2021秋人教版九年级数学上册全册电子教案
文档属性
| 名称 | 2021秋人教版九年级数学上册全册电子教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 12.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-08 09:30:53 | ||
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文档简介
一元二次方程
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的；2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式；3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
(二)过程与方法：1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活；2.通过观察、思考、交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式.
(三)情感态度与价值观：用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.
二、教学重点、难点
重点：一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念.
难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.
三、教学过程
引言
在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？
如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系：
AC:BC=BC:2，即
BC2=2AC.
设雕像下部高xm，可得方程
x2=2(2-x)
整理得
x2+2x-4=0
①
问题1
如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm.
根据方盒底面积为3600cm2，得
(100-2x)(50-2x)=3600
整理，得
4x2-300x+1400=0
化简，得
x2-75x+350=0
②
由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸.
方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队参赛？
全部比赛的场数为
4×7=28.
设应邀请x个队参赛，每个队要与其它(x-1)个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x-1)场.
列方程x(x-1)=28，整理，得，化简，得
x2-x=56
③
由方程③可以得出参赛队数.
方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？
x2+2x-4=0
①
x2-75x+350=0
②
x2-x=56
③
思考
方程①②③有什么共同点？
特点：(1)
都是整式方程；(2)
只含有一个未知数；(3)
未知数的最高次数是2.
4x2=9，x2+3x=0，3y2-5y=7-y等也是这样的方程.
像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化为ax2＋bx＋c＝0的形式，我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
为什么规定a≠0？b，c可以为零吗？
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
例如，x=8是x2-x=56的解.
例
将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得
3x2-3x=5x+10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
练习
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项：
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
解：4x2=25，化成一般形式为4x2-25=0.
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
解：x(x-2)=100，化成一般形式为x2-2x-100=0.
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
解：x=(1-x)2，化成一般形式为x2-3x+1=0.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.
用直接开平方法解一元二次方程
一、教学目标
(一)知识与技能：认识形如x2＝p(p≥0)或(mx+n)2＝p(m≠0，p≥0，m，n，
p为常数)类型的方程，并会用直接开平方法解.
(二)过程与方法：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力.
(三)情感态度与价值观：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知(新知识)向己知(旧知识)转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知.
二、教学重点、难点
重点：运用开平方法解形如(mx+n)2＝p(m≠0，p≥0，m，n，
p为常数)的方程，领会降次一转化的数学思想.
难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx+n)2＝p
(m≠0，p≥0，m，n，
p为常数)的方程.
三、教学过程
知识预备
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于
a，那么这个数叫做
a
的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：±.
x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，
x＝±.
2.完全平方式：a2＋2ab＋b2＝(_____)2，a2_________＝(a－b)2
3.练一练：若x2＝16，则x＝____；x2－6x＋9＝_______.
问题1
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设其中一个盒子的棱长为x
dm，则这个盒子的表面积为6x2
dm
2.
根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2＝1500
①
整理，得
x2＝25
根据平方根的意义，得
x＝±5
即
x1＝5，x2＝-5
可以验证，5和-5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm.
一般地，对于方程
x2＝p，
(Ⅰ)
(1)
当p＞0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ)有两个不等的实数根
x1＝，x2＝-；
(2)
当p＝0时，方程(Ⅰ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝0；
(3)
当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程(Ⅰ)无实数根.
探究
对照前面解方程10×6x2=1500
①的过程，你认为应怎样解方程(x+3)2=5及9x2-12x+4=3？
在解方程①时，由方程x2=25得x=±5.
由此想到：
由方程
(x+3)2=5，
②
得
x+3=±
即
x+3=，或x+3=-.
③
于是，方程(x+3)2=5的两个根为
x1=-3+，x2=-3-.
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.
由方程
9x2-12x+4=3
化成
(3x-2)2=3
得
3x-2=±
即
3x-2=，或3x-2=-.
于是，方程9x2-12x+4=3的两个根为
，
知识梳理
●知识点一
直接开平方法
方程
x2=p(p≥0)的解为x1=，x2=-.
由方程(mx+n)2=p(p≥0)，可得mx+n=或mx+n=-.
●知识点二
降次思想
一元二次方程一般通过降次转化成两个一元一次方程来解.直接开平方法是降次的一种方法.
练习
解下列方程：
(1)
2x2-8=0
(2)
9x2-5=3
(3)
(x+6)2-9=0
(4)
3(x-1)2-6=0
(5)
x2-4x+4=5
(6)
9x2+5=1
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程，同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.
用配方法解一元二次方程
一、教学目标
(一)知识与技能：1.进一步理解配方法和配方的目的；2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤；3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.
(二)过程与方法：通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识.
(三)情感态度与价值观：通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
二、教学重点、难点
重点：利用配方法解一元二次方程.
难点：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1的类型.
三、教学过程
知识预备
1.在代数式x2-2x中，一次项系数为____.
2.若a=b，则a+5=b+___.
3.应用完全平方公式填空：
(1)
x2+6x+___=(x+3)2
(2)
x2-12x+___=(x-___)2
探究
怎样解方程x2+6x+4=0？
x2+6x+9=5
(x+3)2=5
完全平方形式(x+3)2，5非负数
直接开平方法(降次)解方程
x+3=±
→
x+3=，或x+3=-
→
∴
x1=-3，x2=--3
能否将方程x2+6x+4=0转化为可以用直接开平方法(降次)的形式再求解呢？
x2+6x+4=0(移项)→x2+6x=-4(两边加9(即)使左边配成x2+2bx+b2的形式)→x2+6x+9=-4+9(左边写成完全平方形式)→(x+3)2=5(直接开平方(降次))→x+3=±→x+3=，或x+3=-(解一次方程)→x1=-3，x2=--3
为什么在方程x2+6x=-4的两边加9？加其他数行吗？
像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两一个一元一次方程来解.
例1
解下列方程：
(1)
x2-8x+1=0
(2)
2x2+1=3x
(3)
3x2-6x+4=0
解：(1)移项，得
x2-8x=-1
配方，得
x2-8x+42=-1+42
(x-4)2=15
由此可得
x-4=±
∴
x1=4+，x2=4-
解：(2)移项，得
2x2-3x=-1
二次项系数化为1，得
x2-x=-
配方，得
x2-x+()2=-+()2
由此可得
x-=±
∴
x1=1，x2=
解：(3)移项，得
3x2-6x=-4
二次项系数化为1，得
x2-2x=-
配方，得
x2-2x+12=-+12
(x-1)2=-
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.
归纳总结
配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将一元二次方程化为一般形式；
(2)把常数项移到方程的右边；
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数；
(5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数时，原方程无实数根.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x＋n)2＝p
(Ⅱ)
(1)
当p＞0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
x1＝－n－，x2＝－n＋；
(2)
当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)
当p＜0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根.
练习
1.填空：
(1)
x2+10x+___=(x+__)2
(2)
x2-12x+___=(x-__)2
(3)
x2+5x+___=(x+__)2
(4)
x2-x+___=(x-__)2
2.解下列方程：
(1)
x2+10x+9=0
(2)
x2-x-=0
(3)
3x2+6x-4=0
解：(1)移项，得
x2+10x=-9
配方，得
x2+10x+52=-9+52
(x+5)2=16
由此可得
x+5=±4
∴
x1=-1，x2=-9
解：(2)移项，得
x2-x=
配方，得
x2-x+()2=+()2
(x-)2=2
由此可得
x-=±
∴
x1=+，x2=-
解：(3)移项，得
3x2+6x=4
二次项系数化为1，得
x2+2x=
配方，得
x2+2x+12=+12
(x+1)2=
由此可得
x+1=±
(4)
4x2-6x-3=0
(5)
x2+4x-9=2x-11
(6)
x(x+4)=8x+12
解：(4)移项，得
4x2-6x=3
二次项系数化为1，得
x2-x=
配方，得
由此可得
∴
，
解：(5)移项，合并得
x2+2x=-2
配方，得
x2+2x+12=-2+12
(x+1)2=-1
∵
-1＜0
∴
原方程无实数根
解：(6)去括号，得
x2+4x=8x+12
移项，合并得
x2-4x=12
配方，得
x2-4x+22=12+22
(x-2)2=16
由此可得
x-2=±4
∴
x1=6，x2=-2
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程，因此需熟练掌握完全平方式的形式.
公式法
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
(二)过程与方法：经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.
(三)情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.
二、教学重点、难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用.
难点：一元二次方程求根公式法的推导.
三、教学过程
用配方法解方程：2x2-7x+3=0
解：移项，得
2x2-7x=-3
二次项系数化为1，得
配方，得
，，∴
x1=3，x2=
利用配方法解一元二次方程的一般步骤是相同的.
配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将一元二次方程化为一般形式；
(2)把常数项移到方程的右边；
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边
为一个常数；
(5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数
时，原方程无实数根.
探究
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢？
ax2+bx+c=0(a≠0)
移项，得
ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得
配方，得
即
①
∵
a≠0，∴
4a2＞0.式子b2-4ac的值有以下三种情况：
(1)
b2-4ac＞0
这时＞0，由①得
方程有两个不等的实数根
，
(2)
b2-4ac=0
这时=0，由①可知，方程有两个相等的实数根
(3)
b2-4ac＜0
这时＜0，由①可知
＜0，而x取任何实数都不能使＜0，因此方程无实数根.
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
归纳
当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
Δ＞0
方程有两个不等的实数根；
Δ＝0
方程有两个相等的实数根；
Δ＜0
方程无实数根.
当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
例2
用公式法解下列方程：
(1)
x2-4x-7=0
(2)
2x2-2x+1=0
(3)
5x2-3x=x+1
(4)
x2+17=8x
解：(1)
a=1，b=-4，c=-7.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0
方程有两个不等的实数根
即
，
解：(2)
a=2，b=-2
，c=1.
Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0
方程有两个相等的实数根
解：(3)
方程化为
5x2-4x-1=0
注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程转化为一般形式，再确定a，b，c的值.
a=5，b=-4，c=-1.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0
方程有两个不等的实数根
即
x1=1，x2=.
解：(4)
方程化为
x2-8x+17=0
a=1，b=-8，c=17.
Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0
方程无实数根.
本章引言中的问题，雕像下部的高度x(单位：m)满足方程
x2+2x-4=0
用公式法解这个方程，得
即
x1=-1+，x2=-1-.
结果保留小数点后两位，那么x1≈1.24，x2≈-3.24.
这两个根中，只有x1≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像下部高度应设计为约1.24m.
练习
1.解下列方程：
(1)
x2+x-6=0
(2)
x2-x-=0
(3)
3x2-6x-2=0
解：(1)
a=1，b=1，c=-6.
Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0
方程有两个不等的实数根
即
x1=2，x2=-3.
解：(2)
a=1，b=-，c=-.
Δ=b2-4ac=(-)2-4×1×(-)=4＞0
方程有两个不等的实数根
即，.
解：(3)
a=3，b=-6，c=-2.
Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60＞0
方程有两个不等的实数根
即，.
(4)
4x2-6x=0
(5)
x2+4x+8=4x+11
(6)
x(2x-4)=5-8x
解：(4)
a=4，b=-6，c=0.
Δ=b2-4ac=(-6)2-4×4×0=36＞0
方程有两个不等的实数根
即，.
解：(5)
移项，合并得
x2=3
直接开平方，得
x=
即，.
解：(6)方程化为
2x2+4x-5=0
a=2，b=4，c=-5.
Δ=b2-4ac=42-4×2×(-5)=56＞0
方程有两个不等的实数根
即，.
2.求第21.1节中问题1的答案.
x2-75x+350=0
解：a=1，b=-75，c=350.
Δ=b2-4ac=(-75)2-4×1×350=4225＞0
方程有两个不等的实数根
即
x1=5，x2=70(不合题意，要舍去).
因此，切去的正方形的边长为5cm.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式.
同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程的前提是Δ≥0.
因式分解法
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会用因式分解法(提公因式法、运用公式)解一元二次方程；2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
(二)过程与方法：在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中，进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.
(三)情感态度与价值观：通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.
二、教学重点、难点
重点：用因式分解法解一元二次方程.
难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便.
三、教学过程
知识预备
1.把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式__________.
2.因式分解常用的方法有_________________________.
3.将下列各式分解因式：
(1)
7x2-21x
(2)
2(a-3)2-a+3
(3)
(y+3)2-(2y-3)2
解：(1)原式=7x(x-3)
(2)原式=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1]=(a-3)(2a-7)
(3)原式=[(y+3)+(2y-3)][(y+3)-(2y-3)]=(y+3+2y-3)(y+3-2y+3)=3y(6-y)
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖、小亮、小明都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x.
但他们的解法各不相同.
他们做得对吗？
小颖：由方程x2=3x，得x2-3x=0，因此
→x1=0，x2=3，所以这个数是0或3.
小亮：将方程x2=3x两边同时约去x，得x=3，所以这个数是3.
(方程两边约去x时，必须确保x≠0，但这里x恰恰能够等于0，所以这种变形是错误的.结果会丢掉一个根.)
小明：由方程x2=3x，得x2-3x=0即
x(x-3)=0于是
x=0，或
x-3=0因此
x1=0，x2=3所以这个数是0或3.
