沪教版（上海）高中数学高一下册 5.3 同角三角比的关系和诱导公式 教案1

同角三角比的关系和诱导公式
【教学目标】
1．复习巩固三角比的定义；
2．由三角比的定义，找出同角三角比的基本关系式；
3．理解同角公式都是特定意义的恒等式；
4．会简单应用同角公式。
【教学重难点】
重点：同角公式的推导与应用；
难点：三角比符号的确定及公式的变形应用。
【教学过程】
一、情景引入
1．背景：如果，为第一象限的角，如何求角的其它三角比值；
2．思考。
问题1：已知角终边上一点，，则角的六个三角比分别是什么？
。
问题2：
当角分别在不同的象限时，的符号分别是怎样的？
3．讨论：由于的三角比都是由表示的，则角的六个三角比之间有什么关系？
二、学习新课
1．探求公式。
（板书课题：同角的三角比的基本关系。）
2．由三角比的定义，我们可以得到以下关系：。
理论证明：（采用定义）。
；
（1）倒数关系：；
（2）商数关系：；
（3）平方关系：。
说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如，等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
，，等。
④据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。
2．例题分析。
3．例题1：已知且为第四象限的角，求的其他三角比的值；
解：为第四象限的角，
；
提问：
（1）如果去掉为第四象限的角这个条件，应如何求的其他三角比的值？
（2）练习：已知，求的其他三角比的值？
4．例题2：已知，求和；
解：；
∵，∴；
∵，∴是第一或第三象限角。
当是第一象限角时，；
；
当是第三象限角时，；
。
提问：你能用学过锐角三角比来解答上述问题吗？
（1）利用直角三角形计算三角比的值；
（2）利用象限角确定三角比的符号。
说明：已知一个角的某一个三角比的值，便可运用基本关系式求出其它三角比的值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
5．例题3：已知，求；
解：；
∵，∴角的终边不在坐标轴上。
当是第一象限或第二象限角时。
，；
当是第三象限或第四象限角时：
，。
说明：
（1）如果已知角的一个三角比和它所在的象限，那么角的其他三角比就可以唯一确定。
如果仅知道的一个三角比，那么就应该根据角的终边的所有可能的情况分别求出其他三角比。
（2）例1是给出一个三角比的值，并给出了角所在的象限，这样的题目只有一组解；例2是给出一个三角比的值，未给出角所在的象限，要先确定角所在的象限，然后分情况求解，这样的题有两组解；例3是给出了一个三角比的值，但是字母，因此先要根据字母的取值确定所在的位置。
3．归纳总结：
总结解题的一般步骤：
①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；
②根据同角三角函数的关系式求值。
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