2.3一元二次不等式的应用课件 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共31张PPT)

(共31张PPT)
一元二次不等式的应用
1.掌握分式不等式及简单高次不等式的解法;
2.理解含参一元二次不等式恒成立问题；
3.培养数形结合的思想、抽象概括能力和逻辑思维能力
.
一、分式不等式的定义
型如
其中
解分式不等式重要的是等价转化，
尤其是含“≥”或“≤”转换。
题型1　简单分式不等式的解法
例1　解下列不等式：
(1)＜0；(2)≥0；(3)＞1.








解析：(1)原不等式可化为(x＋1)(x－1)<0
∴－1故原不等式的解集为{x|－1(2)原不等式可化为≤0
∴
∴即－3故原不等式的解集为
(3)原不等式可化为－1>0.
∴>0，∴>0，则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
易错辨析　解分式不等式时忽略“分母不等于0\”
致误
例5　不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|x≥－1}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|x≥－1且x≠1}
D．{x|x≥1或x≤－1}
解析：∵(x－1)2≥0
∴原不等式等价于
解得x≥－1且x≠1.故选C.
答案：C
易错警示
易错原因
纠错心得
忽视了(x－1)2≠0，只认为(x－1)2≥0，原不等式等价于x＋1≥0，解得x≥－1，错选A.
解分式不等式时要先移项再通分，不要去分母，使不等式右边化为0.且记“只要解分式不等式，分母都不为零”．
小结:
分式不等式的求解通法：
（1）标准化：①右边化零，②系数化正.
（2）转
换：化为一元二次不等式
（依据：两数的商与积同号）
注意：
（1）标准化之前不要去分母；
（2）结果用集合的形式表示
（3）解不等式中的每一步往往要求
“等价”即同解变形
二、简单高次不等式
穿针引线法
化成标准型p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＞0(或<０)．再利用穿根法写出解集，其穿根的步骤：
(1)分解因式；
(2)确定零点；
(3)在数轴上按照从小到大的顺序标根；
(4)当最高次项的系数为正时，右起为正(其中奇过偶不过)进行穿根．
[跟踪训练]
解下列不等式
x(x－1) (x＋1)3(x＋2)≥0.
解析：各因式的根分别为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为3重根(1为偶次根，－1为奇次根)，结合图示，可得不等式解集为
{x|－2≤x≤－1或x≥0}．
1
解析：
1
2
3
4
+
+
+
-
-
练习1
解不等式
≥2
解：不等式等价于
≥0
即
≤0
15
5
3
2
由标根法知原不等式的解是
即
≤0
练习2
分式不等式等价变形后，如果是高次不等式，应结合序轴标
根法求解！注意点:
解题小结：
（1）x的系数必须是正数；
（2）分清空实点；
（3）注意奇偶次。
三、含参一元二次不等式恒成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养.
角度1　在R上恒成立问题
例2　一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A．{k|－3＜k≤0}
B．{k|－3≤k＜0}
C．{k|－3≤k≤0}
D．{k|－3＜k＜0}
答案：D
法1、“Δ”法解决恒成立问题
解析：
∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，
∴k≠0，
又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则必有
例3　设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围；
解析：(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则 －4∴m的取值范围为{m|－4跟踪训练2　(1)设a为常数， x∈R，ax2＋ax＋1＞0，则a的取值范围是(　　)
A．{x|0＜a＜4}
B．{x|0≤a＜4}
C．{x|a＞0}
D．{x|a＜4}
B
解析：
(1)①当a＝0时，1>0恒成立，即a＝0时满足题意；
②当a≠0时，则有解得0综上得a的取值范围是{x|0≤a<4}.故选B.

方法归纳
在R上恒成立问题解法
师说
5．若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．{a|－1≤a≤4}B．{a|a≤2或a≥5}C．{a|a≤－1或a≥4}D．{a|－2≤a≤5}
解析：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
故选A.
法2、分离参数求最值法
解决恒成立问题
角度2　在给定范围内的恒成立问题
例3　设函数y＝mx2－mx－1.
(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解析：
(2)y<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝＋>0，又m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<.
∵函数y＝＝在1≤x≤3时的最小值为.
∴只需m<即可．∴m的取值范围为.
跟踪训练2　
(2)若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的取值范围是______________．
B
解析：(2)作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}，都有x2＋mx－1<0，
则
解得－方法归纳
在给定区间的恒成立问题解法
方法一：①a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.②a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
方法二：分离参数，转化为函数的最值问题．
角度3　主参换位法解决恒成立问题
例　已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围.
解　y<0 mx2－mx－6＋m<0 (x2－x＋1)m－6<0.
∵1≤m≤3，
题型3　一元二次不等式的实际应用
例4　某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为p万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入y满足y＝
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？
四、一元二次不等式的实际应用
解析：(1)依题意得p＝x＋3，设利润函数为z，则
z＝y－p，所以
z＝
要使工厂有盈利，则有z>0，因为
z>0 或
或
或则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1
050台的范围内．
(2)当3＜x≤7时，z＝－0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，z有最大值4.5，而当x＞7时，z＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大．
方法归纳
解不等式应用题的四步骤
(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
(3)求：解不等式．
(4)答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”
跟踪训练3　某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解析：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)
依题意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得，a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.
又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.
∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．