如果a·b=0，那么a=0，或b=0.
x2-3x=0
①
即
x(x-3)=0
于是
x=0，或
x-3=0
②
因此
x1=0，x2=3
上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
练一练
用因式分解法解下列方程：
(1)
4x=5x2
(2)
3x(x+3)-2(x+3)=0
解：(1)移项，得
4x-5x2=0
因式分解，得
x(4-5x)=0
于是得
x=0，或
4-5x=0
x1=0，x2=
解：(2)因式分解，得
(x+3)(3x-2)=0
于是得
x+3=0，或
3x-2=0
x1=-3，x2=
例3
解下列方程：
(1)
x(x-2)+x-2=0
(2)
5x2-2x-=x2-2x+
解：(1)因式分解，得
(x-2)(x+1)=0
于是得
x-2=0，或
x+1=0
x1=，x2=
解：(2)移项、合并同类项，得
4x2-1=0
因式分解，得
(2x+1)(2x-1)=0
于是得
2x+1=0，或
2x-1=0
x1=2，x2=-1
可以试用多种方法解本例中的两个方程.
解：(1)方程化为
x2-x-2=0
a=1，b=-1，c=-2.
Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9＞0
即
x1=2，x2=-1
解：(2)移项、合并同类项，得
4x2=1
二次项系数化为1，得
直接开平方，得
即x1=，x2=
归纳
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.
总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.
练习
1.解下列方程：
(1)
x2+x=0
(2)
x2-x=0
(3)
3x2-6x=-3
(4)
4x2-121=0
(5)
3x(2x+1)=4x+2
(6)
(x-4)2=(5-2x)2
2.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.求小圆形场地的半径.
解：设小圆形场地的半径为
r
m.依题意，得
π(r+5)2=2πr2
r2-10r-25=0
Δ=(-10)2-4×1×(-25)=200＞0
r1=5+5，
r2=5-5
(不合题意，舍去)
答：小圆形场地的半径为(5+5)m.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力.
在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.
一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
(一)知识与技能：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一
元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.
(二)过程与方法：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.
(三)情感态度与价值观：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心.
二、教学重点、难点
重点：一元二次方程根与系数的关系.
难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述.
三、教学过程
忆一忆
1.一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？(b2-4ac≥0)
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
解下列方程并完成填空：
(1)
x2-5x+6=0
(2)
x2+3x-4=0
(3)
x2+6x+8=0
以上方程有什么共同特点，你从中发现了什么？
三个方程的二次项系数都是1，它们的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.
思考
从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：(x1+x2)=-p，x1x2=q
思考
一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
根据求根公式可知，，
由此可得
因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：，.
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0；(3)在使用时，注意“-”不要漏写.
把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？
x2+px+q=0→(x1+x2)=-p，x1x2=q
解方程2x2-3x+1=0，验证上述关系？
解：a=2，b=-3，c=1.
Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1＞0
方程有两个不等的实数根
即
x1=1，x2=
，.
例4
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1)
x2-6x-15=0
(2)
3x2+7x-9=0
(3)
5x-1=4x2
解：(1)
x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15.
(2)
x1+x2=，x1x2==-3.
(3)
方程化为
4x2-5x+1=0.
x1+x2==，x1x2=.
练习
不解方程，求下列方程两根的和与积：
(1)
x2-3x=15
(2)
3x2+2=1-4x
(3)
5x2-1=4x2+x
(4)
2x2-x+2=3x+1
解：(1)方程化为
x2-3x-15=0.
x1+x2=-(-3)=3，x1x2=-15.
(2)
方程化为
3x2+4x+1=0.
x1+x2=，x1x2=.
(3)
方程化为
x2-x-1=0.
x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1.
(4)
方程化为
2x2-4x+1=0.
x1+x2==2，x1x2=.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.
实际问题与一元二次方程(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理；2.联系实际，让学生进一步经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键.
(二)过程与方法：通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程.
(三)情感态度与价值观：在分析解决问题的过程中深入地体会一元二次方程的应用价值.
二、教学重点、难点
重点：建立数学模型，找等量关系，列方程.
难点：找等量关系，列方程.
三、教学过程
知识回顾
一、列方程解应用题的一般步骤是：
1.审：读懂题意，弄清题目中哪些是已知量，哪些是未知量，
以及它们之间的等量关系；
2.设：设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位；
3.列：根据等量关系列出方程(组)；
4.解：解所列方程(组)；
5.验：检验所求方程(组)的解是否正确，是否符合题意；
6.答：答案也必需是完整的语句，注明单位.
二、列方程解应用题的关键是：找等量关系
探究1
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有__________人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有______________人患了流感.
列方程
1+x+x(1+x)=121
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列出方程
1+x+x(1+x)=121
(1+x)2=121
解方程，得
x1=10，x2=-12(不合题意，舍去)
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人.
思考
如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？n轮呢？
三轮传染后：121+10×121=(10+1)3=113=1331(人)
n轮传染后：11n(人)
探究2
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：
甲种药品成本的年平均下降额为：(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为：(6000-3600)÷2=1200(元)
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为___________元，根据题意，列出方程
5000(1-x)2=3000
解得
x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去)
答：根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？
类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，根据题意，列出方程
6000(1-y)2=3600
解得乙种药品成本年平均下降率约为22.5%.
比较：两种药品成本的年平均下降率.(相同)
思考
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
成本下降额大的产品，其成本下降率不一定大.
成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.
方法总结
类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在.它有一定的模式：若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为：a(1±x)n=b
(其中增长取+，降低取-)
练习
1.在古代有一部落，15位族人外出狩猎回来，其中有5个人染上了瘟疫，经过两轮传染后部落里共有125个人染上了瘟疫，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列出方程
5+5x+x(5+5x)=125，整理得
5(1+x)2=125
解方程，得
x1=4，x2=-6(不合题意，舍去)
答：每轮传染中平均一个人传染了4个人.
2.某商店6月份的利润是2.5万元，要使8月份的利润达到3.6万元，这两个月的月平均增长率是多少？
解：设这两个月的月平均增长率是x.根据题意，列出方程
2.5(1+x)2=3.6
解方程，得
x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去)
答：这两个月的月平均增长率为20%.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键，特别是解有关的传播问题时，一定要明确每一轮传染源的基数，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.
实际问题与一元二次方程(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：能正确利用一元二次方程的相关知识解决几何图形的面积问题.
(二)过程与方法：经历将实际问题转化为数学问题的过程，进-步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，提高数学应用意识.
(三)情感态度与价值观：体验数学在现实生活中的作用，体验学习数学的快乐.
二、教学重点、难点
重点：根据面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题.
难点：根据面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.
三、教学过程
知识预备
1.矩形的长和宽分别为a
m和b
m，则其面积为____m2，周长为_______m.
2.梯形的上、下底分别为a
cm和b
cm，高为h
cm，则其面积为__________cm2.
3.圆的半径为r
cm，则其面积为____cm2，周长为____cm.
4.长方体的长、宽、高分别是a
cm，b
cm和c
cm，则其体积为_____cm3.
5.直角三角形的两直角边长分别为a
cm和b
cm，斜边长为c
cm，则a，b，c之间的数量关系为_________.
练一练
现有长19cm，宽15cm的矩形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的纸盒，要使纸盒的底面积为117cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则盒底的长为(19-2x)cm，宽为(15-2x)cm，依题意得
(19-2x)(15-2x)=117
整理得
x2-17x+42=0
解得
x1=3，x2=14(不合题意，舍去)
答：剪去的小正方形的边长应为3cm.
探究3
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周彩色的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？
分析：封面的长宽之比是27:21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7.设中央矩形的长和宽分别是9a
cm和7a
cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
(27-9a):
(21-7a)=9(3-a):7(3-a)=9:7
解：设上、下边衬的宽均为9x
cm，左、右边衬的宽均为7x
cm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm，根据题意，列出方程
(27-18x)(21-14x)=
×27×21
整理，得
16x2-48x+9=0
解得
x1=，x2=(不合题意，舍去)
则：9x≈1.8，7x≈1.4.
答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm.
思考
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试.
解：设中央的矩形的长、宽分别为9y
cm、7y
cm，根据题意，列出方程
9y·7y=×27×21
整理，得
y2=
解得
y1=，y2=
(不合题意，舍去)
则：(27-9y)≈1.8，
(21-7y)≈1.4.
答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm.
练习
用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32cm
2的矩形呢？为什么？
解：设矩形的一边长为x
cm，则另一边长为(11-x)㎝，依题意得
x(11-x)=30，解得
x1=6，x2=5
因此，这个矩形的长和宽分别为6cm、5cm.
不能折成面积是32cm2的矩形，理由如下：
x(11-x)=32，整理得
x2-11x+32=0
∵
b2-4ac=(-11)2-4×1×32=-7＜0
∴
方程无实数根
∴
不能折成面积是32cm2的矩形
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程，对图形进行分割或补全的原则，转化成为规则图形时越简单越直观越好.
第21章一元二次方程小结与复习
一、教学目标
(一)知识与技能：1.灵活运用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元-二次方程；2.运用一元二次方程解决简单的实际问题.
(二)过程与方法：1.经历运用知识，技能解决问题的过程，发展学生的独立思考能力和创新精神；2.了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想.
(三)情感态度与价值观：培养学生对数学的求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯.
二、教学重点、难点
重点：根据一元二次方程的特征，灵活选用解法，以及应用一元二次方程知识解决实际问题.
难点：灵活选用恰当方法解一元二次方程以及列方程.
三、教学过程
知识梳理
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)
3.项数和系数：二次项：ax2
二次项系数：a
一次项：bx
一次项系数：b
常数项：c
4.注意事项：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程.
二、一元二次方程的根与系数的关系
已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的两根.
则有：，.注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0；(3)在使用时，注意“-”不要漏写.
三、解一元二次方程的方法
各种一元二次方程的解法及使用类型
四、一元二次方程的应用
列方程解应用题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.
设：设未知数，设其中某个未知量为x.
列：根据题意寻找等量关系列方程.
解：解方程.
验：检验方程的解是否符合题意.
答：写出答案(包括单位).
考点讲练
考点一
一元二次方程的定义
例1
若关于x的方程(m－1)x2＋mx－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是(
)
A.m≠1
B.m＝1
C.m≥1
D.m≠0
针对训练
1.方程5x2－x－3＝x2－3＋x的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____.
2.当k_____时，关于x的方程是一元二次方程.
考点二
一元二次方程的根的应用
例2
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一个根为0，则m＝____.
针对训练
3.一元二次方程x2＋px－3＝0的一个根为3，则p的值为_____.
考点三
一元二次方程的解法
例3
(1)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，应变为(
)
A.(x－1)2＝6
B.(x＋2)2＝9
C.(x＋1)2＝6
D.(x－2)2＝9
(2)某三角形两边长分别为3和6，它第三边的长是方程x2－13x＋36＝0的根，则该三角形的周长为(
)
A.13
B.15
C.18
D.13或18
针对训练
4.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是一元二次方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为(
)
A.12
B.16
C.16或12
D.24
5.用公式法和配方法分别解方程：x2－4x－1＝0
解：公式法：a=1，b=-4，c=-1.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-1)=20＞0
方程有两个不等的实数根
即
x1=2+，x2=2-.
解：配方法：移项，得
x2-4x=1
配方，得
x2-4x+22=1+22
(x-2)2=5
由此可得
x-2=
∴
x1=2+，x2=2-.
考点四
一元二次方程的根的判别式的应用
例4
已知关于x的一元二次方程x2－3m＝4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(
)
A.m＜0
B.m＜2
C.m≥0
D.
针对训练
6.下列所给方程中，没有实数根的是(
)
A.x2＋x＝0
B.5x2－4x－1＝0
C.3x2－4x＋1＝0
D.4x2－5x＋2＝0
7.若关于x的一元二次方程(k＋1)x2－6x＋3＝0有实数根，则k的取值范围是__________.
考点五
一元二次方程的根与系数的关系
例5
已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m、n，不解方程求m2－mn＋n2的值.
解：∵
m、n是方程x2-4x-3=0的两根
∴
m+n=4，mn=-3
∴
m2-mn+n2=m2+2mn+n2-3mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25
针对训练
8.已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分别为x1和x2,则的值等于(
)
A.
7
B.－2
C.
D.
重要变形
，，
考点六
一元二次方程的应用
例6
某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
解：(1)每天的销售量为：32-2(x-24)=(80-2x)件；
(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150
解得
x1=25，x2=35
由题意x≤28，∴
x=25，即销售价应当为25元.
针对训练
9.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得
5(1-x)2=3.2
解得
x1=1.8(舍去)，x2=0.2=20%
答：平均每次下调的百分率是20%.
10.为了响应市委市政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为30m，宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和三条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？
解：设小道的宽度应为x米.根据题意得
(30-2x)(20-x)=532
整理得
x2-35x+34=0
解得
x1=1，x2=34(舍去)
答：小道的宽度应为1米.
二次函数
一、教学目标
(一)知识与技能：能够表示简单变量间的二次函数关系，理解二次函数的意义与特征，提高学生的分析和概括的能力.
(二)过程与方法：逐个探求不同实例中两个变量之间的关系，后总结、概括，得出二次函数的定义，获得用二次函数来表示变量之间的体验.
(三)情感态度与价值观：进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广泛应用中的作用.
二、教学重点、难点
重点：二次函数实例分析、二次函数定义的理解.
难点：从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系.
三、教学过程
图片引入
函数是描述现实世界中变化规律的数学模型
温故知新
1.什么是函数？我们学过哪些函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于
x
的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.其中，当b=0时，y=kx为正比例函数.
