(共13张PPT)
二次函数的应用（1）
湘教·九年级下册
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是
4.9
m，水面宽是
4
m
时，拱顶离水面
2
m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化，你能建立函数模型来解决这个问题吗？
分析：
（1）建立合适的直角坐标系；
（2）将实际建筑数学化，数字化；
（3）明确具体的数量关系；
（4）分析所求问题，代入解析式求解.
为简便起见，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为
y
轴，建立直角坐标系．由于顶点坐标是（0，0），
因此这条抛物线的形式为
y
＝
ax2.
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是
4.9
m，水面宽是
4
m
时，拱顶离水面
2
m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是
4.9
m，水面宽是
4
m
时，拱顶离水面
2
m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
已知水面宽
4
m
时，
拱顶离水面高
2
m，
因此点
A（2，－2）在抛物线上．
由此得出
-2
=
a·22，
解得
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是
4.9
m，水面宽是
4
m
时，拱顶离水面
2
m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
因此，这个函数的表达式是
由于拱桥的跨度为
4.9
m，因此自变量
x的取值范围是：
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是
4.9
m，水面宽是
4
m
时，拱顶离水面
2
m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
想一想，
当水面宽4.6
m
时，
拱顶离水面几米？
B（2.3，-2.645）
拱顶离水面
2.645
m
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.
(2)把已知条件转化为点的坐标.
(3)合理设出函数解析式.
(4)利用待定系数法求出函数解析式.
(5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.
如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图，
已知悬索桥两端主塔高150
m，
主塔之间的距离为900
m，
试建立适当的直角坐标系，
求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.
设二次函数表达式为
y
=
ax2
A（450,150）
解得
所以
【教材P31页】
在一定条件下,
若物体运动的路程
s(m)
关于时间
t(s)
的函数表达式为
s＝
5t2＋2t
,
则当物体经过的路程
是
88
m
时,该物体所用的时间为（
）
A．2
s
B．4
s
C．6
s
D．8
s
B
2.
某座桥的桥拱是近似的抛物线形,
建立如图所示的
平面直角坐标系,其函数的表达式为
,
当
水位线在
AB
位置时,水面宽
AB
＝
30
m,
这时水面
离桥顶的高度是（
）
A．5
m
B．6
m
C．8
m
D．9
m
D
3.小明练习推铅球时,发现铅球的高度
y
(m)
与水平距离
x
(m)
之间的关系为
,由此可知铅球推出
的距离是________m．
10
4.
如图，
一段拱形栅栏为抛物线的一部分，已知拱高
OA
为
1
m，
栅栏的跨径
BC
间有
5
根间距为
0.5
m
的立柱.
试建立适当的直角坐标系，
求出该拱形栅栏所对应的二次函数表达式，
并求出立柱
DE
的高度.
设二次函数表达式为
y
=
ax2
,
C（1.5,1）
解得
所以
【教材P32页】
建立二次实际问题的一般步骤:
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.
(2)把已知条件转化为点的坐标.
(3)合理设出函数解析式.
(4)利用待定系数法求出函数解析式.
(5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.(共16张PPT)
二次函数的应用（2）
湘教·九年级下册
总利润＝总售价－________或总利润＝每件商品利润×___________．
总成本
销售总量
一般地,
因为抛物线
y＝ax2＋bx＋c
的顶点是最低（高）点,
所以当
x
=
________时,二次函数
y
＝ax2＋bx＋c
有最小（大）值____________.
用
8
m
长的铝材做一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积
S（m2）最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计）
由于做窗框的铝材长度已确定，
而窗框的面积
S
随矩形一边长的变化而变化.
因此设窗框的宽为
x
m，
则窗框的高为
m，
其中
用
8
m
长的铝材做一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积
S（m2）最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计）
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用
8
m
长的铝材做一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积
S（m2）最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计）
窗框的透光面积为
将上式进行配方，
当
x
=
时，
S
取最大值
.
用
8
m
长的铝材做一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积
S（m2）最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计）
这时高为
则当窗框的宽为
m，高为2m时，窗框的透光面积最大，最大透光面积为
m2.
某网络玩具店引进一批进价为
20
元/件的玩具，如果以单价
30
元销售，那么一个月内可售出
180
件.
根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨
1
元，月销售量将相应减少10
件.
当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
【教材P31页】
进价/元
售价/元
数量/件
利润
现价
20
30
180
涨价
20
30
+
x
180-10x
某网络玩具店引进一批进价为
20
元/件的玩具，如果以单价
30
元销售，那么一个月内可售出
180
件.
根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨
1
元，月销售量将相应减少10
件.
