《2.5三角函数的应用》解答题专题训练 2021-2022学年鲁教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.5三角函数的应用》解答题专题训练（附答案）
1．由我国完全自主设计、自主建造的某大型拖船近日完成海上测试．如图，拖船由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与拖船相距80海里．继续航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向．求此时拖船与小岛的距离BC的长（结果保留根号）．
2．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30海里至B港，然后再沿北偏西45°方向航行至C港，C港在A港北偏东15°方向，求A，C两港之间的距离（结果保留根号）．
3．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
4．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
5．如图，一艘轮船原计划从A地沿正东方向直接航行到B地，AB两地间的距离为200km．后来了解到在两地之间的某一海域有暗礁，为了避开暗礁，轮船从A地出发后就沿北偏东60°角的方向航行，到达C地后再沿南偏东45°角的方向继续航行到B地．请问轮船这样航行的路程比原计划的路程远了多少？（结果精确到1km；参考数据：≈1.41，≈1.73）
6．A，B两市相距150km，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，tanα＝1.627，tanβ＝1.373．已知风景区是以C为圆心，45km为半径的圆形区域．为了开发旅游，有关部门设计、修建连接A，B两市的高速公路，问高速公路AB是否穿过风景区，请说明理由．
7．如图，小李家在学校O的北偏东60°方向，距离学校8km的A处，小华家在学校O的东南方向的B处，小华家在小李家的正南方向，求小华家到学校的距离OB．
8．如图，C地在A地的正东方向，由于大山的阻隔，从A地到C地需要绕行B地、已知B地位于C地的南偏西60方向，B地距离C地200千米，A地位于B地的北偏西45°方向．现准备打通A、C两地的穿山隧道，修建A、C两地的直达高速公路．求A地到C地之间高速公路AC的长（结果保留根号）．
9．如图，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向．办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离．（结果保留根号）
10．如图，我国某海城有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向．
（1）直接写出：∠ACB＝　
　，∠ABC＝　
　．
（2）求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）
11．如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达C点，发现灯塔B在它北偏东75°方向，求此时货轮与灯塔B的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）
12．如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
13．如图，我国一艘海监船巡航到海岛A北偏西60°方向的P处，发现在海岛A正西方向有一可疑船只B正沿BA方向行驶，此时海监船测得，可疑船只B在P处南偏西45°方向，距P处48海里，海监船立即从P处沿南偏东30°方向驶出．海监船在C处将可疑船只成功拦截．求拦截时可疑船只距海岛A还有多少海里？
14．知识改变世界，科技改变生活．导航设备的不断更新方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到蒲江茶叶基地C地进行研学活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正东方向，且距A地9.1千米，导航显示车辆应沿南偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏东53°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离（精确到个位）．
（参考数据sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.7）
15．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
16．如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）
17．如图，一艘小船以11nmile/h的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东37°方向，航行2h后到达B处，测得灯塔C在南偏东42°方向，求B处距离灯塔C的距离BC（结果保留1位小数）．参考数据：tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90．
18．时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
19．如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．
20．如图，港口B位于港口A的南偏东30°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮从港口A出发，沿正南方向航行35km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上．
（1）E到灯塔C的距离为多少？
（2）海轮还要行驶多远才能到达位于港口B正西方向的D处？（结果保留根号）
参考答案
1．解：过点B作BD⊥AC于点D，
由题意得：∠BAD＝90°﹣30°＝60°，∠BCD＝90°﹣45°＝45°，AB＝80海里，