特别注意：k≠0，自变量x的指数是1.
2.若函数y=(m-1)x+4-m是关于x的一次函数，则m____；若函数是关于x的正比例函数，则m的值是____，此时函数解析式为_________.
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有_______棵橙子树；
这时平均每棵树结_________个橙子.
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式
________________________________________________________________.
y=(100+x)(600-5x)
即
y=-5x2+100x+60000
思考
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
y是x的函数吗？显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.
引言
正方体的六个面是全等的正方形(如下图)，设正方体的棱长为x，表面积为y，则它们的具体关系可以表示为________.
y是x的函数吗？
问题1
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系式？
解：每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数
m=n(n-1)，即
.
m是n的函数吗？
问题2
某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
解：这种产品一年后的产量为________t，再经过一年后的产量为_____________t，即两年后的产量
y=20(1+x)2，即
y=20x2+40x+20
y是x的函数吗？
思考
函数y=-5x2+100x+60000，y=6x2，，y=20x2+40x+20有什共同特点？
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式，a，b，c为常数，且a≠0；
(2)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；
(3)一般情况下，自变量x的取值范围是任意实数.
练习
1.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r之间的关系.
解：S=2·πr2+2πr·r
整理得，S=4πr2
2.如图，矩形绿地的长、宽各增加x
m，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式.
解：y=(30+x)(20+x)
整理得，y=x2+50x+600
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比已学过的一次函数，进一步巩固函数的有关知识.
二次函数y=ax2的图象和性质
一、教学目标
(一)知识与技能：会利用描点法作出二次函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.
(二)过程与方法：经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.
(三)情感态度与价值观：培养学生利用数形结合的思想研究二次函数y=ax2的图象、性质，提高学生观察、分析、比较、概括等能力.
二、教学重点、难点
重点：二次函数y=ax2的图象的作法和性质.
难点：根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系.
三、教学过程
认真观察，请描述投掷篮球入篮框的过程，运行路线是什么？
复习启新
1.一次函数的图象是_________.
2.通常怎样画一个函数的图象：_________________.
3.二次函数的图象是什么形状呢？它又有哪些性质呢？
结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法.
我们将从最简单的二次函数y=x2开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质.
作二次函数y=x2的图象.(列表、描点、连线)
在坐标平面中描点，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=x2的图象.
从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2.
实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
1.抛物线y=x2是轴对称图形吗？___，如果是，它的对称轴是_____.
2.抛物线y=x2与对称轴的交点______叫做物线y=x2的______，它是抛物线y=x2的最___点.
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.
3.从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____；
例1
在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象.
解：分别列表，再画出它们的图象.
思考
观察三个函数的图象，它们之间有什么共同点和不同点？
一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
探究
在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.
一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
对比抛物线y=x2和y=-x2，它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=-ax2呢？
归纳
二次函数y=ax2的图象和性质
练习
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.
二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会画函数y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象，能正确说出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；2.掌握抛物线y=ax2+k、y=a(x-h)2的平移规律.
(二)过程与方法：经历探索二次函数y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象的画法和性质的过程，提高作图能力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法.
(三)情感态度与价值观：培养积极参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识.
二、教学重点、难点
重点：作出二次函数y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象，探索其性质.
难点：抛物线的平移规律的理解以及a、k、h的作用的理解.
三、教学过程
知识回顾
二次函数y=ax2的图象和性质
例2
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.
解：先列表：
思考
(1)抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴、顶点
各是什么？
(2)抛物线y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？
1.抛物线y=2x2+1的开口____、对称轴____、顶点是_______.
2.抛物线y=2x2-1的开口____、对称轴____、顶点是_______.
Ⅰ.把抛物线y=2x2向上平移1个单位，就得到抛物线y=2x2+1；
Ⅱ.把抛物线y=2x2向下平移1个单位，就得到抛物线y=2x2-1.
思考
抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？
，
口决：上加下减
练习
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：，，.
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？
探究
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-(x+1)2，y=-(x-1)2的图像，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.
解：先列表：
抛物线y=-(x+1)2的开口向下，对称轴是经过点(-1，0)且与x轴垂直的直线，记作直线x=-1，顶点是(-1，0)；
抛物线y=-(x-1)2的开口____，对称轴____________，顶点是________.
思考
抛物线y=-(x+1)2，y=-(x-1)2与抛物线y=-x2有什么关系？
1.把抛物线y=-x2向左平移1个单位，就得到抛物线y=-(x+1)2，
2.把抛物线y=-x2向右平移1个单位，就得到抛物线y=-(x-1)2.
思考
抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系？
，.
口决：左加右减
练习
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
，，.观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
归纳
二次函数y=ax2+k的性质
二次函数y=a(x-h)2的性质
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质和二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质，体会它们与y＝ax2与之间联系与区别.
体会数学建模的数形结合思想方法.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会画函数y=a(x-h)2+k的图象；2.能正确说出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标；3.掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律.
(二)过程与方法：经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的画法和性质的过程，提高作图能力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法.
(三)情感态度与价值观：培养学生参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识.
二、教学重点、难点
重点：作出二次函数y=a(x-h)2+k的图象，探索其性质.
难点：抛物线的平移规律的理解以及a、h、k的作用的理解.
三、教学过程
复习启新
1.抛物线y=ax2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？
2.抛物线y=a(x-h)2怎样由抛物线y=ax2平移得到？
，
口决：上加下减
，.
口决：左加右减
猜想：抛物线y=a(x-h)2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？
例3
画出函数y=-(x+1)2-1的图像，指出它的开口方向、对称轴和顶点.
解：先列表：
抛物线y=-(x+1)2-1的开口______、对称轴是_________、
顶点是_________.
怎样移动抛物线y=-x2就可以得到抛物线y=-(x+1)2-1？
平移方法1：
平移方法2：
归纳
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
例4
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
点(1，3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数解析式是
y=a(x-1)2+3
(0≤x≤3)
∵
这段抛物线经过点(3，0)
∴
0=a(3-1)2+3，解得：
∴
y=-(x-1)2+3
(0≤x≤3)
当x=0时，y=2.25
答：水管长应为2.25m.
练习
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一、教学目标
(一)知识与技能：1.能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2.会利用对称性画出二次函数的图象.
(二)过程与方法：经历求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方法和数形结合的思想方法.
(三)情感态度与价值观：让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感.
二、教学重点、难点
重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴.
难点：二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质.
三、教学过程
知识回顾
1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的______相同，_____不同.
2.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：
(1)当a＞0时,
开口____，当a＜0时，开口____；(2)对称轴是_______；(3)顶点是_______.
3.抛物线y=-4(x+2)2-5的开口______，对称轴是直线_______，顶点坐标为_________；它可由抛物线y=-4x2向____(填“左”或“右”)平移____个单位，再向___(填“上”或“下”)平移____个单位得到；当x=___时，y有最___值，其值为___；当______时，y随着x的增大而增大，当______时，y随着x的增大而减小.
二次函数的图象是有什么特点？它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系？
我们知道，像这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次
函数也能化成这样的形式吗？
探究新知
1.配方法：怎样把转化成的形式？
解：
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方式；
(3)“化”：化成顶点式.
2.直接画二次函数的图象.
抛物线的顶点是(6，3)，
对称轴是直线x=6.
解：利用图象的对称性列表：
描点画图，得到的图象.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
也就是说，当x＜6时，y随x的增大而减小；当x＞6时，y随x的增大而增大.
探究
你能用前面的方法讨论二次函数的图象和性质吗？
开口向下
顶点是(-1，3)
对称轴是直线x=-1
当x＜-1时，y随x的增大而增大；
当x＞-1时，y随x的增大而减小.
一般地，二次函数可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式(顶点式).
对称轴是直线x=-
顶点是(-，)
如果a＞0时，那么当x=-时，y最小值=
如果a＜0时，那么当x=-时，y最大值=
如果a＞0，当x＜-时，y随x的增大而减小，当x＞-时，y随x的增大而增大；
如果a＜0，当x＜-时，y随x的增大而增大，当x＞-时，y随x的增大而减小.
练习
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.
用待定系数法求二次函数的解析式
一、教学目标
(一)知识与技能：会用待定系数法求二次函数的解析式，根据条件恰当设二次函数解析式形式，体会二次函数解析式之间的转换.
(二)过程与方法：使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系，发展概括及分析问题、解决问题的能力.
(三)情感态度与价值观：让学生在学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：运用待定系数法求二次函数解析式.
难点：根据条件恰当设二次函数解析式形式.
三、教学过程
知识预备
1.已知一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
∵
一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)
∴
得关于k，b的二元一次方程组：，解得
∴
这个一次函数的解析式为y=5x-2.
2.解三元一次方程组：
解：由①-③与②-③得二元一次方程组
解这个方程组，得
把a=2，b=3代入③得
c=1
因此，三元一次方程组的解为
探究
我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，探究下面的问题：
(1)由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
(2)如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
分析：确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式y=kx+b，需求出k，b的值.用待定系数法，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值.类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值.由不共线三点(三点不在同一直线上)的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值.
解：(2)设所求二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知，函数图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得关于a，b，c的三元一次方程组解这个方程组，得
因此，所求二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.
知识梳理
知识点
用待定系数法求二次函数的解析式
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值.由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式.
例
已知抛物线的顶点是(1，-3)，且经过点M(2，0)，求抛物线的解析式.
解：由抛物线的顶点是(1，-3)，可设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2-3
∵
抛物线经过点M(2，0)
∴
0=a×(2-1)2-3，解得
a=3
∴
抛物线的解析式为：y=3(x-1)2-3，即y=3x2-6x
归纳总结
二次函数解析式的类型及适用情况
练习
1.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与时，y=0.求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，依题意得
解这个方程组，得
因此，所求二次函数的解析式为y=x2+x-1.
2.
一个二次函数的图象经过(0，0)，(-1，-1)，(1，9)
三点.求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，依题意得
解这个方程组，得
因此，所求二次函数的解析式为y=4x2+5x.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.
二次函数与一元二次方程
一、教学目标
(一)知识与技能：1.总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
(二)过程与方法：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
(三)情感态度与价值观：通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程根的情况，进一步体会数形结合思想.
二、教学重点、难点
重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
三、教学过程
复习引入
1.二次函数的一般式：____________________，____是自变量，____是____的函数.
二次函数与一元二次方程有什么联系？当y=0时，ax2+bx+c=0.
2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由什么确定？
b2-4ac>0
方程有两个不等的实数根；
b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根；
b2-4ac<0
方程无实数根.
问题
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=20t-5t2.
考虑以下问题：
(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
(2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
(3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.
解：(1)当h=15时，20t-5t2=15
整理得，t2-4t+3=0
解得，t1=1，t2=3
因此，当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.
(2)当h=20时，20t-5t2=20
整理得，t2-4t+4=0
解得，t1=t2=2
因此，当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
(3)当h=20.5时，20t-5t2=20.5
整理得，t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1=-0.4＜0，所以方程无实数根.这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.
(4)小球飞出时和落地时的高度h都为0m，因此有20t-5t2=0
整理得，t2-4t=0
解得，t1=0，t2=4
因此，当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s.
h=20t-5t2→20t-5t2=15，20t-5t2=20，20t-5t2=20.5，20t-5t2=0.
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.
已知二次函数的值，求自变量x的值.
解一元二次方程
思考
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
(1)
y=x2+x-2；(2)
y=x2-6x+9；(3)
y=x2-x+1
(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1.
(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根.
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x轴的位置关系.
归纳
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论.
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
例1
利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
解：画出函数y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7
我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系.
二次函数与图形面积问题
一、教学目标
(一)知识与技能：1.通过探究实际问题与二次函数关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法；2.通过学习和探究“矩形面积”问题，渗透转化的数学思想方法.
(二)过程与方法：通过研究生活中实际问题，体会数学知识的现实意义，体会建立数学建模的思想，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.
(三)情感态度与价值观：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感.
二、教学重点、难点
重点：探究利用二次函数的最值(或增减性)解决实际问题的方法.
难点：如何将实际问题转化为二次函数的问题.
三、教学过程
知识预备
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条_______，它的对称轴是_____________，顶点坐标是________________.当a＞0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最小值=______；当a＜0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最大值=_______.
问题
从地面坚直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
分析：可以借助函数图象解决这个问题，画出函数
h=30t-5t2(0≤t≤6).
可以看出，这个函数图象是一条抛物线的一部分.
这条抛物线的顶点是这个函数的图像的最高点，也就是
说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
解：由函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象性质可知.
当t===3时，h有最大值=
=45.也就是说，小球运动时间是3s时，小球最高.小球运中的最大高度是45m.
探究1
用总长为60m的篱笆墙围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？
解：矩形场地的周长是60m，一边长为l
m，所以另一边长为(-l)m.场地的面积
S=l(30-l)
(0＜l＜30)即
S=-l2+30l
(0＜l＜30)
因为，a=-1＜0，所以，当
l===15时，S
有最大值==225.也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
练习
已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
解：设直角三角形的一边为x，则另一边为(8-x)，面积为y.则y与x的函数关系式为
y=x(8-x)
(0＜x＜8)
即
y=-x2+4x
(0＜x＜8)
∵
a=-＜0，∴
当x==4时，y最大=8.
答：当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大，最大值为8.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.
