沪教版（上海）高中数学高一下册 4.6 对数函数的图像与性质 教案2

对数函数的图像与性质
【教学目标】
1．进一步熟悉对数函数的图像和性质；
2．会利用对数函数的性质解决数学问题；
3．培养学生数形结合的意识。
【教学重难点】
1．对数函数性质的应用，主要是对数函数单调性的应用。
2．与对数函数相关的函数值域问题。
【教学过程】
一、创设情境
（师）：前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数。
反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数。这个熟悉的函数就是指数函数。
（提问）：什么是指数函数？指数函数存在反函数吗？
（学生）：是指数函数，它是存在反函数的。
（师）：求反函数的步骤。
（由一个学生口答求反函数的过程。）
由得。又的值域为，
所求反函数为。
（师）：那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数。
二、新课
1．（板书）定义：函数的反函数叫做对数函数。
（师）：由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发。如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗？最初步的认识是什么？
（教师提示学生从反函数的三定与三反去认识，学生自主探究，合作交流。）
（学生）对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件。
（在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质。）
2．研究对数函数的图像与性质。
（提问）用什么方法来画函数图像？
（学生1）利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图。
（学生2）用列表描点法也是可以的。
请学生从中上述方法中选出一种，大家最终确定用图像变换法画图。
（师）由于指数函数的图像按和分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况和，并分别以和为例画图。
具体操作时，要求学生做到：
（1）指数函数和的图像要尽量准确（关键点的位置，图像的变化趋势等）。
（2）画出直线。
（3）的图像在翻折时先将特殊点对称点找到，变化趋势由靠近轴对称为逐渐靠近轴，而的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在左侧的先翻，然后再翻在
右侧的部分。
学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出：
和的图像。（此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内），如图：
教师画完图后再利用电脑将和的图像画在同一坐标系内，如图：
然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质（要求从几何与代数两个角度说明）。
3．性质。
（1）定义域：；
（2）值域：。
由以上两条可说明图像位于
轴的右侧。
（3）图像恒过（1，0）。
（4）奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于轴对称。
（5）单调性：与有关。当时，在上是增函数。即图像是上升的。
当时，在上是减函数，即图像是下降的。
之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正？学生看着图可以答出应有两种情况：
当时，有；当时，有。
学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第（6）条性质板书记下来。
最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图。且应将其性质与指数函数的性质对比记忆。（特别强调它们单调性的一致性。）
对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用。
三、简单应用
1．研究相关函数的性质。
例1．求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）。
先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制。
2．利用单调性比较大小。
例2．比较下列各组数的大小。
（1）与；（2）与；
（3）与；
（4）与。
让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小。最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程。
三、拓展练习
练习：若，求的取值范围。
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