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，
∵sin∠BAD＝＝，
∴BD＝AB＝40（海里），
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝40（海里），
∴BC＝BD＝40（海里），
答：此时拖船与小岛的距离BC的长为40海里．
2．解：根据题意得：∠CAB＝60°﹣15°＝45°，∠ACB＝45°+15°＝60°，AB＝30海里，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝BE＝AB＝15（海里），
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴∠CBE＝30°，
∴CE＝BE＝5（海里），
∴AC＝AE+CE＝（15+5）海里，
即A，C两港之间的距离为（15+5）海里．
3．解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，
∴CD＝AC＝300（m），
AD＝AC＝300（m），
∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，
∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，
∴CD＝BD＝300（m），
BC＝CD＝300（m），
答：景点B和C处之间的距离为300m；
（2）由题意得．
AC+BC＝（600+300）m，
AB＝AD+BD＝（300+300）m，
AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）
≈204.6
≈205（m），
答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．
4．解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，
设PC＝x，则BC＝x，
在Rt△PAC中，
∵tan30°＝＝＝，
∴x＝10+10，
∴PA＝2x＝20+20，
答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；
（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，
当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，
有sin∠PBE＝＝＝，
∴∠PBD＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
90°﹣15°＝75°
即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．
5．解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示：
则∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝45°，AD＝＝CD，BD＝＝CD，
∵AD+BD＝AB，
∴（+1）CD＝200km，
∴CD＝100（﹣1）km，
在Rt△ACD中，AC＝200（﹣1）km，
在Rt△BCD中，BC＝100（﹣1），
AC+BC＝200（﹣1）+100（﹣1）≈249（km），
249﹣200＝49（km），
答：飞机的飞行路程比原来的路程远了约49km．
6．解：AB不穿过风景区．理由如下：
如图，过C作CD⊥AB于点D，
根据题意得，∠ACD＝α，∠BCD＝β，
在Rt△ACD中，tanα＝，即AD＝CD tanα，
在Rt△BCD中，tanβ＝，即BD＝CD tanβ，
∵AD+DB＝AB，
∴CD tanα+CD tanβ＝AB，
∴CD＝＝＝＝50（km）．
∵CD＝50＞45，
∴高速公路AB不穿过风景区．
7．解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，则∠AOC＝90°﹣60°＝30°，
∠BOC＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△AOC中，
OC＝OA cos30°＝8×＝4（km），
在Rt△BOC中，
OB＝＝＝4（km），
答：小华家到学校的距离OB为4km．
8．解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
根据题意，得∠CBD＝60°，CB＝200，∠ABD＝45°，
在Rt△CBD中，BD＝CB cos60°＝200×＝100（千米），CD＝CB sin60°＝200×＝100（千米），
在Rt△ABD中，AD＝BD tan45°＝100（千米），
∴（千米），
答：A地到C地之间高速公路AC长千米．
9．解：由题意可知：∠ACP＝∠BCP＝90°，∠APC＝90°﹣60°＝30°，∠BPC＝45°．
在Rt△BPC中，∠BCP＝90°，∠B＝∠BPC＝45°，
∴BC＝PC＝60米，
在Rt△ACP中，∠ACP＝90°，∠APC＝30°，
∵tan30°＝，
∴AC＝PC tan30°＝tan30°×60＝60×＝20（米）．
∴AB＝AC+BC＝（60+20）米，
答：教学楼A与办公楼B之间的距离是（60+20）米．
10．解：（1）∠ACB＝90°﹣30°﹣（90°﹣75°）＝45°，∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
故答案为：45°，60°；
（2）过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝60°
∴∠DAB＝90°﹣60°＝30°，（海里），
∵∠CAB＝30°+45°＝75°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，
∵∠ACB＝45°
∴∠DAC＝∠ACB＝45°，
∴CD＝AD＝（海里），
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴（海里），
答：货船与港口A之间的距离是海里．
11．解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D，