二次函数与最大利润问题
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会列出实际问题中变量之间的二次函数关系，并感受数学的应用价值；2.运用配方法或公式法求出实际问题的最大值、最小值，发展解决问题的能力.
(二)过程与方法：经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.
(三)情感态度与价值观：1.体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学
的理解和学好数学的信心；2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
二、教学重点、难点
重点：探素销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.
难点：从实际问题中抽象出二次函数建立函数模型，以利用二次函相关知识解决实际生活中的最大(小)值问题.
三、教学过程
教材导学
1.二次函数y=2x2-8x+1图象的顶点坐标是________，当x=____时，y的最小值为____.
2.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获利润y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y=-x2+100x.
(1)二次函数y=-x2+100x的图象开口向___，有最___值，为_____；
(2)要使旅行团所获利润最大，则此时旅行团应有___人.
利润问题
一.几个量之间的关系.
1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量
2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价
3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量
二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
探究2
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
没调整价格之前的利润是_____元.
解：(1)设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元.则每星期少卖_____件，实际卖出_________件，销售额为_______________元，买进商品需付___________元.因此，所得利润y=___________________________，即y=_______________，其中，0≤x≤30.
方法2：设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元.则每件利润是___________元，每星期少卖____件，实际卖出________件，因此，所得利润y=_____________即y=___________，其中，0≤x≤30.
解：(1)设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元.
y=-10x2+100x+6000，其中，0≤x≤30.
根据上面的函数，填空：
当x=____时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价____元，即定价_____元时，利润最大，最大利润是______元.
解：(2)设每件商品降价x元，每星期售出的利润为y元.则每件利润是___________元，每星期多卖_____件，实际卖出_________件，因此，所得利润y=_____________________，即y=_______________，其中，_________.
解：(2)设每件商品降价x元，每星期售出的利润为y元.
y=-20x2+100x+6000，其中，0≤x≤20.
根据上面的函数，填空：
当x=____时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价____元，即定价_____元时，利润最大，最大利润是______元.
(1)涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元；
(2)降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？
当定价为65元时，能使利润最大，最大利润是6250元.
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
解：设果园增种x棵橙子树，总产量为y个.则果园共有_______棵橙子树，这时平均每棵树结_________个橙子.
y=(100+x)(600-5x)
即
y=-5x2+100x+60000
(0≤x≤120)
∵
a=-5＜0
∴
当x==10，y最大=60500
即果园增种10棵橙子树，总数为110棵时，可以使果园橙子的总产量最多，最多为60500个.
归纳总结
此类问题一般是先利用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品的利润×销售数量”建立利润与价格之间的函数关系式(一般是二次函数)，求出这个函数关系式的顶点坐标，从而可得最大利润.同时还要注意实际问题中自变量的取值范围.
练习
某商店经营某种商品，已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查，销售量与单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
解：设每件商品降价x元，总获利为y元.依题意得
y=(13.5-2.5-x)(500+200x)
即
y=-200x2+1700x+5500
(0≤x≤11)
∵
a=-200＜0，∴
当x=4.25，y最大=9112.5
即每件商品降价4.25元，销售单价是9.25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112.5元.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.
建立适当的坐标系解决实际问题
一、教学目标
(一)知识与技能：通过对抛物线型拱桥的探究，掌握如何建立适当的直角坐标系，待定系法求二次函数解析式，解决实际问题.
(二)过程与方法：体会数学知识在生活实际的广泛应用性，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.
(三)情感态度与价值观：通过二次函数的有关知识灵活用于实际，体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型.
难点：利用二次函数解决实际问题时应如何建立合适的坐标系从而使解题简便.
三、教学过程
知识预备
1.
函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______，对称轴是_____，当a____时，开口向上，当a____时，开口向下.
2.二次函数解析式的形式有：①一般式：____________，②顶点式：_____________，③交点式：________________.
(1)如图所示的抛物线，可以根据顶点所在的位置设为
_________，也可以根据抛物线与x轴的交点坐标设为
______________.
(2)由A，B两点的横坐标，可以求得线段AB的长为___.
探究3
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点(2，-2)，可得
-2=a×22，解得，a=
∴
这条抛物线表示的二次函数为：y=x2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3.
当y=-3时，x=.
∴
当水面下降1m时，水面的宽度为2m.
∴
水面的宽度增加了(2-4)m.
你有其它解法吗？
解：以离拱顶2m时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2+2.由抛物线经过点(2，0)，可得
0=a×22+2，解得，a=
∴
这条抛物线表示的二次函数为：y=x2+2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-1.
当y=-1时，x=.
∴
当水面下降1m时，水面的宽度为2m.
∴
水面的宽度增加了(2-4)m.
归纳总结
在“拱桥类”问题中，一般知道拱高和拱长，这时可根据抛物线的对称性建立以y轴为对称轴的坐标系，然后根据所建立的坐标系，确定抛物线上一些点的坐标.若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k.
步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标求出关系式；(5)利用关系式求解问题.
练习
河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线形，水面宽为30米，水面离桥顶的高度是9米，建立如图所示的直角坐标系，你能求出桥拱所在抛物线的函数关系式吗？
解：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由已知条件可知抛物线经过点(15，-9)，可得
-9=a×152，解得，a=
因此，桥拱所在抛物线的函数关系式为：y=-x2
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.
第22章二次函数小结与复习
一、教学目标
1.通过复习二次函数的图象和性质，运用二次函数解决实际问题等内容，梳理本章知识，形成有关二次函数的知识体系.
2.通过回顾探究二次函数的图象和性质的过程，再次体会类比归纳和数形结合的数学思想，形成分析和解决函数问题的一些基本方法.
3.通过利用二次函数解决实际问题，再次体会建模思想，增强应用意识.
二、教学重点、难点
重点：复习二次函数的定义、图象和性质.
难点：用二次函数解决实际问题.
三、教学过程
知识梳理
一、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
注意：(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数.
二、二次函数的图象与性质
三、二次函数图象的平移
四、二次函数表达式的求法
五、二次函数与一元二次方程的关系
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
六、二次函数的应用
1.二次函数的应用包括以下两个方面：
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大(小)化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
2.一般步骤：
(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；
(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；
(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；
(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义.
考点讲练
考点一
求抛物线的顶点坐标、对称轴、最值
例1
求抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标.
解法一：配方，得y=x2-2x+3=(x-1)2+2，则顶点坐标为(1，2)
解法二：由顶点公式，得，
则顶点坐标为(1，2)
方法总结
解决此类题目可以先把二次函数y=ax2+bx+c配方为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，得到：对称轴是直线x=h，最值为y=k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.
针对训练
1.对于y＝2(x＋3)2＋2的图象下列叙述正确的是(
)
A.顶点坐标为(3，2)
B.对称轴为直线x＝3
C.函数的最大值为2
D.函数的最小值为2
考点二
二次函数的图象与性质及函数值的大小比较
例2
二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1＜x2＜1，则y1与y2的大小关系是(
)
A.y1≤y2
B.y1＜y2
C.y1≥y2
D.y1＞y2
针对训练
2.下列函数中，当x＞0时，y随x增大而减小的是(
)
A.
B.y＝x－1
C.
D.y＝－3x2
考点三
二次函数的图象与系数a，b，c的关系
例3
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
方法总结
1.根据图象开口方向及与y轴交点位置来确定a、c符号.
2.根据对称轴的位置确定b的符号：b=0 对称轴是y轴；a、b同号 对称轴在y轴左侧；a、b异号 对称轴在y轴右侧.
这个规律可简记为“左同右异”.
3.当x=1时，函数y=a+b+c.
当图象上横坐标x=1的点在x轴上方时，a+b+c＞0；当图象上横坐标x=1的点在x轴上时，a+b+c=0；当图象上横坐标x=1的点在x轴下方时，a+b+c＜0.同理，可由图象上横坐标x=-1的点判断a-b+c的符号.
针对训练
3.已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是(
)
A.b≤1
B.b≥1
C.b≥－1
D.b≤－1
考点四
抛物线的几何变换
例4
将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是(
)
A.y＝(x－4)2－6
B.y＝(x－4)2－2
C.y＝(x－2)2－2
D.y＝(x－1)2－3
针对训练
4.若将抛物线y＝－7(x＋4)2－1通过平移得到y＝－7x2，则下列平移方法正确的是(
)
A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位
D.先向右平移4个单位，再向下平移1个单位
考点五
二次函数表达式的确定
例5
已知关于x的二次函数，当x＝－1时，函数值为10，当x＝1时，函数值为4，当x＝2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得：
，解这个方程组得
∴
这个二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.
针对训练
5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与抛物线y＝－x2－3x＋7的形状相同，顶点在直线x＝1上，且顶点到x轴的距离为5，请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解：∵
抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
∴
a=1或-1
又∵
顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为5
∴
顶点坐标为(1，5)或(1，-5)
∴
其表达式可以为：(1)
y=(x-1)2+5
(2)
y=(x-1)2-5
(3)
y=-(x-1)2+5
(4)
y=-(x-1)2-5
考点六
二次函数与一元二次方程
例6
若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为(
)
A.x1＝0，x2＝6
B.x1＝1，x2＝7
C.x1＝1，x2＝－7
D.x1＝－1，x2＝7
针对训练
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋2的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的解为____________________.
考点七
二次函数的应用
例7
某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
解：(1)根据题意，得，解得
故所求一次函数的表达式为y=-x+120.
(2)w=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200，配方得w=-(x-90)2+900
∵
抛物线的开口向下
∴
当x＜90时，w随x的增大而增大
∵
60≤x≤60×(1+45%)，即60≤x≤87
∴
当x=87时，w有最大值，此时w=-(87-90)2+900=891
故销售单价定为87元时，商场可获得最大利润891元.
针对训练
7.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；
(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析.
解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为y=ax2+bx，
由图象的点的含义，得，解得
故所求一次函数的表达式为y=-x2+14x
(2)y=-x2+14x=-(x-7)2+49
∴
当x=7时，y最大=49
故第7个月时，利润最大为49万元.
(3)没有利润，即-x2+14x=0解得x1=0(舍去)或x2=14
而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.
例8
如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中
15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.
(1)用含有x的代数式表示BF的长；
(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；
(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值.
解：(1)由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30
∴
BF=2x-30
(2)∵
∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°
∴
∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30
∴
S=S△DEF-S△GBF=DE2-BF2=x2-(2x-30)2=-x2+60x-450
(3)∴
S=-x2+60x-450=-(x-20)2+150
∵
a=-＜0，15＜20＜30
∴
当x=20时，S有最大值，最大值为150.
针对训练
8.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.
(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.
解：(1)由题意，得羊圈的长为25m，宽为(40-25)÷2=7.5(m)，
故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2)
(2)设羊圈与墙垂直的一边为x
m，则与墙相对的一边长为
(40-2x)m，羊圈的面积：
S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200
(0＜x＜20)
∵
0＜10＜20
∴
当x=10时，S有最大值，最大值为200.
∴
张大伯的设计不合理
合理的设计是：羊圈与墙垂直的两边长为10m，而与墙相对的一边长为20m，此时羊圈的面积最大为200m2.
旋转的概念及性质
一、教学目标
(一)知识与技能：1.掌握旋转的有关概念，理解旋转变换也是图形的一种基本变换；2.经历探索图形旋转特征的过程，体验和感受图形旋转的主要特征，理解图形旋转的基本性质.
(二)过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力、以及与他人合作交流的能力.
(三)情感态度与价值观：1.经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作，使学生充分感知数学美，培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感；2.通过小组合作交流活动，培养学生合作学习的意识和研究探索的精神.
二、教学重点、难点
重点：旋转的有关概念和旋转的基本性质.
难点：探索旋转的基本性质.
三、教学过程
温故知新
1.如图，两个图形具有平移关系的是_______，两个图形具有轴对称轴关系的是_______.
2.平移前后的两个图形是_____形，对应点的连线_____(或在同一直线上)且_____.
3.具有轴对称关系的两个图形是_____形，对应点的连线被对称轴__________.
动画欣赏
如图(1)，钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了多少度？
如图(2)，风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
以上这些现象有什么共同特点呢？
我们可以把上面问题中的指针、叶片等看作平面图形.像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.例如，图(1)中，时针在旋转，表盘的中心是旋转中心，旋转角是60°，时针的端点在3时的位置P与在5时的位置P′是对应点.
练习
1.请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角.
2.时钟的时针在不停地转动，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是_____度，从上午9时到上午10时，时针旋转的旋转角是_____度.
3.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心是____，旋转角是_______________.
教材导学
如图，△A′OB′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°得到的.
旋转中心是点____；
旋转的方向是_______；
旋转的角度是____；
点B的对应点是点___；
∠AOA′=∠BOB′=____；
∠A的对应角是____，即∠A=____；
∠B的对应角是____，即∠B=____；
线段OB的对应线段是线段____，即OB=____；
线段AB的对应线段是线段____，即AB=____；
OA的中点D的对应点在____的中点上.
探究
如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移开硬纸板.
△A′B′C′是由△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到的.
问：线段OA与OA′有什么关系？_______；∠AOA′与∠BOB′有什么关系？_____________；△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？_______________.
归纳
旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等.
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
旋转前、后的图形全等.
理解两点：
(1)旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角；
(2)旋转中心可以是图形上的某一点，也可以是图形内或图形外的某一点.
例
如图，△ABC是等边三角形，D是BC上的一点，△ABD经过逆时针方向旋转后到达△ACE的位置.
