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二次函数
湘教·九年级下册
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在跳水比赛中，运动员在空中划过一道优美的曲线，像这样的曲线与我们将要学习的二次函数的图象很相似.
x
m
x
m
（
100-2x
）m
矩形植物园的面积
S
=
x
(
100
-
2x
)，
0
<
x
<
50，
即
S
=
-2x2
+
100x，
0
<
x
<
50.
对于
x
的每一个取值，S
都有唯一确定的值与它对应，即
S
是
x
的函数.
y
=
6
000
(1-x
)2，0
<
x
<
1，
y
=
6
000x2
-
12
000x
+
6
000，0
<
x
<
1.
y
是
x
的函数吗？
S
=
-2x2
+
100x，0
<
x
<
50.
y
=
6
000x2
-
12
000x
+
6
000，0
<
x
<
1.
它们有什么共同点？
它们与一次函数的表达式有什么不同？
二次项
一般地，形如
y
=
ax
+
bx
+
c
(
a,
b,
c
是常数，a
≠
0
)的函数叫做二次函数.
S
=
-2x2
+
100x，0
<
x
<
50.
y
=
6
000x2
-
12
000x
+
6
000，0
<
x
<
1.
分别指出上面二次函数解析式的自变量、各项及各项系数.
注意：①二次函数中二次项系数不能为
0.
②在指出二次函数中各项系数时，要连同符号一起指出.
指出下列函数中哪些是二次函数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
判定一个函数是否为二次函数的思路:
1.将函数化为一般形式.
2.自变量的最高次数是
2
次.
3.若二次项系数中有字母,
二次项系数不能为
0.
如图，一块矩形木板，长为
120
cm、
宽为
80
cm，在木板
4
个角上各截去边长为
x（cm）的正方形，求余下面积
S（cm2）与
x
之间的函数表达式.
分析
本问题中的数量关系是：
木板余下面积
=
矩形面积
-
截去面积.
解
木板余下面积
S
与截去正方形边长
x
有如下函数关系：
S
=
120×80
-
4×x2
=
-
4x2
+
9
600
，
0
＜
x
≤
40
.
【教材P3】
写出下列函数的表达式，
并指出哪些是二次函数，
哪些是一次函数，哪些是反比例函数．
（1）正方形的面积
S
关于它的边长
x
的函数；
（2）圆的周长
C
关于它的半径
r
的函数；
（3）圆的面积
S
关于它的半径
r
的函数；
（4）当菱形的面积
S
一定时，
它的一条对角线的长度
y
关于另一条对角线的长度
x
的函数．
S
=
x2
,二次函数
C
=
2πr
,一次函数
S
=
πr2
,二次函数
,
反比例函数
【教材P3】
1.
药店决定对某药物价格分两次降价,若设平均每次降价
的百分率为
x,
该药品的原价为
36
元,
降价后的价格
为
y
元,
则
y
与
x
之间的函数表达式为（
）
A．y＝72(1－x)
B．y＝
36(1－2x)
C．y＝36(1－x2)
D．y＝
36(1－x)2
D
2.
如图,
在一幅长
50
cm,宽
30
cm
的矩形风景画的四周
镶一条金色纸边,
制成一幅矩形挂画,
设整个挂画的
总面积为
y
cm2,金色纸边的宽为
x
cm,
则
y
与
x
之间
的函数表达式是_______________________．
y
＝
4x2＋160x
＋
1
500
3.
如图，一块矩形田地长
100
m，
宽
80
m，现计划在田地中修
2
条
互相垂直且宽度为
x（m）的小路，
剩余面积种植庄稼，
设剩余面积为
y（m2），求
y
关于
x
的函数表达
式，并写出自变量的取值范围.
y
＝
x2
-
180x
＋
8
000，0
<
x
<
80
【教材P4】
解：
根据二次函数的定义可得
解得
m
=
3
或
m
=
-1.
当
m
=
3
时，y
=
6x2+9；当
m
=
-1时，y
=
2x2-4x+1.
综上所述，该二次函数的解析式为：
y
=
6x2+9
或
y
=
2x2-4x
+1.
5.
如图为一隧道的截面示意图，
它的上部是一个半圆，
下部是一个矩形，
且矩形的竖直的边长为
2.5
m.
设
隧道截面积为
S（m2），
截面半圆的半径为
r（m），
试写出
S
关于
r
的函数表达式．
【教材P4】
一般地，形如
y
=
ax
+
bx
+
c
(
a,
b,
c
是常数，a
≠
0
)的函数叫做二次函数.
判定一个函数是否为二次函数的思路:
1.
将函数化为一般形式
y
=
ax2
+
bx
+
c.
2.
自变量的最高次数是
2
次.
3.
若二次项系数中有字母,
二次项系数不能为
0.(共6张PPT)
湘教·九年级下册
一次函数
二次函数
二次函数
二次函数
反比例函数
二次函数
【选自教材P4】
2.
一长方体水池深
2
m，
底面矩形的周长为
8
m，
设底面一边长为
x（m），水池的容积为
y（m3），
求
y
关于
x
的函数表达式.
解
底面一边长为
x，另一边为
4-x.
底面的面积为
x(4-x)
水池容积
y
=
x(4
-
x)×2
=
-2x2
+
8x
【选自教材P4】
3.
如图，一块矩形田地长
100
m，
宽
80
m，现计划在田地中修
2
条
互相垂直且宽度为
x（m）的小路，
剩余面积种植庄稼，
设剩余面积为
y（m2），求
y
关于
x
的函数表达
式，并写出自变量的取值范围.
y
＝
x2
-
180x
＋
8
000，0
<
x
<
80
【选自教材P4】
4.
如图为一隧道的截面示意图，
它的上部是一个半圆，
下部是一个矩形，
且矩形的竖直的边长为
2.5
m.
设
隧道截面积为
S（m2），
截面半圆的半径为
r（m），
试写出
S
关于
r
的函数表达式．
【选自教材P4】
1.
说一说本节课的收获。
2.
你还存在哪些疑惑？
●
○●
●●●
●●●
●●
○●●●●●●
习颗1.1
A组
1.下列函数中,哪些是二次函数,哪些是一次函数,哪些是反比例
函数
(1)y=3x+1
(2)y=3x2+2x+1
(3)y=3x2+1
(4)y=-3x2+x;
(5)y=3x
5
组
课堂小结