当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
【教材P31页】
解
设每件商品的销售单价上涨
x
元，
一个月内获取的商品总利润为
y
元.
每月减少的销售量为
10
x（件），
实际销售量为
180
-
10
x（件），
单件利润为（30
+
x
-
20
）元，
则
y
=
(10
+
x
)(180
-
10x
)
，
即
y
=
-
10x2
+
80x
+
1
800
（
0
≤
x
≤
18
）
.
将上式进行配方，y
＝
-
10
(
x
-
4
)2
+
1
960.
当
x
=
4
时，即销售单价为
34
元时，
y
取最大值
1
960.
小妍想将一根
72
cm
长的彩带剪成两段，
分别围成两个正方形，
则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？
此时的面积和为多少？
解
设一段彩带长为
x
cm，则另一段彩带长为
72-x
cm
当
x
=
36
时，面积和有最小值为
162.
【教材P31页】
答：当剪的彩带长度都为36cm时两个正方形面积和最小，最小为162cm2.
1.
为搞好环保,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,
若池底长方形的周长为100
m,则池底的最大面积是（
）
A.
600m2
B.
625m2
C.
650m2
D.
675m2
B
2.
便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润
y(元)
与销售单价
x
(元)之间的关系满足
y
＝－2(x－20)2＋1558,
由于某种原因,价格需满足15
≤
x
≤
22,那么一周可获得最大利润是（
）
A.
20元
B.
1508元
C.
1550元
D.
1558元
D
3.
果农计划对果园加大种植密度,
据测算,
果园的总产量
y（个）与增种果树的棵数
x（棵）之间的函数表达式为
y
＝
－5x2
＋100x
＋60
000
,
要使总产量在60
320
个以上,
需要增种果树的棵数范围是（
）
A.
4≤
x
≤
16
B.
x
≥
6
或
x
≤
16
C.
4＜x＜16
D.
x＞6
或
x＜16
C
4.某工艺厂设计了一款成本为10元/
件的产品，
并投放市场进行试销.
经过调查，发现每天的销售量
y（件）与销售单价
x（元）存在一次函数
关系
y
=
-
10x
+
700
.
（1）
销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大？最大利润为多少？
（2）
若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过35元，那么销售单价如何定位才能获取最大利润？
【教材P32页】
解
（1）每天获取的利润为
(-10x
+
700)(x
-
10)
=
-10(x
-
40)2
+
9000
,
x＞0
当
x＝40
时，最大利润为
9000
元
（2）y
=
-10(x
-
40)2
+
9000
,
当
0
<
x
<
40
时，利润随
x
的增大而增大，
因此，当
x＝35
时，最大利润为
8750
元
一般步骤：
1.根据实际问题建立二次函数的关系式；
2.确定自变量取值范围；
3.求出实际问题的最值.
本节课主要是用二次函数理论知识解决最大面积问题和最大利润问题.(共9张PPT)
湘教·九年级下册
1.
如图，
一段拱形栅栏为抛物线的一部分，已知拱高
OA
为
1
m，
栅栏的跨径
BC
间有
5
根间距为
0.5
m
的立柱.
试建立适当的直角坐标系，
求出该拱形栅栏所对应的二次函数表达式，
并求出立柱
DE
的高度.
解：设二次函数表达式为
y
=
ax2
,
C（1.5,1）
解得
所以
【选自教材P32】
【选自教材P32】
解
（1）y
=
-x2+18x
(0（2）y
=
-x2+18x
=
-(x-9)2
+
81,
当
x
=
9
时，y
=
81，即最大面积为
81
m2.
【选自教材P32】
解
（1）每天获取的利润为
(-10x
+
700)(x
-
10)
=
-10(x
-
40)2
+
9000
,
x＞0
当
x＝40
时，最大利润为
9000
元
【选自教材P32】
（2）y
=
-10(x
-
40)2
+
9000
,
当
0
<
x
<
40
时，利润随
x
的增大而增大，
因此，当
x＝35
时，最大利润为
8750
元
【选自教材P32】
解
（1）易证△EAH
≌
△FBE
≌
△GCF
≌
△HDG
.
AE
=
x,
AH
=
2-x，EH=
=
2x2
-
4x
+
4
（0【选自教材P32】
（2）y
=
2x2
-
4x
+
4
=
2(x-1)2+2
当
x
=
1
时，有最小面积，
ymin
=
2
【选自教材P32】
我们以起跳后达到的最高处为原点，抛物线的对称轴为
y
轴，建立直角坐标系，对应的抛物线的表达式为
y
=
-x2，
-1
≤
x
≤
.
1.
说一说本节课的收获。
2.
你还存在哪些疑惑？