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果M是AB的中点，那么经过上述旋转
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的；2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式；3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
(二)过程与方法：1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活；2.通过观察、思考、交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式.
(三)情感态度与价值观：用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.
二、教学重点、难点
重点：一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念.
难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.
三、教学过程
引言
在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？
如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系：
AC:BC=BC:2，即
BC2=2AC.
设雕像下部高xm，可得方程
x2=2(2-x)
整理得
x2+2x-4=0
①
问题1
如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm.
根据方盒底面积为3600cm2，得
(100-2x)(50-2x)=3600
整理，得
4x2-300x+1400=0
化简，得
x2-75x+350=0
②
由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸.
方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队参赛？
全部比赛的场数为
4×7=28.
设应邀请x个队参赛，每个队要与其它(x-1)个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x-1)场.
列方程x(x-1)=28，整理，得，化简，得
x2-x=56
③
由方程③可以得出参赛队数.
方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？
x2+2x-4=0
①
x2-75x+350=0
②
x2-x=56
③
思考
方程①②③有什么共同点？
特点：(1)
都是整式方程；(2)
只含有一个未知数；(3)
未知数的最高次数是2.
4x2=9，x2+3x=0，3y2-5y=7-y等也是这样的方程.
像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化为ax2＋bx＋c＝0的形式，我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
为什么规定a≠0？b，c可以为零吗？
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
例如，x=8是x2-x=56的解.
例
将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得
3x2-3x=5x+10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
练习
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项：
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
解：4x2=25，化成一般形式为4x2-25=0.
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
解：x(x-2)=100，化成一般形式为x2-2x-100=0.
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
解：x=(1-x)2，化成一般形式为x2-3x+1=0.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.
用直接开平方法解一元二次方程
一、教学目标
(一)知识与技能：认识形如x2＝p(p≥0)或(mx+n)2＝p(m≠0，p≥0，m，n，
p为常数)类型的方程，并会用直接开平方法解.
(二)过程与方法：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力.
(三)情感态度与价值观：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知(新知识)向己知(旧知识)转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知.
二、教学重点、难点
重点：运用开平方法解形如(mx+n)2＝p(m≠0，p≥0，m，n，
p为常数)的方程，领会降次一转化的数学思想.
难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx+n)2＝p
(m≠0，p≥0，m，n，
p为常数)的方程.
三、教学过程
知识预备
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于
a，那么这个数叫做
a
的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：±.
x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，
x＝±.
2.完全平方式：a2＋2ab＋b2＝(_____)2，a2_________＝(a－b)2
3.练一练：若x2＝16，则x＝____；x2－6x＋9＝_______.
问题1
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设其中一个盒子的棱长为x
dm，则这个盒子的表面积为6x2
dm
2.
根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2＝1500
①
整理，得
x2＝25
根据平方根的意义，得
x＝±5
即
x1＝5，x2＝-5
可以验证，5和-5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm.
一般地，对于方程
x2＝p，
(Ⅰ)
(1)
当p＞0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ)有两个不等的实数根
x1＝，x2＝-；
(2)
当p＝0时，方程(Ⅰ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝0；
(3)
当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程(Ⅰ)无实数根.
探究
对照前面解方程10×6x2=1500
①的过程，你认为应怎样解方程(x+3)2=5及9x2-12x+4=3？
在解方程①时，由方程x2=25得x=±5.
由此想到：
由方程
(x+3)2=5，
②
得
x+3=±
即
x+3=，或x+3=-.
③
于是，方程(x+3)2=5的两个根为
x1=-3+，x2=-3-.
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.
由方程
9x2-12x+4=3
化成
(3x-2)2=3
得
3x-2=±
即
3x-2=，或3x-2=-.
于是，方程9x2-12x+4=3的两个根为
，
知识梳理
●知识点一
直接开平方法
方程
x2=p(p≥0)的解为x1=，x2=-.
由方程(mx+n)2=p(p≥0)，可得mx+n=或mx+n=-.
●知识点二
降次思想
一元二次方程一般通过降次转化成两个一元一次方程来解.直接开平方法是降次的一种方法.
练习
解下列方程：
(1)
2x2-8=0
(2)
9x2-5=3
(3)
(x+6)2-9=0
(4)
3(x-1)2-6=0
(5)
x2-4x+4=5
(6)
9x2+5=1
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程，同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.
用配方法解一元二次方程
一、教学目标
(一)知识与技能：1.进一步理解配方法和配方的目的；2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤；3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.
(二)过程与方法：通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识.
(三)情感态度与价值观：通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
二、教学重点、难点
重点：利用配方法解一元二次方程.
难点：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1的类型.
三、教学过程
知识预备
1.在代数式x2-2x中，一次项系数为____.
2.若a=b，则a+5=b+___.
3.应用完全平方公式填空：
(1)
x2+6x+___=(x+3)2
(2)
x2-12x+___=(x-___)2
探究
怎样解方程x2+6x+4=0？
x2+6x+9=5
(x+3)2=5
完全平方形式(x+3)2，5非负数
直接开平方法(降次)解方程
x+3=±
→
x+3=，或x+3=-
→
∴
x1=-3，x2=--3
能否将方程x2+6x+4=0转化为可以用直接开平方法(降次)的形式再求解呢？
x2+6x+4=0(移项)→x2+6x=-4(两边加9(即)使左边配成x2+2bx+b2的形式)→x2+6x+9=-4+9(左边写成完全平方形式)→(x+3)2=5(直接开平方(降次))→x+3=±→x+3=，或x+3=-(解一次方程)→x1=-3，x2=--3
为什么在方程x2+6x=-4的两边加9？加其他数行吗？
像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两一个一元一次方程来解.
例1
解下列方程：
(1)
x2-8x+1=0
(2)
2x2+1=3x
(3)
3x2-6x+4=0
解：(1)移项，得
x2-8x=-1
配方，得
x2-8x+42=-1+42
(x-4)2=15
由此可得
x-4=±
∴
x1=4+，x2=4-
解：(2)移项，得
2x2-3x=-1
二次项系数化为1，得
x2-x=-
配方，得
x2-x+()2=-+()2
由此可得
x-=±
∴
x1=1，x2=
解：(3)移项，得
3x2-6x=-4
二次项系数化为1，得
x2-2x=-
配方，得
x2-2x+12=-+12
(x-1)2=-
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.
归纳总结
配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将一元二次方程化为一般形式；
(2)把常数项移到方程的右边；
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数；
(5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数时，原方程无实数根.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x＋n)2＝p
(Ⅱ)
(1)
当p＞0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
x1＝－n－，x2＝－n＋；
(2)
当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)
当p＜0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根.
练习
1.填空：
(1)
x2+10x+___=(x+__)2
(2)
x2-12x+___=(x-__)2
(3)
x2+5x+___=(x+__)2
(4)
x2-x+___=(x-__)2
2.解下列方程：
(1)
x2+10x+9=0
(2)
x2-x-=0
(3)
3x2+6x-4=0
解：(1)移项，得
x2+10x=-9
配方，得
x2+10x+52=-9+52
(x+5)2=16
由此可得
x+5=±4
∴
x1=-1，x2=-9
解：(2)移项，得
x2-x=
配方，得
x2-x+()2=+()2
(x-)2=2
由此可得
x-=±
∴
x1=+，x2=-
解：(3)移项，得
3x2+6x=4
二次项系数化为1，得
x2+2x=
配方，得
x2+2x+12=+12
(x+1)2=
由此可得
x+1=±
(4)
4x2-6x-3=0
(5)
x2+4x-9=2x-11
(6)
x(x+4)=8x+12
解：(4)移项，得
4x2-6x=3
二次项系数化为1，得
x2-x=
配方，得
由此可得
∴
，
解：(5)移项，合并得
x2+2x=-2
配方，得
x2+2x+12=-2+12
(x+1)2=-1
∵
-1＜0
∴
原方程无实数根
解：(6)去括号，得
x2+4x=8x+12
移项，合并得
x2-4x=12
配方，得
x2-4x+22=12+22
(x-2)2=16
由此可得
x-2=±4
∴
x1=6，x2=-2
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程，因此需熟练掌握完全平方式的形式.
公式法
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
(二)过程与方法：经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.
(三)情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.
二、教学重点、难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用.
难点：一元二次方程求根公式法的推导.
三、教学过程
用配方法解方程：2x2-7x+3=0
解：移项，得
2x2-7x=-3
二次项系数化为1，得
配方，得
，，∴
x1=3，x2=
利用配方法解一元二次方程的一般步骤是相同的.
配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将一元二次方程化为一般形式；
(2)把常数项移到方程的右边；
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边
为一个常数；
(5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数
时，原方程无实数根.
探究
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢？
ax2+bx+c=0(a≠0)
移项，得
ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得
配方，得
即
①
∵
a≠0，∴
4a2＞0.式子b2-4ac的值有以下三种情况：
(1)
b2-4ac＞0
这时＞0，由①得
方程有两个不等的实数根
，
(2)
b2-4ac=0
这时=0，由①可知，方程有两个相等的实数根
(3)
b2-4ac＜0
这时＜0，由①可知
＜0，而x取任何实数都不能使＜0，因此方程无实数根.
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
归纳
当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
Δ＞0
方程有两个不等的实数根；
Δ＝0
方程有两个相等的实数根；
Δ＜0
方程无实数根.
当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
例2
用公式法解下列方程：
(1)
x2-4x-7=0
(2)
2x2-2x+1=0
(3)
5x2-3x=x+1
(4)
x2+17=8x
解：(1)
a=1，b=-4，c=-7.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0
方程有两个不等的实数根
即
，
解：(2)
a=2，b=-2
，c=1.
Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0
方程有两个相等的实数根
解：(3)
方程化为
5x2-4x-1=0
注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程转化为一般形式，再确定a，b，c的值.
a=5，b=-4，c=-1.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0
方程有两个不等的实数根
即
x1=1，x2=.
解：(4)
方程化为
x2-8x+17=0
a=1，b=-8，c=17.
Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0
方程无实数根.
本章引言中的问题，雕像下部的高度x(单位：m)满足方程
x2+2x-4=0
用公式法解这个方程，得
即
x1=-1+，x2=-1-.
结果保留小数点后两位，那么x1≈1.24，x2≈-3.24.
这两个根中，只有x1≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像下部高度应设计为约1.24m.
练习
1.解下列方程：
(1)
x2+x-6=0
(2)
x2-x-=0
(3)
3x2-6x-2=0
解：(1)
a=1，b=1，c=-6.
Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0
方程有两个不等的实数根
即
x1=2，x2=-3.
解：(2)
a=1，b=-，c=-.
Δ=b2-4ac=(-)2-4×1×(-)=4＞0
方程有两个不等的实数根
即，.
解：(3)
a=3，b=-6，c=-2.
Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60＞0
方程有两个不等的实数根
即，.
(4)
4x2-6x=0
(5)
x2+4x+8=4x+11
(6)
x(2x-4)=5-8x
解：(4)
a=4，b=-6，c=0.
Δ=b2-4ac=(-6)2-4×4×0=36＞0
方程有两个不等的实数根
即，.
解：(5)
移项，合并得
x2=3
直接开平方，得
x=
即，.
解：(6)方程化为
2x2+4x-5=0
a=2，b=4，c=-5.
Δ=b2-4ac=42-4×2×(-5)=56＞0
方程有两个不等的实数根
即，.
2.求第21.1节中问题1的答案.
x2-75x+350=0
解：a=1，b=-75，c=350.
Δ=b2-4ac=(-75)2-4×1×350=4225＞0
方程有两个不等的实数根
即
x1=5，x2=70(不合题意，要舍去).
因此，切去的正方形的边长为5cm.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式.
同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程的前提是Δ≥0.
因式分解法
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会用因式分解法(提公因式法、运用公式)解一元二次方程；2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
(二)过程与方法：在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中，进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.
(三)情感态度与价值观：通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.
二、教学重点、难点
重点：用因式分解法解一元二次方程.
难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便.
三、教学过程
知识预备
1.把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式__________.
2.因式分解常用的方法有_________________________.
3.将下列各式分解因式：
(1)
7x2-21x
(2)
2(a-3)2-a+3
(3)
(y+3)2-(2y-3)2
解：(1)原式=7x(x-3)
(2)原式=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1]=(a-3)(2a-7)
(3)原式=[(y+3)+(2y-3)][(y+3)-(2y-3)]=(y+3+2y-3)(y+3-2y+3)=3y(6-y)
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖、小亮、小明都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x.
但他们的解法各不相同.
他们做得对吗？
小颖：由方程x2=3x，得x2-3x=0，因此
→x1=0，x2=3，所以这个数是0或3.
小亮：将方程x2=3x两边同时约去x，得x=3，所以这个数是3.
(方程两边约去x时，必须确保x≠0，但这里x恰恰能够等于0，所以这种变形是错误的.结果会丢掉一个根.)
小明：由方程x2=3x，得x2-3x=0即
x(x-3)=0于是
x=0，或
x-3=0因此
x1=0，x2=3所以这个数是0或3.
