2021-2022学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元能力达标测评（Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2
B．∠C＝∠A+∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．a：b：c＝5：12：13
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，若两阴影部分都是正方形，C、D、E在一条直线上，且它们的面积之比为1：3，则较大的正方形的面积（　　）
A．36
B．27
C．18
D．9
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝8cm，AC＝6cm，则BD的长为（　　）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
4．一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（　　）
A．
B．13
C．
D．25
5．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣9＝（20﹣x）2
B．x2﹣92＝（20﹣x）2
C．x2+9＝（20﹣x）2
D．x2+92＝（20﹣x）2
6．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．12cm2
B．18cm2
C．22cm2
D．36cm2
7．同学们都学习过“赵爽弦图”，如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边的乘积为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图，一块三角形木板，测得AB＝13，BC＝5，AC＝12，则三角形木板ABC的面积为（　　）
A．60
B．30
C．65
D．不能确定
9．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（　　）
A．12
B．15
C．20
D．25
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝AB，AE⊥BD，垂足为点F，交BC于点E，则BE的长为（　　）
A．2
B．
C．
D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．等腰三角形的腰长为，底长为2，则其腰上的高为
　
　．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＝10，S3＝12，则S1＝　
　．
13．如图，A，B，C，O四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠AOB﹣∠BOC＝　
　°．
14．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝　
　．
15．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝　
　时，∠C＝90°．
16．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离C处5米的绿地旁边B处有健身器材，为提醒居住在A处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从A→C→B．小丽想在A处树立一个标牌“沿路多走■米，共建美丽家园”请问：小丽在标牌■填上的数字是
　
　．
17．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深
　
　尺．
18．已知一个三角形工件尺寸（单位：dm）如图所示，则高h是
　
　dm，它的面积是
　
　dm2．
19．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是
　
　．
20．如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1+S2＝51，则图中阴影部分面积为　
　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，A，B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站多少千米处？
（2）DE和EC垂直吗？说明理由．
22．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新建一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
23．如图，将长为2.5米的梯子AB斜靠在墙AO上，BO长0.7米．如果将梯子的顶端A沿墙下滑0.4米，即AM等于0.4米，则梯脚B外移（即BN长）多少米？
24．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
25．八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：
（1）测得BD的长度为25米；
（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米；
（3）牵线放风筝的小明身高1.68米．
求风筝的高度CE．
26．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，点D是BC边上一点，BD＝5，AD＝12．
（1）求证：△ADB是直角三角形；
（2）求BC的长度．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：A、b2＝a2﹣c2，即a2＝b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、∠C＝∠A+∠B，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、132＝52+122，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意．
故选：C．
2．解：设两个正方形的面积分别为a和3a，
∵∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，
∴BC2＝AC2﹣AB2＝102﹣82＝36，
∵BD2+CD2＝BC2，
∴a+3a＝36，
∴a＝9，
∴3a＝27，
∴较大的正方形的面积为27，
故选：B．
3．解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴AB＝10（cm），
∵，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DE＝CD，
∴，
∴CD＝3（cm），
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5（cm），
故选：C．
4．解：设h为斜边上的高，
∵直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，
∴斜边为＝10，
∵三角形的面积＝×6×8＝×10h，
∴h＝．
故选：C．
5．解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝（20﹣x）尺，BC＝9尺，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+92＝（20﹣x）2．
故选：D．
6．解：如图，连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝3cm，AD＝4cm，
∴BD＝5（cm），
∵BC＝13cm，CD＝12cm，52+122＝132，
∴BD2+CD2＝CB2，
∴∠BDC＝90°，
∴S△DBC＝×DB×CD＝×5×12＝30（cm2），
S△ABD＝×3×4＝6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6＝36（cm2），
故选：D．
7．解：如图，设两直角边为a，b，
∵大正方形的面积为5，
∴a2+b2＝5，
