沪教版（上海）高中数学高一下册 5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 教案1

正弦定理、余弦定理和解斜三角形
【教学目标】
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明。
2．掌握三角形面积公式的证明。
3．会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
【教学重点】
正弦定理的发现和证明。
【教学过程】
一、引入
（设置情境。）
复习提问：
1．三角形有哪六个元素？
2．在直角三角形中，这六个元素有哪些关系？
3．在直角三角形中有哪些解三角形问题？
（1）已知两边，可以求第三边及两个角。
（2）已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。
4．双基回顾。
直角三角形边角关系和面积公式。
二、新课
（新课教学，注意情境设置。）
如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是20米，，，求A，B两点间的距离。（精确到0.1米。）
转化为数学问题：在中，已知，，米，求的长。（在三角形中，已知两角以及一边，如何求出另外一边？）
三、概念或定理或公式教学（推导）
在中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c。
问题1：
若=，则的正弦与的正弦有何关系？
在中，，锐角的正弦：，。
由上两式可求得：==，即==。
问题2：对于一般的三角形，问题1中所找到的关系是否成立？
方法一：在一般三角形中构造直角三角形，按问题1的方法发现正弦定理。
（1）如果为锐角三角形，过点
作，垂足在边上。
在中，，在，，所以=，即=。同理，在中，=从而，在锐角三角形中，总有==。
（2）如果为钝角三角形（不妨设），过点
作，垂足在边上。在中，，在，，所以=，即=。同理，在中，=从而，在锐角三角形中，总有==。
结论：在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高，三角形的面积：，能否得到新面积公式？
三角形面积公式。
方法二：（建立坐标系）以的顶点B为坐标原点，BC边所在直线为x轴，建立直角坐标系，设a，b，c分别为所对的边长，AD为边BC上的高，则点C，A的坐标分别为。
；
同理得：。
四、概念辨析或变式问题，目的是加强概念、公式的理解或应用
（1）三角形面积：等于任意两边与它们夹角正弦值的积的一半。
即：sinB=；
将等式同除以，得。
（2）正弦定理：在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等。
（3）在中，：：=，这是正弦定理的另一种表达形式。
五、典型例题（3个，基础的或中等难度）
例1．在中，已知，，米，求的长。（精确到1米）（若已知两角和一边，解唯一确定）。
解：；
由得：15；
的长为15米。
例2．在中，已知
，求B（精确到1°）和c（保留两个有效数字）。
（确定解题顺序，及解的个数。）
解：已知，所以也是锐角。
例3．在中，已知，求和（结果保留两位小数）。
解：由正弦定理得；
；
；
当时，，；
当时，，。
A
C
B
3
/
4