如果a·b=0，那么a=0，或b=0.
x2-3x=0
①
即
x(x-3)=0
于是
x=0，或
x-3=0
②
因此
x1=0，x2=3
上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
练一练
用因式分解法解下列方程：
(1)
4x=5x2
(2)
3x(x+3)-2(x+3)=0
解：(1)移项，得
4x-5x2=0
因式分解，得
x(4-5x)=0
于是得
x=0，或
4-5x=0
x1=0，x2=
解：(2)因式分解，得
(x+3)(3x-2)=0
于是得
x+3=0，或
3x-2=0
x1=-3，x2=
例3
解下列方程：
(1)
x(x-2)+x-2=0
(2)
5x2-2x-=x2-2x+
解：(1)因式分解，得
(x-2)(x+1)=0
于是得
x-2=0，或
x+1=0
x1=，x2=
解：(2)移项、合并同类项，得
4x2-1=0
因式分解，得
(2x+1)(2x-1)=0
于是得
2x+1=0，或
2x-1=0
x1=2，x2=-1
可以试用多种方法解本例中的两个方程.
解：(1)方程化为
x2-x-2=0
a=1，b=-1，c=-2.
Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9＞0
即
x1=2，x2=-1
解：(2)移项、合并同类项，得
4x2=1
二次项系数化为1，得
直接开平方，得
即x1=，x2=
归纳
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.
总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.
练习
1.解下列方程：
(1)
x2+x=0
(2)
x2-x=0
(3)
3x2-6x=-3
(4)
4x2-121=0
(5)
3x(2x+1)=4x+2
(6)
(x-4)2=(5-2x)2
2.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.求小圆形场地的半径.
解：设小圆形场地的半径为
r
m.依题意，得
π(r+5)2=2πr2
r2-10r-25=0
Δ=(-10)2-4×1×(-25)=200＞0
r1=5+5，
r2=5-5
(不合题意，舍去)
答：小圆形场地的半径为(5+5)m.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力.
在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.
一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
(一)知识与技能：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一
元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.
(二)过程与方法：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.
(三)情感态度与价值观：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心.
二、教学重点、难点
重点：一元二次方程根与系数的关系.
难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述.
三、教学过程
忆一忆
1.一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？(b2-4ac≥0)
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
解下列方程并完成填空：
(1)
x2-5x+6=0
(2)
x2+3x-4=0
(3)
x2+6x+8=0
以上方程有什么共同特点，你从中发现了什么？
三个方程的二次项系数都是1，它们的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.
思考
从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：(x1+x2)=-p，x1x2=q
思考
一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
根据求根公式可知，，
由此可得
因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：，.
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0；(3)在使用时，注意“-”不要漏写.
把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？
x2+px+q=0→(x1+x2)=-p，x1x2=q
解方程2x2-3x+1=0，验证上述关系？
解：a=2，b=-3，c=1.
Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1＞0
方程有两个不等的实数根
即
x1=1，x2=
，.
例4
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1)
x2-6x-15=0
(2)
3x2+7x-9=0
(3)
5x-1=4x2
解：(1)
x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15.
(2)
x1+x2=，x1x2==-3.
(3)
方程化为
4x2-5x+1=0.
x1+x2==，x1x2=.
练习
不解方程，求下列方程两根的和与积：
(1)
x2-3x=15
(2)
3x2+2=1-4x
(3)
5x2-1=4x2+x
(4)
2x2-x+2=3x+1
解：(1)方程化为
x2-3x-15=0.
x1+x2=-(-3)=3，x1x2=-15.
(2)
方程化为
3x2+4x+1=0.
x1+x2=，x1x2=.
(3)
方程化为
x2-x-1=0.
x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1.
(4)
方程化为
2x2-4x+1=0.
x1+x2==2，x1x2=.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.
实际问题与一元二次方程(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理；2.联系实际，让学生进一步经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键.
(二)过程与方法：通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程.
(三)情感态度与价值观：在分析解决问题的过程中深入地体会一元二次方程的应用价值.
二、教学重点、难点
重点：建立数学模型，找等量关系，列方程.
难点：找等量关系，列方程.
三、教学过程
知识回顾
一、列方程解应用题的一般步骤是：
1.审：读懂题意，弄清题目中哪些是已知量，哪些是未知量，
以及它们之间的等量关系；
2.设：设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位；
3.列：根据等量关系列出方程(组)；
4.解：解所列方程(组)；
5.验：检验所求方程(组)的解是否正确，是否符合题意；
6.答：答案也必需是完整的语句，注明单位.
二、列方程解应用题的关键是：找等量关系
探究1
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有__________人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有______________人患了流感.
列方程
1+x+x(1+x)=121
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列出方程
1+x+x(1+x)=121
(1+x)2=121
解方程，得
x1=10，x2=-12(不合题意，舍去)
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人.
思考
如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？n轮呢？
三轮传染后：121+10×121=(10+1)3=113=1331(人)
n轮传染后：11n(人)
探究2
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：
甲种药品成本的年平均下降额为：(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为：(6000-3600)÷2=1200(元)
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为___________元，两年后甲种药品成本为___________元，根据题意，列出方程
5000(1-x)2=3000
解得
x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去)
答：根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？
类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，根据题意，列出方程
6000(1-y)2=3600
解得乙种药品成本年平均下降率约为22.5%.
比较：两种药品成本的年平均下降率.(相同)
思考
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
成本下降额大的产品，其成本下降率不一定大.
成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.
方法总结
类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在.它有一定的模式：若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为：a(1±x)n=b
(其中增长取+，降低取-)
练习
1.在古代有一部落，15位族人外出狩猎回来，其中有5个人染上了瘟疫，经过两轮传染后部落里共有125个人染上了瘟疫，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列出方程
5+5x+x(5+5x)=125，整理得
5(1+x)2=125
解方程，得
x1=4，x2=-6(不合题意，舍去)
答：每轮传染中平均一个人传染了4个人.
2.某商店6月份的利润是2.5万元，要使8月份的利润达到3.6万元，这两个月的月平均增长率是多少？
解：设这两个月的月平均增长率是x.根据题意，列出方程
2.5(1+x)2=3.6
解方程，得
x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去)
答：这两个月的月平均增长率为20%.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键，特别是解有关的传播问题时，一定要明确每一轮传染源的基数，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.
实际问题与一元二次方程(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：能正确利用一元二次方程的相关知识解决几何图形的面积问题.
(二)过程与方法：经历将实际问题转化为数学问题的过程，进-步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，提高数学应用意识.
(三)情感态度与价值观：体验数学在现实生活中的作用，体验学习数学的快乐.
二、教学重点、难点
重点：根据面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题.
难点：根据面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.
三、教学过程
知识预备
1.矩形的长和宽分别为a
m和b
m，则其面积为____m2，周长为_______m.
2.梯形的上、下底分别为a
cm和b
cm，高为h
cm，则其面积为__________cm2.
3.圆的半径为r
cm，则其面积为____cm2，周长为____cm.
4.长方体的长、宽、高分别是a
cm，b
cm和c
cm，则其体积为_____cm3.
5.直角三角形的两直角边长分别为a
cm和b
cm，斜边长为c
cm，则a，b，c之间的数量关系为_________.
练一练
现有长19cm，宽15cm的矩形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的纸盒，要使纸盒的底面积为117cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则盒底的长为(19-2x)cm，宽为(15-2x)cm，依题意得
(19-2x)(15-2x)=117
整理得
x2-17x+42=0
解得
x1=3，x2=14(不合题意，舍去)
答：剪去的小正方形的边长应为3cm.
探究3
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周彩色的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？
分析：封面的长宽之比是27:21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7.设中央矩形的长和宽分别是9a
cm和7a
cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
(27-9a):
(21-7a)=9(3-a):7(3-a)=9:7
解：设上、下边衬的宽均为9x
cm，左、右边衬的宽均为7x
cm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm，根据题意，列出方程
(27-18x)(21-14x)=
×27×21
整理，得
16x2-48x+9=0
解得
x1=，x2=(不合题意，舍去)
则：9x≈1.8，7x≈1.4.
答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm.
思考
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试.
解：设中央的矩形的长、宽分别为9y
cm、7y
cm，根据题意，列出方程
9y·7y=×27×21
整理，得
y2=
解得
y1=，y2=
(不合题意，舍去)
则：(27-9y)≈1.8，
(21-7y)≈1.4.
答：上、下边衬的宽约为1.8cm，左、右边衬的宽约为1.4cm.
练习
用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32cm
2的矩形呢？为什么？
解：设矩形的一边长为x
cm，则另一边长为(11-x)㎝，依题意得
x(11-x)=30，解得
x1=6，x2=5
因此，这个矩形的长和宽分别为6cm、5cm.
不能折成面积是32cm2的矩形，理由如下：
x(11-x)=32，整理得
x2-11x+32=0
∵
b2-4ac=(-11)2-4×1×32=-7＜0
∴
方程无实数根
∴
不能折成面积是32cm2的矩形
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程，对图形进行分割或补全的原则，转化成为规则图形时越简单越直观越好.
第21章一元二次方程小结与复习
一、教学目标
(一)知识与技能：1.灵活运用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元-二次方程；2.运用一元二次方程解决简单的实际问题.
(二)过程与方法：1.经历运用知识，技能解决问题的过程，发展学生的独立思考能力和创新精神；2.了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想.
(三)情感态度与价值观：培养学生对数学的求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯.
二、教学重点、难点
重点：根据一元二次方程的特征，灵活选用解法，以及应用一元二次方程知识解决实际问题.
难点：灵活选用恰当方法解一元二次方程以及列方程.
三、教学过程
知识梳理
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)
3.项数和系数：二次项：ax2
二次项系数：a
一次项：bx
一次项系数：b
常数项：c
4.注意事项：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程.
二、一元二次方程的根与系数的关系
已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的两根.
则有：，.注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0；(3)在使用时，注意“-”不要漏写.
三、解一元二次方程的方法
各种一元二次方程的解法及使用类型
四、一元二次方程的应用
列方程解应用题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.
设：设未知数，设其中某个未知量为x.
列：根据题意寻找等量关系列方程.
解：解方程.
验：检验方程的解是否符合题意.
答：写出答案(包括单位).
考点讲练
考点一
一元二次方程的定义
例1
若关于x的方程(m－1)x2＋mx－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是(
)
A.m≠1
B.m＝1
C.m≥1
D.m≠0
针对训练
1.方程5x2－x－3＝x2－3＋x的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____.
2.当k_____时，关于x的方程是一元二次方程.
考点二
一元二次方程的根的应用
例2
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一个根为0，则m＝____.
针对训练
3.一元二次方程x2＋px－3＝0的一个根为3，则p的值为_____.
考点三
一元二次方程的解法
例3
(1)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，应变为(
)
A.(x－1)2＝6
B.(x＋2)2＝9
C.(x＋1)2＝6
D.(x－2)2＝9
(2)某三角形两边长分别为3和6，它第三边的长是方程x2－13x＋36＝0的根，则该三角形的周长为(
)
A.13
B.15
C.18
D.13或18
针对训练
4.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是一元二次方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为(
)
A.12
B.16
C.16或12
D.24
5.用公式法和配方法分别解方程：x2－4x－1＝0
解：公式法：a=1，b=-4，c=-1.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-1)=20＞0
方程有两个不等的实数根
即
x1=2+，x2=2-.
解：配方法：移项，得
x2-4x=1
配方，得
x2-4x+22=1+22
(x-2)2=5
由此可得
x-2=
∴
x1=2+，x2=2-.
考点四
一元二次方程的根的判别式的应用
例4
已知关于x的一元二次方程x2－3m＝4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(
)
A.m＜0
B.m＜2
C.m≥0
D.
针对训练
6.下列所给方程中，没有实数根的是(
)
A.x2＋x＝0
B.5x2－4x－1＝0
C.3x2－4x＋1＝0
D.4x2－5x＋2＝0
7.若关于x的一元二次方程(k＋1)x2－6x＋3＝0有实数根，则k的取值范围是__________.
考点五
一元二次方程的根与系数的关系
例5
已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m、n，不解方程求m2－mn＋n2的值.
解：∵
m、n是方程x2-4x-3=0的两根
∴
m+n=4，mn=-3
∴
m2-mn+n2=m2+2mn+n2-3mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25
针对训练
8.已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分别为x1和x2,则的值等于(
)
A.
7
B.－2
C.
D.
重要变形
，，
考点六
一元二次方程的应用
例6
某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
解：(1)每天的销售量为：32-2(x-24)=(80-2x)件；
(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150
解得
x1=25，x2=35
由题意x≤28，∴
x=25，即销售价应当为25元.
针对训练
9.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得
5(1-x)2=3.2
解得
x1=1.8(舍去)，x2=0.2=20%
答：平均每次下调的百分率是20%.
10.为了响应市委市政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为30m，宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和三条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？
解：设小道的宽度应为x米.根据题意得
(30-2x)(20-x)=532
整理得
x2-35x+34=0
解得
x1=1，x2=34(舍去)
答：小道的宽度应为1米.
二次函数
一、教学目标
(一)知识与技能：能够表示简单变量间的二次函数关系，理解二次函数的意义与特征，提高学生的分析和概括的能力.
(二)过程与方法：逐个探求不同实例中两个变量之间的关系，后总结、概括，得出二次函数的定义，获得用二次函数来表示变量之间的体验.
(三)情感态度与价值观：进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广泛应用中的作用.
二、教学重点、难点
重点：二次函数实例分析、二次函数定义的理解.
难点：从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系.
三、教学过程
图片引入
函数是描述现实世界中变化规律的数学模型
温故知新
1.什么是函数？我们学过哪些函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于
x
的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.其中，当b=0时，y=kx为正比例函数.
