(共8张PPT)
湘教·九年级下册
解
将
A,
B,
C
三点坐标代入二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c
.
a-b+c=0
c=2
4a+2b+c=0
a=-1
b=1
c=2
二次函数的表达式
y
=
-x2
+
x
+
2
.
【选自教材P23】
【选自教材P23】
解
该二次函数的表达式为
y
=
-2x2
-
12x
-13
.
当
x
=
1
时，y
=
-27.
【选自教材P23】
解
设二次函数表达式为
y
=
ax2
+
bx
+
c
，
9a
-
3b
+
c
=
0
a
+
b
+
c
=
0
c
=
-2
a
=
b
=
c
=
-2
二次函数表达式为
y
=
x2
+
x
-2
.
解
设这个二次函数为
y
=
ax2
+
bx
+
c
则二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c，经过
(3,0)、(0,3)、(1,1)
三点
9a+
3b
+
c
=
0，
c
=
3
，
a
+
b
+
c
=
1，
a
=
b
=
c
=
3
二次函数为
y
=
x2
x
+
3
【选自教材P23】
【选自教材P23】
（1）解
设有二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c
，它的图象经过
P，
Q，
R
三点，则得到关于
a，
b，
c
的三元一次方程组：
a+
b
+
c
=
6，
4a+2b+
c
=
11
，
a
-
b
+
c
=
14，
a
=
3
b
=
-4
c
=
7
二次函数表达式
y
=
3x2
-
4x+
7.
【选自教材P23】
（2）解
设有二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c
，它的图象经过
P，
Q，
M
三点，则得到关于
a，
b，
c
的三元一次方程组：
a+
b
+
c
=
6，
4a+2b+
c
=
11
，
a
-
b
+
c
=
-4，
a
=
0
b
=
5
c
=
1
不存在二次函数经过P,Q,M点
1.
说一说本节课的收获。
2.
你还存在哪些疑惑？(共16张PPT)
不共线三点确定二次函数的表达式
湘教·九年级下册
一次函数的表达式是
y
=
kx
+
b
，只要求出____和____的值，
就可以确定一次函数的表达式.
二次函数的表达式是
y
=
ax2
+
bx
+
c
（a
≠
0
），因此，要确定这个表达式，就需要求出___，___，___的值.
k
b
a
b
c
已知一个二次函数的图象经过三点（1，
3），
（-1，
-5），
（3，
-13），求这个二次函数的表达式.
解
设该二次函数的表达式为
y
=
ax2
+
bx
+
c
.
将三个点的坐标（1，3），（-1，-5），（3，-13）
分别代入函数表达式，
得到关于
a，
b，
c
的三元一次方程组：
a
+
b
+
c
=
3
，
a
-
b
+
c
=
-
5
，
9a
+
3b
+
c
=
-
13
解得
a
=
-3
，
b
=
4
，
c
=
2
.
因此，
所求的二次函数的表达式为
y
=
-3x2
+
4x
+
2
.
【教材P21页】
已知三个点的坐标，
是否有一个二次函数，
它的图象经过这三个点？
（1）
P（1，-5），
Q（-1，3），
R（2，-3）；
（2）
P（1，-5），
Q（-1，3），
M（2，-9）.
解
（1）设有二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c
，
它的图象经过
P，
Q，
R
三点，
则得到关于
a，
b，
c
的三元一次方程组：
a+
b
+
c
=
-5，
a
-
b
+
c
=
3
，
4a
+
2b
+
c
=
-3，
解得
a
=
2
，
b
=
-
4
，
c
=
-3.
因此，
二次函数
y
=
2x2
-
4x
–
3
的图象经过
P，
Q，
R
三点.
【教材P21页】
（2）
P（1，-5），
Q（-1，3），
M（2，-9）.
解
（2）设有二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c
，
它的图象经过
P，
Q，
M
三点，
则得到关于
a，
b，
c
的三元一次方程组：
a+
b
+
c
=
-5，
a
-
b
+
c
=
3
，
4a
+
2b
+
c
=
-9，
解得
a
=
0
，
b
=
-
4
，
c
=
-1.
