2021-2022学年人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质 同步能力提升训练（word版、含解析）

2021-2022年人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步能力提升训练（附答案）
1．如图，P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝4，则点P到AB的距离是（　　）
A．5
B．4
C．3
D．无法确定
2．△ABC的三边AB、BC、CA长分别是15、20、25，其三条角平分线相交于O点，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1
B．1：2：3
C．2：3：4
D．3：4：5
3．如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（　　）
A．18
B．30
C．24
D．27
4．如图，三条直线表示三条相互交叉的道路，现要建一个货物中转站，使它到三条道路的距离相等，则可选择的地址有（　　）
A．一处
B．二处
C．三处
D．四处
5．如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足是E．若AC＝5，DE＝2，则AD为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
6．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　）
A．6.5
B．7.5
C．8
D．10
7．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
8．如图，△ABC中，∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为
　
　，推理出结论所用到的理论依据是
　
　．
9．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，若点P到BC的距离是2，△ABC的周长是10，则△ABC的面积是
　
　．
10．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABD的面积是12cm2，AB＝8cm，则DF＝　
　．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为
　
　．
12．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足为D，∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是
　
　．
13．如图BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
14．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD．
15．如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD＝CD．求证：EB＝FC．
16．如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长．
17．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
18．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．
19．如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
21．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．
22．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．
23．如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
24．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且DE＝CE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝90°，S△BCD＝26，BC＝13，求AD的长．
参考答案
1．解：∵P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝4，
∴点P到AB的距离＝PE＝4，
故选：B．
2．解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵三条角平分线相交于O点，
∴OE＝OF＝OD，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别是15、20、25，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ AB OE： BC OF： AC OD＝AB：BC：AC＝3：4：5，
故选：D．
3．解：如图，过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分线，ID⊥BC，
∴ID＝IE，ID＝IE，
∴ID＝IE＝IF＝3，
∵△ABC的周长为18，
∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×3＝×18×3＝27．
故选：D．
4．解：如图，
可选择的地址有四处．
故选：D．
5．解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
∵AC＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣2＝3，
故选：B．
6．解：作DE⊥OB于E，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DP＝5，
∵OQ＝3，
∴，
故选：B．
7．解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．
在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
8．解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，
∴PF＝PG＝4，PG＝PH，
∴PF＝PG＝PH＝4．
推理出结论所用到的理论依据是角平分线的性质，
故答案为：4，角平分线的性质．
9．解：连接AP，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∵角平分线BP与CP相交于点P，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴PD＝PE＝PF，
∴S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP＝（AB+BC+AC） PD＝×10×2＝10．
故答案为10．
10．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ABD＝×AB×DE＝DE＝12cm2，
∴DE＝3（cm）．
∴DF＝DE＝3cm，
故答案为3cm．
11．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝3，
∴CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
12．解：由垂线段最短可得DP⊥BC时，DP有最小值，
∵∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠BDC+∠C+∠DBC＝180°，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴DP＝AD，
∵AD＝3，
∴DP的最小值为3．
故答案为3．
13．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM＝DN＝DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）解：△ABC是等腰三角形，
证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠GAD＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB，
∵AD平分∠GAC，
∴∠GAD＝∠CAD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
14．证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD．
15．证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，BD＝CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴EB＝FC．
16．解：（1）∵∠B＝40°，∠E＝90°，
∴∠BAE＝90° 40°＝50°，
∵AC是∠BAE的角平分线，
∴∠BAC＝∠BAE＝25°；
（2）∵S△ADC＝DC AE，
∴×DC×8＝16，
∴DC＝4，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝8．
17．解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB DE+BC DF＝DE （AB+BC）＝28，
即DE（6+8）＝28，
∴DE＝4．
18．证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C．
19．证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，
∴＝，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
∴点D在∠BAC的平分线上，
又∵A点也在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC．
20．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
21．证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，
∴EC＝EF，
∵EB＝EC，
∴EF＝BE，
又∵∠B＝90°，
∴EB⊥AB，
∵EF⊥AD，
∴AE是∠DAB平分线．
22．证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
在Rt△OPD和Rt△OPE中，，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），
∴OD＝OE，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF＝∠EOF，
在△ODF和△OEF中，，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF＝EF．
23．证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，
∴P点在∠MON的平分线上，
∴OP平分∠MON．
24．解：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠BCD，
又∵DE＝CE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠BCD＝∠CDE，
∴DE∥BC；
（2）如图，过D作DF⊥BC于F，
∵∠A＝90°，CD平分∠ACB，
∴AD＝FD，
∵S△BCD＝26，BC＝13，
∴×13×DF＝26，
∴DF＝4，
∴AD＝4．