特别注意：k≠0，自变量x的指数是1.
2.若函数y=(m-1)x+4-m是关于x的一次函数，则m____；若函数是关于x的正比例函数，则m的值是____，此时函数解析式为_________.
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有_______棵橙子树；
这时平均每棵树结_________个橙子.
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式
________________________________________________________________.
y=(100+x)(600-5x)
即
y=-5x2+100x+60000
思考
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
y是x的函数吗？显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.
引言
正方体的六个面是全等的正方形(如下图)，设正方体的棱长为x，表面积为y，则它们的具体关系可以表示为________.
y是x的函数吗？
问题1
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系式？
解：每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数
m=n(n-1)，即
.
m是n的函数吗？
问题2
某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
解：这种产品一年后的产量为________t，再经过一年后的产量为_____________t，即两年后的产量
y=20(1+x)2，即
y=20x2+40x+20
y是x的函数吗？
思考
函数y=-5x2+100x+60000，y=6x2，，y=20x2+40x+20有什共同特点？
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式，a，b，c为常数，且a≠0；
(2)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；
(3)一般情况下，自变量x的取值范围是任意实数.
练习
1.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r之间的关系.
解：S=2·πr2+2πr·r
整理得，S=4πr2
2.如图，矩形绿地的长、宽各增加x
m，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式.
解：y=(30+x)(20+x)
整理得，y=x2+50x+600
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比已学过的一次函数，进一步巩固函数的有关知识.
二次函数y=ax2的图象和性质
一、教学目标
(一)知识与技能：会利用描点法作出二次函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.
(二)过程与方法：经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.
(三)情感态度与价值观：培养学生利用数形结合的思想研究二次函数y=ax2的图象、性质，提高学生观察、分析、比较、概括等能力.
二、教学重点、难点
重点：二次函数y=ax2的图象的作法和性质.
难点：根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系.
三、教学过程
认真观察，请描述投掷篮球入篮框的过程，运行路线是什么？
复习启新
1.一次函数的图象是_________.
2.通常怎样画一个函数的图象：_________________.
3.二次函数的图象是什么形状呢？它又有哪些性质呢？
结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法.
我们将从最简单的二次函数y=x2开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质.
作二次函数y=x2的图象.(列表、描点、连线)
在坐标平面中描点，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=x2的图象.
从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2.
实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
1.抛物线y=x2是轴对称图形吗？___，如果是，它的对称轴是_____.
2.抛物线y=x2与对称轴的交点______叫做物线y=x2的______，它是抛物线y=x2的最___点.
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.
3.从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____；
例1
在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象.
解：分别列表，再画出它们的图象.
思考
观察三个函数的图象，它们之间有什么共同点和不同点？
一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
探究
在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.
一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
对比抛物线y=x2和y=-x2，它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=-ax2呢？
归纳
二次函数y=ax2的图象和性质
练习
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.
二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会画函数y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象，能正确说出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；2.掌握抛物线y=ax2+k、y=a(x-h)2的平移规律.
(二)过程与方法：经历探索二次函数y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象的画法和性质的过程，提高作图能力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法.
(三)情感态度与价值观：培养积极参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识.
二、教学重点、难点
重点：作出二次函数y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象，探索其性质.
难点：抛物线的平移规律的理解以及a、k、h的作用的理解.
三、教学过程
知识回顾
二次函数y=ax2的图象和性质
例2
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.
解：先列表：
思考
(1)抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴、顶点
各是什么？
(2)抛物线y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？
1.抛物线y=2x2+1的开口____、对称轴____、顶点是_______.
2.抛物线y=2x2-1的开口____、对称轴____、顶点是_______.
Ⅰ.把抛物线y=2x2向上平移1个单位，就得到抛物线y=2x2+1；
Ⅱ.把抛物线y=2x2向下平移1个单位，就得到抛物线y=2x2-1.
思考
抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？
，
口决：上加下减
练习
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：，，.
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？
探究
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-(x+1)2，y=-(x-1)2的图像，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.
解：先列表：
抛物线y=-(x+1)2的开口向下，对称轴是经过点(-1，0)且与x轴垂直的直线，记作直线x=-1，顶点是(-1，0)；
抛物线y=-(x-1)2的开口____，对称轴____________，顶点是________.
思考
抛物线y=-(x+1)2，y=-(x-1)2与抛物线y=-x2有什么关系？
1.把抛物线y=-x2向左平移1个单位，就得到抛物线y=-(x+1)2，
2.把抛物线y=-x2向右平移1个单位，就得到抛物线y=-(x-1)2.
思考
抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系？
，.
口决：左加右减
练习
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
，，.观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
归纳
二次函数y=ax2+k的性质
二次函数y=a(x-h)2的性质
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质和二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质，体会它们与y＝ax2与之间联系与区别.
体会数学建模的数形结合思想方法.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会画函数y=a(x-h)2+k的图象；2.能正确说出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标；3.掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律.
(二)过程与方法：经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的画法和性质的过程，提高作图能力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法.
(三)情感态度与价值观：培养学生参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识.
二、教学重点、难点
重点：作出二次函数y=a(x-h)2+k的图象，探索其性质.
难点：抛物线的平移规律的理解以及a、h、k的作用的理解.
三、教学过程
复习启新
1.抛物线y=ax2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？
2.抛物线y=a(x-h)2怎样由抛物线y=ax2平移得到？
，
口决：上加下减
，.
口决：左加右减
猜想：抛物线y=a(x-h)2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？
例3
画出函数y=-(x+1)2-1的图像，指出它的开口方向、对称轴和顶点.
解：先列表：
抛物线y=-(x+1)2-1的开口______、对称轴是_________、
顶点是_________.
怎样移动抛物线y=-x2就可以得到抛物线y=-(x+1)2-1？
平移方法1：
平移方法2：
归纳
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
例4
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
点(1，3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数解析式是
y=a(x-1)2+3
(0≤x≤3)
∵
这段抛物线经过点(3，0)
∴
0=a(3-1)2+3，解得：
∴
y=-(x-1)2+3
(0≤x≤3)
当x=0时，y=2.25
答：水管长应为2.25m.
练习
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一、教学目标
(一)知识与技能：1.能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2.会利用对称性画出二次函数的图象.
(二)过程与方法：经历求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方法和数形结合的思想方法.
(三)情感态度与价值观：让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感.
二、教学重点、难点
重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴.
难点：二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质.
三、教学过程
知识回顾
1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的______相同，_____不同.
2.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：
(1)当a＞0时,
开口____，当a＜0时，开口____；(2)对称轴是_______；(3)顶点是_______.
3.抛物线y=-4(x+2)2-5的开口______，对称轴是直线_______，顶点坐标为_________；它可由抛物线y=-4x2向____(填“左”或“右”)平移____个单位，再向___(填“上”或“下”)平移____个单位得到；当x=___时，y有最___值，其值为___；当______时，y随着x的增大而增大，当______时，y随着x的增大而减小.
二次函数的图象是有什么特点？它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系？
我们知道，像这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次
函数也能化成这样的形式吗？
探究新知
1.配方法：怎样把转化成的形式？
解：
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方式；
(3)“化”：化成顶点式.
2.直接画二次函数的图象.
抛物线的顶点是(6，3)，
对称轴是直线x=6.
解：利用图象的对称性列表：
描点画图，得到的图象.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
也就是说，当x＜6时，y随x的增大而减小；当x＞6时，y随x的增大而增大.
探究
你能用前面的方法讨论二次函数的图象和性质吗？
开口向下
顶点是(-1，3)
对称轴是直线x=-1
当x＜-1时，y随x的增大而增大；
当x＞-1时，y随x的增大而减小.
一般地，二次函数可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式(顶点式).
对称轴是直线x=-
顶点是(-，)
如果a＞0时，那么当x=-时，y最小值=
如果a＜0时，那么当x=-时，y最大值=
如果a＞0，当x＜-时，y随x的增大而减小，当x＞-时，y随x的增大而增大；
如果a＜0，当x＜-时，y随x的增大而增大，当x＞-时，y随x的增大而减小.
练习
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.
用待定系数法求二次函数的解析式
一、教学目标
(一)知识与技能：会用待定系数法求二次函数的解析式，根据条件恰当设二次函数解析式形式，体会二次函数解析式之间的转换.
(二)过程与方法：使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系，发展概括及分析问题、解决问题的能力.
(三)情感态度与价值观：让学生在学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：运用待定系数法求二次函数解析式.
难点：根据条件恰当设二次函数解析式形式.
三、教学过程
知识预备
1.已知一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
∵
一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)
∴
得关于k，b的二元一次方程组：，解得
∴
这个一次函数的解析式为y=5x-2.
2.解三元一次方程组：
解：由①-③与②-③得二元一次方程组
解这个方程组，得
把a=2，b=3代入③得
c=1
因此，三元一次方程组的解为
探究
我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，探究下面的问题：
(1)由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
(2)如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
分析：确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式y=kx+b，需求出k，b的值.用待定系数法，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值.类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值.由不共线三点(三点不在同一直线上)的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值.
解：(2)设所求二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知，函数图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得关于a，b，c的三元一次方程组解这个方程组，得
因此，所求二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.
知识梳理
知识点
用待定系数法求二次函数的解析式
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值.由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式.
例
已知抛物线的顶点是(1，-3)，且经过点M(2，0)，求抛物线的解析式.
解：由抛物线的顶点是(1，-3)，可设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2-3
∵
抛物线经过点M(2，0)
∴
0=a×(2-1)2-3，解得
a=3
∴
抛物线的解析式为：y=3(x-1)2-3，即y=3x2-6x
归纳总结
二次函数解析式的类型及适用情况
练习
1.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与时，y=0.求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，依题意得
解这个方程组，得
因此，所求二次函数的解析式为y=x2+x-1.
2.
一个二次函数的图象经过(0，0)，(-1，-1)，(1，9)
三点.求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，依题意得
解这个方程组，得
因此，所求二次函数的解析式为y=4x2+5x.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.
二次函数与一元二次方程
一、教学目标
(一)知识与技能：1.总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
(二)过程与方法：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
(三)情感态度与价值观：通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程根的情况，进一步体会数形结合思想.
二、教学重点、难点
重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
三、教学过程
复习引入
1.二次函数的一般式：____________________，____是自变量，____是____的函数.
二次函数与一元二次方程有什么联系？当y=0时，ax2+bx+c=0.
2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由什么确定？
b2-4ac>0
方程有两个不等的实数根；
b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根；
b2-4ac<0
方程无实数根.
问题
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=20t-5t2.
考虑以下问题：
(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
(2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
(3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.
解：(1)当h=15时，20t-5t2=15
整理得，t2-4t+3=0
解得，t1=1，t2=3
因此，当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.
(2)当h=20时，20t-5t2=20
整理得，t2-4t+4=0
解得，t1=t2=2
因此，当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
(3)当h=20.5时，20t-5t2=20.5
整理得，t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1=-0.4＜0，所以方程无实数根.这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.
(4)小球飞出时和落地时的高度h都为0m，因此有20t-5t2=0
整理得，t2-4t=0
解得，t1=0，t2=4
因此，当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s.
h=20t-5t2→20t-5t2=15，20t-5t2=20，20t-5t2=20.5，20t-5t2=0.
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.
已知二次函数的值，求自变量x的值.
解一元二次方程
思考
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
(1)
y=x2+x-2；(2)
y=x2-6x+9；(3)
y=x2-x+1
(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1.
(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根.
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x轴的位置关系.
归纳
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论.
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
例1
利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
解：画出函数y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7
我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系.
二次函数与图形面积问题
一、教学目标
(一)知识与技能：1.通过探究实际问题与二次函数关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法；2.通过学习和探究“矩形面积”问题，渗透转化的数学思想方法.
(二)过程与方法：通过研究生活中实际问题，体会数学知识的现实意义，体会建立数学建模的思想，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.
(三)情感态度与价值观：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感.
二、教学重点、难点
重点：探究利用二次函数的最值(或增减性)解决实际问题的方法.
难点：如何将实际问题转化为二次函数的问题.
三、教学过程
知识预备
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条_______，它的对称轴是_____________，顶点坐标是________________.当a＞0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最小值=______；当a＜0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最大值=_______.
问题
从地面坚直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
分析：可以借助函数图象解决这个问题，画出函数
h=30t-5t2(0≤t≤6).
可以看出，这个函数图象是一条抛物线的一部分.
这条抛物线的顶点是这个函数的图像的最高点，也就是
说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
解：由函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象性质可知.
当t===3时，h有最大值=
=45.也就是说，小球运动时间是3s时，小球最高.小球运中的最大高度是45m.
探究1
用总长为60m的篱笆墙围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？
解：矩形场地的周长是60m，一边长为l
m，所以另一边长为(-l)m.场地的面积
S=l(30-l)
(0＜l＜30)即
S=-l2+30l
(0＜l＜30)
因为，a=-1＜0，所以，当
l===15时，S
有最大值==225.也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
练习
已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
解：设直角三角形的一边为x，则另一边为(8-x)，面积为y.则y与x的函数关系式为
y=x(8-x)
(0＜x＜8)
即
y=-x2+4x
(0＜x＜8)
∵
a=-＜0，∴
当x==4时，y最大=8.
答：当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大，最大值为8.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.
二次函数与最大利润问题
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会列出实际问题中变量之间的二次函数关系，并感受数学的应用价值；2.运用配方法或公式法求出实际问题的最大值、最小值，发展解决问题的能力.
