
D.
2.()已知圆x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(m≠0)的圆心在直线x+y-7=0上,则该圆的面积为
(　　)
A.4π
B.2π
C.π
D.
3.(多选)()已知方程x2+y2+3ax+ay+a2+a-1=0,若方程表示圆,则a的值可能为
(　　)
A.-2
B.0
C.1
D.3
题组二　圆的方程的求法
4.()点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(x+2)2+(y-1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4
D.(x-2)2+(y+1)2=1
5.()过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程为
(　　)
A.x2+y2-7x-3y+2=0
B.x2+y2+7x-3y+2=0
C.x2+y2+7x+3y+2=0
D.x2+y2-7x+3y+2=0
6.()如图,已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).
(1)求对角线AC所在直线的方程；
(2)求正方形ABCD外接圆的方程；
(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN中点的轨迹是什么？并求出该轨迹方程.
题组三　圆的方程的应用
7.()已知B(0,0),A(,3),C(2,0),平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是
(　　)
A.
B.C.
D.
8.()已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(2,6)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为　　　　.
9.()如图,O是坐标原点,圆O的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q分别从点A,B同时出发,在圆O上按逆时针方向运动,若点P的速度大小是点Q的两倍,则在点P运动一周的过程中,·的最大值为　　　　.
10.()已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.设点P在圆C上,求△PAB面积的最大值.
答案全解全析
基础过关练
1.C　原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2,
∴半径r=,∴圆的面积S=πr2=2π.
2.A　由二元二次方程表示圆的充要条件可知,(-1)2+12-4m>0,解得m<,故选A.
3.C　由题意得圆心为(1,2).则圆心(1,2)到直线的距离为=,解得a=0或a=2.
4.D　(2a)2+4b2=4(a2+b2),所以当a=b=0时,方程表示一个点；当a≠0或b≠0时,方程表示一个圆.
5.解析　(1)原方程配方得+=,故该方程表示以为圆心,为半径的圆.
(2)原方程配方得(x+2)2+y2=0,表示一个点(-2,0).
(3)∵原方程配方得+y2=-,无实数解,∴该方程不表示任何图形.
(4)原方程配方得x2+(y+b)2=b2(b≠0),故该方程表示圆心为(0,-b),半径为|b|的圆.
6.C　由x2+y2-2x-1=0得(x-1)2+y2=2,所以(x-1)2+y2=2的圆心O1的坐标为(1,0),半径为,故排除A,B.又易求C中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心O2的坐标为(-3,2),O1O2的中点(-1,1)在直线2x-y+3=0上,而D中圆(x-3)2+(y+2)2=2的圆心O3的坐标为(3,-2),O1O3的中点(2,-1)不在直线2x-y+3=0上,故选C.
7.D　易知圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=6,所以圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为,故所求圆的圆心坐标为(1,-2),半径为,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2==,即x2+y2-2x+4y+=0.
8.C　设点P的坐标为(x,y),
∵A(-2,0),B(1,0),动点P满足|PA|=2|PB|,
∴=2,两边平方得(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],
即(x-2)2+y2=4.
∴P的轨迹为圆.故选C.
9.答案　(x-1)2+y2=2
解析　设P(x,y),易知圆(x-1)2+y2=1的圆心B(1,0),半径r=1,
则|PA|2+r2=|PB|2,∴|PB|2=2.
∴点P的轨迹是以(1,0)为圆心,为半径的圆.
∴点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.
10.解析　(1)由题意可知kED=kAB==1,又F(1,1)为AB的中点,
∴AB所在直线的方程为y-1=1·(x-1),即x-y=0.①
同理CA所在直线的方程为x-2y=0,②
联立①②,得A(0,0).
同理可得B(2,2),C(8,4).
(2)由(1)可得B(2,2),C(8,4),
设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A,B,C的坐标代入圆的方程可得
解方程组可得
∴圆的方程为x2+y2-16x+12y=0.
11.C　圆x2+y2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.则最长弦所在直线的斜率k==2,结合选项知C正确.