因此，
一次函数
y
=
-
4x
–
1
的图象经过
P，
Q，
M
三点.
y
=
-
4x
–
1
例2中：两点P（1，
-5），
Q（-1，
3）确定了一个一次函数
y
=
-
4x
-
1
.
点
R（2，
-3）的坐标不适合
y
=
-
4x
-
1
，
因此点
R
不在直线
PQ
上，即P，
Q，
R
三点不共线.
点
M（2，
-9）的坐标适合
y
=
-
4x
-
1，因此点
M在直线
PQ
上，即
P，Q，M
三点共线.
（1）
P（1，-5），
Q（-1，3），
R（2，-3）；
（2）
P（1，-5），
Q（-1，3），
M（2，-9）.
例2表明：
若给定不共线三点的坐标，
且它们的横坐标两两不等，
则可以确定一个二次函数；
而给定共线三点的坐标，
不能确定二次函数.
（1）
P（1，-5），
Q（-1，3），
R（2，-3）；
（2）
P（1，-5），
Q（-1，3），
M（2，-9）.
可以证明：
二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c
的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上.
还可以证明：
若给定不共线三点的坐标，
且它们的横坐标两两不等，
则可以确定唯一的一个二次函数，
它的图象经过这三点.
用顶点式求二次函数解析式.
已知二次函数的顶点为A(1,-4)且过B(3,0),
求二次函数解析式.
解：∵抛物线顶点为A(1,-4),
∴设抛物线解析式为
y
=
a(x-1)2-4,
∵点
B（3，0）在图象上，
∴0
=
4a-4,
∴
a
=
1,
∴
y
=
(x-1)2
-
4,即
y
=
x2-2x-3.
用交点式求二次函数解析式
已知一抛物线与x轴交于点
A（-2，0），B（1，0），且经过点
C（2，8）.求二次函数解析式.
解：A（-2，0），B（1，0）在
x
轴上，设二次函数解析式为
y
=
a(x+2)(x-1).
又∵图象过点
C（2，8），
∴
8
=
a(2+2)(2-1),
∴a=2,
∴
y
=
2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.
已知二次函数
y
=
ax2+
bx
+
c
的图象经过三点
A（0，2），
B（1，3），C（－1，－1），
求这个二次函数的表达式.
c
=
2，
a
+
b
+
c
=
3
，
a
-
b
+
c
=
-1，
解
设这个二次函数为
y
=
ax2
+
bx
+
c
解得
a
=
-1
，
b
=
2
，
c
=
2.
二次函数表达式
y
=
-x2
+
2x+
2.
【教材P23页】
1.
若抛物线经过点
(3,
0)和(2,
－3),
且以直线
x
＝1为对称轴,
则该抛物线的表达式为（
）
A．y＝－x2－2x－3
B．y＝x2－2x＋3
C．y＝x2－2x－3
D．y＝－x2＋2x－3
C
2.
抛物线
y＝
ax2＋bx＋c
与
x
轴的两个交点分别为(－1,
0),
(3,
0),其形状和开口方向与抛物线
y＝－2x2
相同,则抛物线
y＝ax2＋bx＋c
的表达式为（
）
A．y＝－2x2－x＋3
B．y＝－2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x＋8
D．y＝－2x2＋4x＋6
D
3.（分类讨论题）已知抛物线过点
A（2,0）,B（-1,0）,
与
y
轴交于点
C,
且
OC
＝2,
则这条抛物线的表达式
为（
）
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2＋x＋2
C．y＝x2－x－2
或
y＝－x2＋x＋2
D．y＝－x2－x－2
或
y＝x2＋x＋2
C
4.
已知抛物线
y＝－x2＋bx＋c
如图所示,
则此抛物线
的表达式为_________________．
y
＝－x2＋2x＋3
求二次函数解析式的三种表达式的形式.
(1)已知三点坐标,设二次函数解析式为
y
=
ax2+bx+c.
(2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为
y=a(x-h)2+k.
(3)已知抛物线与
x
轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)可设二次函数解析式为
y
=
a(x-x1)(x-x2).
