2.1.1 认识一元二次方程（1） 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
2.1.1
认识一元二次方程（1）
第二章
一元二次方程
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.
2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
　
导入新课
没有未知数
回顾：下列式子是方程吗？
(1)
3+6=9
(2)
5x+3
(3)
3x-5＜18
代数式
不等式
什么叫方程？
含有未知数的等式叫做方程.
(4)
x+5
=3
方程
　
导入新课
回顾：下列的式子是什么方程？
(1)
5x-6=12
(2)
2x+3y=9
一元一次方程
二元一次方程
分式方程
一元一次方程
二元一次方程
分式方程
学过的方程
整式方程
一元二次方程的概念
问题1：幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出未铺地毯的条形区域的宽度？
5m
8m
解：设条形区域宽为x
m，
中间的地毯可以表示为：
探究新知
问题2：观察下面等式：102
+
112
+
122
=
132
+
142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
x+1，
x+2，
x+3，
x+4
x2
+
(x
+
1)2
+
(x
+
2)2
=
(x
+
3)2
+
(x
+
4)2
探究新知
解：设梯子底端滑动
x
m
,那么滑动后梯子底端距墙(x+6)
m
,得
问题3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
6
72
+
(x
+
6)2
=
102
10m
8m
1m
xm
探究新知
化简成：
①
2x2
-
13x
+
11
=
0
；
②
x2
-
8x
-
20＝0；
③
x2
+
12
x
-
15
=
0.
上面的问题，我们得到三个方程
x2
+
(x
+
1)2
+
(x
+
2)2
=
(x
+
3)2
+
(x
+
4)2.
72
+
(x
+
6)2
=
102
(8-2x)
(5-2x
)
=18
观察它们有什么共同特点？
探究新知
①
2x2
-
13x
+
11
=
0
；
②
x2
-
8x
-
20＝0；
③
x2
+
12
x
-
15
=
0.
1.只含有一个未知数；
2.未知数的最高次数是2；
3.整式方程．
观察它们有什么共同特点？
特点:
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,
a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
探究新知
ax2+bx
+c
=
0(a
，b
，c为常数,
a≠0)
ax2
称为二次项,
a
称为二次项系数.
bx
称为一次项,
b
称为一次项系数.
c
称为常数项.
一元二次方程的一般形式：
例：
2x2
-
13x
+
11
=0
二次项为
2x2；一次项为-
13x；常数项为11；
二次项系数为2；一次项系数为-13
★注意：系数和项均包含前面的符号.
探究新知
思考：一般式ax2+bx+c=0要求a≠0，b、c
可以为零吗？
当
a
=
0
时
bx＋c
=
0
当a
≠
0，b
=
0时
，
ax2＋c
=
0
当a
≠
0，c
=
0时
，
ax2＋bx
=
0
当a
≠
0，b
=c=0时
ax2
=
0
总结：一元二次方程要满足a
≠
0
，b，c
可为任意实数.
一元一次方程
一元二次方程
探究新知
判断下列方程中,哪些是一元二次方程
(1)
x2
+
–
3=0
(2)x3
–
x+4=0
(3)
x2
–
2xy
–
3=0
(4)
ay2
＋by
+c=0
(5)
2x2=0
(6)2x2＋3x
–
2=2x2-1
(
X
)
(
X
)
(
X
)
(
X
)
(
√
)
(
X
)
不是整式方程
未知数最高次为3次
两个未知数
化简为3x-1=0,是一元一次方程
不是一般式先进一步化简整理后再作判断.
要求a≠0
练一练
1.只含有一个未知数；
2.未知数的最高次数是2；
3.整式方程．
注意：(1)若二次项的系数是参数，要保证二次项的系数不为0；
(2)当给出的不是一般式，先进一步化简整理后再作判断
一元二次方程的条件：
归纳总结
典例精析
例1
下列选项中，关于x的一元二次方程的是（
）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成
x2-3x+2=0
少了限制条件
a≠0
提示
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2
(2)(a－1)x
∣
a
∣
+1
－2x－7=0
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0,所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a
∣+1
=2，且a－1
≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程.
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
典例精析
例3
将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
系数和项均包含前面的符号.
注意
典例精析
1.
在下列方程中，一元二次方程是（
）
x2-2xy+y2=0
x(x+3)=x2-1
x2-2x=3
x
+
=0
C
课堂练习
2.若方程(m-3)xn+2x-3=0是关于x的一元二次方程，则（
）
A.
m=3，n≠2
B.
m=3，n=2
C.
m≠3，n=2
D.
m≠3，n≠2
C
3.
方程x2-2x-4=0的二次项系数和一次项系数分别为（
）
1和2
B.
1和-2
C.
1和-4
D.
1和4
C
课堂练习
4.下列选项中，关于x的一元二次方程的是（
）
C
5.把方程－2x2＋x＋8=1化为二次项系数为正数的一般形式时，它的常数项是（
）
A．7
B.－7
C.－8
D.－9
B
课堂练习
6.方程2x2-6x-5=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别为
（
）
A.
6，2，5
B.
2，-6，5
C.
2，-6，-5
D.
-2，6，5
C
7.
若一元二次方程(2m+6)x2+m2-9=0的常数项是0，则m等于（
）
A.
-3
B.
3
C.
±3
D.
9
B
课堂练习
8.关于x的方程(k2
-
1)
x2
+2
(k
-
1)
x
+
2k
+
2
=
0,
当k
　　　
时,是一元二次方程.
当k
　　
　时,是一元一次方程．
≠±1
=-1
9.把方程2x(x-3)=(x+1)(x-2)+3化成ax2+bx+c=0的形式后,a，b，c的值分别是___________.
1，-5，-1
课堂练习
10.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方　程
一般形式
二次项
系数
一次项
系数
常数项
3x2=
5x
-
1
(x
+
2)
(x
-
1)=6
4
-
7x2=0
3x2
-
5x
+
1
=
0
x2
+
x
-
8
=
0
3
-5
1
1
1
-8
7x2
-
4
=
0
7
0
-4
课堂练习
11.根据题意,列方程，并化成一元二次方程的一般形式.
一个直角三角形的三条边长是三个相连的整数，求斜边的长.
解：直角边最短边长为x，则另一条直角边长为x+1，故斜边长为x+2.
由勾股定理可得
x2+(x+1)2=(x+2)2.
整理得x2-2x-3=0.
课堂练习
12.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段再砌三面墙，围成一个周长为50
m的矩形花园ABCD（围墙MN为25
m），现在已备足砌墙的材料，请问矩形的宽AB为多少米时，使得矩形花园的面积为300
m2.
解：设宽AB为x
m，则长BC为(50-2x)m，得
x(50-2x)=300.
化简，得x2-25x+150=0.
课堂练习
13.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x
整理，得
根据题意有，
课堂练习
课堂小结
一元二次方程
只含有一个未知数x的整式方程，并且
都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,
a≠0)的形式.
概念
ax2+bx+c=0(a
,
b
,
c为常数,
a≠0
ax2
称为二次项,a
称为二次项系数.
bx
称为一次项,b
称为一次项系数
c
称为常数项.
一般式
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