12.B　因为直线2x-5y+a=0平分圆x2+y2-4x+2y-5=0,所以直线2x-5y+a=0经过该圆的圆心(2,-1),则2×2-5×(-1)+a=0,解得a=-9.故选B.
13.A　易得直线AB的方程为x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径为1,则圆心到直线AB的距离d==,所以点C到直线AB的最小距离为-1,所以△ABC面积的最小值为×|AB|×=×2×=3-.
14.答案　
解析　根据题意得,圆心在直线x-ay+2=0上.由x2+y2+2x-4y+1=0,得(x+1)2+(y-2)2=4,所以该圆的圆心是(-1,2),将(-1,2)代入x-ay+2=0中,得-1-2a+2=0,解得a=.
15.答案　
解析　因为点A(a,2)在圆的外部,
所以
所以2易错警示　在运用圆的一般方程时,要注意隐含条件:D2+E2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误.
能力提升练
1.B　方程x2+y2+ax+2y+a2=0可化为
+(y+1)2=-a2+1,
设圆的半径为r(r>0),则r2=1-a2,
∴当a=0时,r2取得最大值,从而圆的面积最大.
此时,直线方程为y=-x+2,斜率k=-1,倾斜角为,故选B.
2.A　圆的方程可化为(x-m)2+(y-2m-1)2=m2(m≠0),其圆心为(m,2m+1).
依题意得,m+2m+1-7=0,解得m=2,
∴圆的半径为2,面积为4π,故选A.
AB　由(3a)2+a2-4>0,得a<1,所以满足条件的只有-2与0.故选AB.
4.D　设圆上任意一点为Q(x1,y1),PQ的中点为M(x,y),则即
因为+=4,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4.
化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选D.
5.A　设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
依题意得解得
因此,所求圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0,故选A.
6.解析　(1)由两点式可知,对角线AC所在直线的方程为=,整理得x-y-2=0.
(2)设G为外接圆的圆心,则G为AC的中点,∴G,即(2,0),
设r为外接圆的半径,则r=|AC|,而|AC|==4,
∴r=2.∴外接圆方程为(x-2)2+y2=8.
(3)设点P坐标为(x0,y0),线段PN的中点M坐标为(x,y),则x=,y=,
∴x0=2x+2,y0=2y,①
∵点P为外接圆上一点,∴(x0-2)2+=8,将①代入并整理,得x2+y2=2,
∴该轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=2.
7.D　由题易得,点P的轨迹为以A为圆心,1为半径的圆.如图所示,建立平面直角坐标系,取AC的中点N,
∵=,∴M为PC的中点,
∵||=1,∴||=,从而M的轨迹为以N为圆心,为半径的圆,
∴B,N,M三点共线时,BM最大.
又∵A(,3),C(2,0),∴N,则BN==3,
∴||的最大值为3+=,
∴||2的最大值是,故选D.
8.答案　20
解析　设圆心为P,圆的方程x2+y2-6x-8y=0可化为(x-3)2+(y-4)2=25.圆心坐标为P(3,4),半径为5.由于点(2,6)到圆心的距离为,小于半径,故点(2,6)在圆内,则最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是E(2,6),且AC⊥BD.
|PE|=,|BD|=2×=4,|AC|=2×5=10,所以=|AC|·|BD|=×10×4=20.
9.答案　2
解析　设∠BOQ=α,根据题意得,点P逆时针旋转2α,且α∈[0,π],
依题意得Q(cos
α,sin
α),P(-cos
2α,-sin
2α),
∴·
=(-cos
2α+1,-sin
2α)·(cos
α+1,sin
α)
=(-cos
2α+1)(cos
α+1)-sin
2αsin
α=1-cos
2α=2sin2α≤2,
当且仅当α=时,等号成立.故答案为2.
10.解析　易求线段AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.
由解得即圆心C为(-3,6),则半径r==2.又|AB|==4,
所以圆心C到AB的距离d==4.
所以点P到AB的距离的最大值为4+2.
所以△PAB的面积的最大值为×4×(4+2)=16+8.
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