∵货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，向北航行30分钟后到达C点
∴AC＝40×＝20海里，
∵∠A＝45°，∠1＝75°，
∴∠ACD＝45°，∠DCB＝60°，
则∠B＝30°，
则DC＝ACsin45°＝20×＝10海里，
故BC＝2CD＝20≈28.3海里．
答：此时货轮与灯塔B的距离约为28.3海里．
12．解：在Rt△CAD中，，
则，
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD，
∵AD＝AB+BD，
∴，
解得，CD＝45（m）．
答：这座灯塔的高度CD约为45m．
13．解：如图所示，过点P作PD⊥AB于点D，
由题意可知：
∠BPD＝45°，∠CPD＝30°，∠PAC＝30°，PB＝48（海里），
在Rt△BPD中，∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD＝PBsin∠BPD＝48×＝48（海里），
在Rt△CPD中，∠CPD＝30°，
∵cos∠CPD＝，
∴PC＝＝＝32（海里），
∵∠PCD＝60°，∠PAC＝30°，
∴∠PAC＝∠APC＝30°，
∴AC＝PC＝32（海里），
答：被拦截时，可疑船只距海岛A还有32海里．
14．解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
由题意可知：∠DBA＝60°，
在Rt△ABD中，
∵tan∠DBA＝，
∴AD＝BD，
在Rt△CBD中，∠DBC＝53°，
∵tan∠DBC＝，
∴CD＝BD，
∵AD+CD＝AC＝9.1（千米），
∴BD+BD＝9.1，
解得BD＝3（千米），
在Rt△CBD中，∠DBC＝53°，
∵cos53°＝，
∴BC＝＝＝5（千米）．
答：B、C两地的距离为5千米．
15．解：作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝x，则CD＝x，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x，tan30°＝，
∴，
∴AD＝x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB＝，
∴BC＝x，
∵CD+AD＝30+30，
∴x+，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60，BC＝，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
16．解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB sin∠ABD＝80×sin60°＝80×＝40（海里），
∵∠CAB＝30°+45°＝75°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AC＝AD＝×40＝40（海里）．
答：货船与港口A之间的距离是40海里．
17．解：过C作CH⊥AB于H，
根据题意，∠HBC＝42°，∠HAC＝37°，AB＝22（nmile），
∵在Rt△CBH中，tan∠HBC＝，
∴BH＝．
∵在Rt△ACH中，tan∠HAC＝，
∴AH＝，
∵AB＝AH+BH，
∴＝AB．
∴CH＝≈＝9.00（nmile）．
∵在Rt△CBH中，sin∠HBC＝，
∴BC＝≈13.4（nmile）．
答：B处距离灯塔C的距离BC约为13.4nmile．
18．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图所示：
由题意得：∠CDF＝37°，CD＝200米，
在Rt△CDF中，sin∠CDF＝＝sin37°≈0.60，cos∠CDF＝＝cos37°≈0.80，
∴CF≈200×0.60＝120（米），DF≈200×0.80＝160（米），
∵AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠B＝∠DFB＝∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形，
∴BF＝DE，BE＝DF＝160米，
∴AE＝AB﹣BE＝300﹣160＝140（米），
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝tan65°≈2.14，
∴DE≈AE×2.14＝140×2.14＝299.60（米），
∴BF＝DE≈299.60（米），
∴BC＝BF+CF＝299.60+120≈420（米），
答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米．
19．解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，
在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，
∴BH＝AH tan60°＝AH，AB＝＝2AH，
在Rt△BCH中，
∵tan∠BCH＝，
∴CH＝＝（海里），
又∵CA＝CH+AH，
∴257＝+AH，
所以AH＝（海里），
∴AB＝≈＝168（海里），
答：AB的长约为168海里．
20．解：（1）如图，过点C作CH⊥AD，垂足为H．
由题意可知∠A＝30°，∠AEC＝45°，AE＝35且AC＝BC，
在Rt△CEH中，
∵∠CEH＝45°，
∴CH＝EH，
在Rt△ACH中，
∵∠A＝30°，
∴AH＝CH，
设AH＝xkm，则EH＝xkm，AH＝xkm，
∵AE＝35＝AH+HE，
∴x+x＝35，
解得x＝，
即CH＝EH＝，
∴EC＝CH＝×＝（km），
（2）在Rt△ACH中，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2HC＝（35﹣35）km，
在Rt△ABD中，
∵∠A＝30°，
∴BD＝AB＝AC＝BC＝（35﹣35）km，
AD＝BD＝（35﹣35）＝（105﹣35）km，
∴ED＝AD﹣AE＝（105﹣35）﹣35＝（70﹣35）km，
答：海轮还要行驶（70﹣35）km才能到达位于港口B正西方向的D处．