(二)过程与方法：经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.
(三)情感态度与价值观：1.体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学
的理解和学好数学的信心；2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
二、教学重点、难点
重点：探素销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.
难点：从实际问题中抽象出二次函数建立函数模型，以利用二次函相关知识解决实际生活中的最大(小)值问题.
三、教学过程
教材导学
1.二次函数y=2x2-8x+1图象的顶点坐标是________，当x=____时，y的最小值为____.
2.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获利润y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y=-x2+100x.
(1)二次函数y=-x2+100x的图象开口向___，有最___值，为_____；
(2)要使旅行团所获利润最大，则此时旅行团应有___人.
利润问题
一.几个量之间的关系.
1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量
2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价
3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量
二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
探究2
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
没调整价格之前的利润是_____元.
解：(1)设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元.则每星期少卖_____件，实际卖出_________件，销售额为_______________元，买进商品需付___________元.因此，所得利润y=___________________________，即y=_______________，其中，0≤x≤30.
方法2：设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元.则每件利润是___________元，每星期少卖____件，实际卖出________件，因此，所得利润y=_____________即y=___________，其中，0≤x≤30.
解：(1)设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元.
y=-10x2+100x+6000，其中，0≤x≤30.
根据上面的函数，填空：
当x=____时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价____元，即定价_____元时，利润最大，最大利润是______元.
解：(2)设每件商品降价x元，每星期售出的利润为y元.则每件利润是___________元，每星期多卖_____件，实际卖出_________件，因此，所得利润y=_____________________，即y=_______________，其中，_________.
解：(2)设每件商品降价x元，每星期售出的利润为y元.
y=-20x2+100x+6000，其中，0≤x≤20.
根据上面的函数，填空：
当x=____时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价____元，即定价_____元时，利润最大，最大利润是______元.
(1)涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元；
(2)降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？
当定价为65元时，能使利润最大，最大利润是6250元.
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
解：设果园增种x棵橙子树，总产量为y个.则果园共有_______棵橙子树，这时平均每棵树结_________个橙子.
y=(100+x)(600-5x)
即
y=-5x2+100x+60000
(0≤x≤120)
∵
a=-5＜0
∴
当x==10，y最大=60500
即果园增种10棵橙子树，总数为110棵时，可以使果园橙子的总产量最多，最多为60500个.
归纳总结
此类问题一般是先利用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品的利润×销售数量”建立利润与价格之间的函数关系式(一般是二次函数)，求出这个函数关系式的顶点坐标，从而可得最大利润.同时还要注意实际问题中自变量的取值范围.
练习
某商店经营某种商品，已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查，销售量与单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
解：设每件商品降价x元，总获利为y元.依题意得
y=(13.5-2.5-x)(500+200x)
即
y=-200x2+1700x+5500
(0≤x≤11)
∵
a=-200＜0，∴
当x=4.25，y最大=9112.5
即每件商品降价4.25元，销售单价是9.25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112.5元.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.
建立适当的坐标系解决实际问题
一、教学目标
(一)知识与技能：通过对抛物线型拱桥的探究，掌握如何建立适当的直角坐标系，待定系法求二次函数解析式，解决实际问题.
(二)过程与方法：体会数学知识在生活实际的广泛应用性，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.
(三)情感态度与价值观：通过二次函数的有关知识灵活用于实际，体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型.
难点：利用二次函数解决实际问题时应如何建立合适的坐标系从而使解题简便.
三、教学过程
知识预备
1.
函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______，对称轴是_____，当a____时，开口向上，当a____时，开口向下.
2.二次函数解析式的形式有：①一般式：____________，②顶点式：_____________，③交点式：________________.
(1)如图所示的抛物线，可以根据顶点所在的位置设为
_________，也可以根据抛物线与x轴的交点坐标设为
______________.
(2)由A，B两点的横坐标，可以求得线段AB的长为___.
探究3
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点(2，-2)，可得
-2=a×22，解得，a=
∴
这条抛物线表示的二次函数为：y=x2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3.
当y=-3时，x=.
∴
当水面下降1m时，水面的宽度为2m.
∴
水面的宽度增加了(2-4)m.
你有其它解法吗？
解：以离拱顶2m时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2+2.由抛物线经过点(2，0)，可得
0=a×22+2，解得，a=
∴
这条抛物线表示的二次函数为：y=x2+2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-1.
当y=-1时，x=.
∴
当水面下降1m时，水面的宽度为2m.
∴
水面的宽度增加了(2-4)m.
归纳总结
在“拱桥类”问题中，一般知道拱高和拱长，这时可根据抛物线的对称性建立以y轴为对称轴的坐标系，然后根据所建立的坐标系，确定抛物线上一些点的坐标.若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k.
步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标求出关系式；(5)利用关系式求解问题.
练习
河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线形，水面宽为30米，水面离桥顶的高度是9米，建立如图所示的直角坐标系，你能求出桥拱所在抛物线的函数关系式吗？
解：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由已知条件可知抛物线经过点(15，-9)，可得
-9=a×152，解得，a=
因此，桥拱所在抛物线的函数关系式为：y=-x2
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.
第22章二次函数小结与复习
一、教学目标
1.通过复习二次函数的图象和性质，运用二次函数解决实际问题等内容，梳理本章知识，形成有关二次函数的知识体系.
2.通过回顾探究二次函数的图象和性质的过程，再次体会类比归纳和数形结合的数学思想，形成分析和解决函数问题的一些基本方法.
3.通过利用二次函数解决实际问题，再次体会建模思想，增强应用意识.
二、教学重点、难点
重点：复习二次函数的定义、图象和性质.
难点：用二次函数解决实际问题.
三、教学过程
知识梳理
一、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
注意：(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数.
二、二次函数的图象与性质
三、二次函数图象的平移
四、二次函数表达式的求法
五、二次函数与一元二次方程的关系
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
六、二次函数的应用
1.二次函数的应用包括以下两个方面：
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大(小)化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
2.一般步骤：
(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；
(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；
(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；
(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义.
考点讲练
考点一
求抛物线的顶点坐标、对称轴、最值
例1
求抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标.
解法一：配方，得y=x2-2x+3=(x-1)2+2，则顶点坐标为(1，2)
解法二：由顶点公式，得，
则顶点坐标为(1，2)
方法总结
解决此类题目可以先把二次函数y=ax2+bx+c配方为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，得到：对称轴是直线x=h，最值为y=k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.
针对训练
1.对于y＝2(x＋3)2＋2的图象下列叙述正确的是(
)
A.顶点坐标为(3，2)
B.对称轴为直线x＝3
C.函数的最大值为2
D.函数的最小值为2
考点二
二次函数的图象与性质及函数值的大小比较
例2
二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1＜x2＜1，则y1与y2的大小关系是(
)
A.y1≤y2
B.y1＜y2
C.y1≥y2
D.y1＞y2
针对训练
2.下列函数中，当x＞0时，y随x增大而减小的是(
)
A.
B.y＝x－1
C.
D.y＝－3x2
考点三
二次函数的图象与系数a，b，c的关系
例3
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
方法总结
1.根据图象开口方向及与y轴交点位置来确定a、c符号.
2.根据对称轴的位置确定b的符号：b=0 对称轴是y轴；a、b同号 对称轴在y轴左侧；a、b异号 对称轴在y轴右侧.
这个规律可简记为“左同右异”.
3.当x=1时，函数y=a+b+c.
当图象上横坐标x=1的点在x轴上方时，a+b+c＞0；当图象上横坐标x=1的点在x轴上时，a+b+c=0；当图象上横坐标x=1的点在x轴下方时，a+b+c＜0.同理，可由图象上横坐标x=-1的点判断a-b+c的符号.
针对训练
3.已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是(
)
A.b≤1
B.b≥1
C.b≥－1
D.b≤－1
考点四
抛物线的几何变换
例4
将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是(
)
A.y＝(x－4)2－6
B.y＝(x－4)2－2
C.y＝(x－2)2－2
D.y＝(x－1)2－3
针对训练
4.若将抛物线y＝－7(x＋4)2－1通过平移得到y＝－7x2，则下列平移方法正确的是(
)
A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位
D.先向右平移4个单位，再向下平移1个单位
考点五
二次函数表达式的确定
例5
已知关于x的二次函数，当x＝－1时，函数值为10，当x＝1时，函数值为4，当x＝2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得：
，解这个方程组得
∴
这个二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.
针对训练
5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与抛物线y＝－x2－3x＋7的形状相同，顶点在直线x＝1上，且顶点到x轴的距离为5，请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解：∵
抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
∴
a=1或-1
又∵
顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为5
∴
顶点坐标为(1，5)或(1，-5)
∴
其表达式可以为：(1)
y=(x-1)2+5
(2)
y=(x-1)2-5
(3)
y=-(x-1)2+5
(4)
y=-(x-1)2-5
考点六
二次函数与一元二次方程
例6
若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为(
)
A.x1＝0，x2＝6
B.x1＝1，x2＝7
C.x1＝1，x2＝－7
D.x1＝－1，x2＝7
针对训练
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋2的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的解为____________________.
考点七
二次函数的应用
例7
某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
解：(1)根据题意，得，解得
故所求一次函数的表达式为y=-x+120.
(2)w=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200，配方得w=-(x-90)2+900
∵
抛物线的开口向下
∴
当x＜90时，w随x的增大而增大
∵
60≤x≤60×(1+45%)，即60≤x≤87
∴
当x=87时，w有最大值，此时w=-(87-90)2+900=891
故销售单价定为87元时，商场可获得最大利润891元.
针对训练
7.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；
(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析.
解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为y=ax2+bx，
由图象的点的含义，得，解得
故所求一次函数的表达式为y=-x2+14x
(2)y=-x2+14x=-(x-7)2+49
∴
当x=7时，y最大=49
故第7个月时，利润最大为49万元.
(3)没有利润，即-x2+14x=0解得x1=0(舍去)或x2=14
而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.
例8
如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中
15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.
(1)用含有x的代数式表示BF的长；
(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；
(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值.
解：(1)由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30
∴
BF=2x-30
(2)∵
∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°
∴
∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30
∴
S=S△DEF-S△GBF=DE2-BF2=x2-(2x-30)2=-x2+60x-450
(3)∴
S=-x2+60x-450=-(x-20)2+150
∵
a=-＜0，15＜20＜30
∴
当x=20时，S有最大值，最大值为150.
针对训练
8.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.
(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.
解：(1)由题意，得羊圈的长为25m，宽为(40-25)÷2=7.5(m)，
故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2)
(2)设羊圈与墙垂直的一边为x
m，则与墙相对的一边长为
(40-2x)m，羊圈的面积：
S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200
(0＜x＜20)
∵
0＜10＜20
∴
当x=10时，S有最大值，最大值为200.
∴
张大伯的设计不合理
合理的设计是：羊圈与墙垂直的两边长为10m，而与墙相对的一边长为20m，此时羊圈的面积最大为200m2.
旋转的概念及性质
一、教学目标
(一)知识与技能：1.掌握旋转的有关概念，理解旋转变换也是图形的一种基本变换；2.经历探索图形旋转特征的过程，体验和感受图形旋转的主要特征，理解图形旋转的基本性质.
(二)过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力、以及与他人合作交流的能力.
(三)情感态度与价值观：1.经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作，使学生充分感知数学美，培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感；2.通过小组合作交流活动，培养学生合作学习的意识和研究探索的精神.
二、教学重点、难点
重点：旋转的有关概念和旋转的基本性质.
难点：探索旋转的基本性质.
三、教学过程
温故知新
1.如图，两个图形具有平移关系的是_______，两个图形具有轴对称轴关系的是_______.
2.平移前后的两个图形是_____形，对应点的连线_____(或在同一直线上)且_____.
3.具有轴对称关系的两个图形是_____形，对应点的连线被对称轴__________.
动画欣赏
如图(1)，钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了多少度？
如图(2)，风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
以上这些现象有什么共同特点呢？
我们可以把上面问题中的指针、叶片等看作平面图形.像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.例如，图(1)中，时针在旋转，表盘的中心是旋转中心，旋转角是60°，时针的端点在3时的位置P与在5时的位置P′是对应点.
练习
1.请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角.
2.时钟的时针在不停地转动，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是_____度，从上午9时到上午10时，时针旋转的旋转角是_____度.
3.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心是____，旋转角是_______________.
教材导学
如图，△A′OB′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°得到的.
旋转中心是点____；
旋转的方向是_______；
旋转的角度是____；
点B的对应点是点___；
∠AOA′=∠BOB′=____；
∠A的对应角是____，即∠A=____；
∠B的对应角是____，即∠B=____；
线段OB的对应线段是线段____，即OB=____；
线段AB的对应线段是线段____，即AB=____；
OA的中点D的对应点在____的中点上.
探究
如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移开硬纸板.
△A′B′C′是由△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到的.
问：线段OA与OA′有什么关系？_______；∠AOA′与∠BOB′有什么关系？_____________；△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？_______________.
归纳
旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等.
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
旋转前、后的图形全等.
理解两点：
(1)旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角；
(2)旋转中心可以是图形上的某一点，也可以是图形内或图形外的某一点.
例
如图，△ABC是等边三角形，D是BC上的一点，△ABD经过逆时针方向旋转后到达△ACE的位置.
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果M是AB的中点，那么经过上述旋转
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