由题意4×ab+1＝5，
∴2ab＝4，
∴ab＝2，
故选：B．
8．解：∵AB2＝132＝169，
BC2+AC2＝52+122＝169，
∴AB2＝BC2+AC2，
即△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝BC×AC
＝×5×12
＝30，
故选：B．
9．解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
∵S1+S2+S3＝45，
∴4m+S2+S2+S2﹣4m＝45，
即3S2＝45，
解得S2＝15．
故选：B．
10．解：连接DE，
∵AD＝AB，AE⊥BD，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴DE＝BE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ABE＝90°，
在△ABC中，∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AC＝5，
∴CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，
设BE＝x，则CE＝4﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴BE＝．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：如图，△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，
过点A作AD⊥BC，交BC于点D，
则BD＝BC＝1cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD，
设一腰上的高为h，
∵△ABC的面积＝BC AD＝AB h，
即2×＝ h，
解得h＝．
故答案为．
12．解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴BC2＝AC2﹣AB2，
∵BC2＝S1、AB2＝S2＝10，AC2＝S3＝12，
∴S1＝S3﹣S2＝12﹣10＝2．
故答案为：2．
13．解：如图，找到C点关于OB的对应点，连结OD，AD，
则∠DOB＝∠COB，
则∠AOB﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠BOD＝∠AOD，
∵AO2+AD2＝OD2，
∴△DAO是等腰直角三角形，
∴∠AOD＝45°，即∠AOB﹣∠BOC＝45°．
故答案为：45．
14．解：如图1所示，当点D在线段BC上时，
∵AD＝12，BD＝9，AB＝15，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝16，
∴BC＝BD+CD＝9+16＝25；
如图2所示，当点D在CB的延长线上时，
同理可得，DC＝16，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣9＝7；
由于AC＞AB，所以点D不在BC的延长线上．
综上所述，BC的长度为25或7．
故答案为：25或7．
15．解：∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，
∴（k﹣1）2+32＝k2，
解得：k＝5，
故答案为：5．
16．解：在Rt△ABC中，AB为斜边，
∴AB＝13米，
少走的距离为
AC+BC﹣AB＝（12+5）﹣13（米）＝4米
答：小明在标牌■填上的数字是4．
故答案为：4．
17．解：依题意画出图形，
设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
∵B′E＝10尺，
∴B′C＝5尺，
在Rt△AB′C中，52＝（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即水深12尺，
故答案为：12．
18．解：
过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝h，
∵AB＝AC＝5dm，BC＝6dm，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BD＝BC＝3dm．
在Rt△ABD中，
AD＝dm，即h＝4（dm）．
∴面积＝（dm2），
故答案为：4；12．
19．解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，
∴AB＝130（cm）．
答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
20．解：设AC＝m，CF＝n，
∵AB＝9，
∴m+n＝9，
又∵S1+S2＝51，
∴m2+n2＝51，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴92＝51+2mn，
∴mn＝15，
∴S阴影部分＝mn＝，
即：阴影部分的面积为．
故答案是：．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得82+x2＝62+（14﹣x）2，
解得：x＝6．
故E点应建在距A站6千米处；
（2）DE⊥CD，理由如下：
在Rt△DAE和Rt△CBE中，
，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴∠D＝∠BEC，
∵∠D+∠AED＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥CD．
22．解：（1）CH是从村庄C到河边的最近路．
理由如下：
∵CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，
∴CB2＝CH2+HB2，
∴△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，
∴CH⊥AB，
∴CH为C点到AB的最短路线；
（2）设AC＝xkm，则AB＝xkm，AH＝（x﹣0.9）km，
在Rt△ACH中，（x﹣0.9）2+1.22＝x2，
解得x＝1.25，
即AC＝1.25km，
∵AC﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（km），
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
23．解：由题意得：AB＝2.5米，BO＝0.7米，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AO＝2.4（米），
∴MO＝AO﹣AM＝2.4﹣0.4＝2（米），
在Rt△MNO中，由勾股定理得：
NO＝1.5（米），
∴NB＝ON﹣OB＝1.5﹣0.7＝0.8（米），
∴梯脚B外移（即BN长）0.8米．
24．解：公路AB不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
因为BC＝800米，AC＝600米，
所以，根据勾股定理有AB＝1000（米）．
因为S△ABC＝AB CD＝BC AC
所以CD＝＝＝480（米）．
由于400米＜480米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
25．解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝652﹣252＝3600，
所以，CD＝±60（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝60+1.68＝61.68（米），
答：风筝的高度CE为61.68米．
26．解：（1）在△ABD中，
∵AB＝13，BD＝5，AD＝12，
∴BD2+AD2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴BD2+AD2＝AB2
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
即△ADB是直角三角形；
（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得，CD=9
∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．