13.3 等腰三角形 同步提升 2021-2022学年人教版八年级数学上册（Word版含答案）

人教版
八年级数学
上册
13.3
等腰三角形
同步提升
一、选择题
1.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是(　　)
A．2
B．5.2
C．7.8
D．8
2.
具备下列条件的三角形为等腰三角形的是(　　)
A．有两个角分别为20°，120°
B．有两个角分别为40°，80°
C．有两个角分别为30°，60°
D．有两个角分别为50°，80°
3.
如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(　　)
A．4
B．12
C．18
D．30
4.
如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE，连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为(　　)
A．40°
B．45°
C．55°
D．70°
5.
如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.
已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么符合题意的点C的个数是
(　　)
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
6.
如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
7.
如图所示，在三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处，那么下列等式成立的是
(　　)
A.
AC=AD+BD　　
B.
AC=AB+CD
C.
AC=AD+CD　　　
D.
AC=AB+BD
8.
“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是(　　)
A．60°
B．65°
C．75°
D．80°
二、填空题
9.
如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)
①∠BAD＝∠ACD
②∠BAD＝∠CAD
③
AB＋BD＝AC＋CD
④
AB－BD＝AC－CD
　　　
10.
如图，在△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长为________．
11.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.
12.
如图，在等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，已知AB＝8，则BF的长为________．
13.
如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5
cm，△ABD的周长为18
cm，则△ABC的周长为　　　　　.

14.
如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．
15.
如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠A＝105°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC为等腰三角形时，顶角的度数是__________．
　
三、解答题
16.
已知：如图，B，E，F，C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C.求证：OA＝OD.
17.
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.
18.
如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.
(1)求证：CD＝BE；
(2)若AB＝12，求BF的长．
19.
如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点O，BC与AE相交于点P.求证：∠AOB＝60°.
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13.3
等腰三角形
同步提升-答案
一、选择题
1.
【答案】B　[解析]
根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.
2.
【答案】D
3.
【答案】B　[解析]
∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.
4.
【答案】C　[解析]
∵AC＝CB，∠C＝40°，
∴∠BAC＝∠B＝(180°－40°)＝70°.
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝(180°－70°)＝55°.
∵GH∥DE，∴∠GAD＝∠ADE＝55°.
5.
【答案】
C
6.
【答案】D　[解析]
∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，
∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.
∴CA＝CB.
∴△ABC是等腰三角形．
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠DAB＝∠CAD＝36°.
∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，
∴△ACD是等腰三角形．
∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.
∴△ADB是等腰三角形．
7.
【答案】
D　
8.
【答案】D　[解析]
∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.
∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.
∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°.
∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.
二、填空题
9.
【答案】②③④　【解析】
序号
正误
逐项分析
①
×
△BAD与△ACD中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的角和边，所以不能判定两三角形全等
，因而也就不能得出AB＝AC
②
√
∠BAD＝∠CAD结合AD是△ABC的边BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形
③
√
由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD
，得AB－BD＝AC－CD
，两式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形
④
√
由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD
，得AB＋BD＝AC＋CD
，两式相加得2AB＝2AC，所以AB＝AC，得△ABC是等腰三角形
10.
【答案】4　[解析]
∵∠B＝∠C＝60°，∴∠BAC＝60°.∴△ABC为等边三角形．∵AB＝8，∴BC＝AB＝8.∵AD为角平分线，∴BD＝CD.∴CD＝4.
11.
【答案】46　[解析]
∵BC＝BD，∠CBD＝46°，
∴∠C＝∠BDC＝(180°－46°)＝67°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.
12.
【答案】5　[解析]
∵在等边三角形ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，BC＝AC＝AB＝8，∠A＝∠C＝60°.∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，∴∠AED＝∠CFE＝90°.
∴AE＝AD＝2.
∴CE＝8－2＝6.∴CF＝CE＝3.∴BF＝5.
13.
【答案】
28
cm　
14.
【答案】30　[解析]
∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC.
∵∠OBM＝∠OBC，
∴∠MOB＝∠OBM.
∴MO＝MB.同理NO＝NC.
∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.
15.
【答案】105°或55°或70°　[解析]
(1)如图①，点P在AB上时，AP＝AC，顶角∠A＝105°.
(2)∵∠B＝20°，∠BAC＝105°，
∴∠ACB＝180°－20°－105°＝55°.
点P在BC上时，如图②，若AC＝PC，则顶角∠C＝55°.
如图③，若AC＝AP，则顶角∠CAP＝180°－2∠C＝180°－2×55°＝70°.
综上所述，顶角为105°或55°或70°.
三、解答题
16.
【答案】
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE.
∴AF＝DE，∠AFB＝∠DEC.
∴OF＝OE.
∴AF－OF＝DE－OE，即OA＝OD.
17.
【答案】
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC.
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝2DC.
18.
【答案】
解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.
∵DM∥AB，
∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.
∴△CDM是等边三角形．
∴CM＝CD＝DM.
在△DMF和△EBF中，
∴△DMF≌△EBF(ASA)．∴DM＝BE.
∴CD＝BE.
(2)∵ED⊥AC，∠CAB＝∠CBA＝60°，
∴∠E＝∠FDM＝30°.
∴∠BFE＝∠DFM＝30°.
∴BE＝BF，DM＝MF.
∵△DMF≌△EBF，∴MF＝BF.
∴CM＝MF＝BF.
又∵BC＝AB＝12，∴BF＝BC＝4.
19.
【答案】
证明：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD.
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD.∴∠CAE＝∠CBD.
又∠APC＝∠BPO，∴∠AOB＝∠ACB＝60°.