22.3.1 几何图形问题-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（Word版 含答案）

22.3几何图形问题
知识点1
图形面积问题
例1．某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，另三边用周长为30m的篱笆围成，已知墙长为18m，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（m），种植园面积为y（m2）．
（1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为100m2，求的值；
（3）当为多少m时，这个种植园的面积最大，并求出最大值．
变式2．用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长xm，宽ym完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．
（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
3．如图，在边长为120cm的正方形铁皮ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点）．已知点M，N在CD边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设CM＝DN＝x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，求这个工艺盒的体积；
（2）当x取何值时，工艺盒的四个侧面面积和S最大，最大值为多少？
课堂练习
4．如图，正方形边长为4，、、、分别是、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
5．用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为，面积为，则y与x的函数图像大致是（
）
A．B．
C．D．
6．如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大．
7．如图，已知在边长为6的正方形中，为的中点，点在边上，且，连接，是上的一动点，过点作，，垂足分别为，，则矩形面积的最大值是______．
8．脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在2020年取得的最重要成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定修建一个矩形猪舍．如图所示，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．
（1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？
（2）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积最大，最大面积是多少？
9．如图，在一块长16米、宽10米的矩形场地上修建一横一竖两条甬道，场地其余部分种植草坪，已知横、竖甬道的宽度之比为2：1，设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（不必写出取值范围）
（2）若草坪的面积为120平方米，请求出竖甬道的宽度．
10．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设．
（1）若花园的面积为，求的值；
（2）若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
11．某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也是用篱笆隔开），如图，点可能在线段上，也可能在线段的延长线上．
（1）当点在线段上时，
①设的长为米，则______米（用含的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的宽；
（2）饲养场的宽为多少米时，饲养场的面积最大？最大面积为多少平方米？
12．小明的爸爸想在自家院子里用长为12米的篱笆围成一个矩形小花园，爸爸问小明，矩形的相邻两边长分别设计为多少米时小花园面积最大（不考虑接缝）？小明利用学习的《函数及其图象》知识探究如下，请将他的探究过程补充完整．
（1）（建立函数模型）由矩形的周长为12，设它的一边长为，面积为，则与之间的函数关系式为______，其中自变量的取值范围是______；
（2）（画出函数图象）
①与的几组对应值列表如下：
…
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
…
…
2.75
5
6.75
8
8.75
9
8.75
8
5
2.75
…
其中______；
②根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中已描出了以部分对应值为坐标的点，请你画出该函数的大致图象；
（3）（观察图象解决问题）
①写出该函数的一条性质：______；
②当______时，矩形小花园的面积最大．
13．南浔区某校增设拓展课程之“开心农场”，如图，准备利用现成的一堵“”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上（如图2），点在线段的延长线上．
（1）当点在线段上时，
①设的长为米，则______米（用含的代数式表示）；
②若要求所围成的小型农场的面积为9平方米，求的长；
（2）的长为多少米时，小型农场的面积最大？最大面积为多少平方米？
14．某公司承接项市政工程，制作一面景观墙，其形状是边长为9米的正方形，设计图案如下所示（四周阴影部分是四个全等的直角三角形，铺设绿植．中间是边长为整数的正方形，采用新能源涂料），两种材料单价如下表．设长为x米．
材料
绿植
新能源涂料
价格（元平方米）
100
200
（1）用含x的代数式表示使用新能源涂料的面积．
（2）该公司准备11040元用于采购上述两种材料，请你判断资金是否足够，并说明理由．
（3）为了推广环保施工，政府对新能源涂料提供每平方米m元的补贴，使得该公司投入11040元足以顺利完成材料采购，则m至少为_______元．（直接写出答案）
试卷第6页，总6页
参考答案
1．（1），；（2）10；（3）时，这个种植园的面积的最大值，最大面积为112.5m2
【分析】
（1）根据题意即可求得y与x的函数关系式为y=（30-2x）x；
（2）根据“种植园的面积为100m2”列出一元二次方程，解之可得；
（3）根据二次函数的最值问题，即可求得这个种植园的面积最大值．
【详解】
解：（1）根据题意得：，
∵，
∴
（2）由题意得：，
解得，，
∵，
∴时，这个种植园的面积为100．　　　　　　　
（3）∵，，函数有最大值，
∴当时，这个种植园的面积的最大值，最大面积为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用问题，解决本题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
2．（1）y＝﹣0.75x+1.35，1≤x≤1.3；（2）这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2，见解析．
【分析】
（1）根据长方形的面积公式即可得到y和x的函数关系式；根据题意可得关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围；
（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，由（1）中的函数关系可知S和x是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．
【详解】
解：（1）由题意，得3x+2（2y+0.1×3）＝6，
整理，得3x+4y＝5.4，
∴y＝﹣0.75x+1.35，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.75x+1.35，
由题意，得，
解得1≤x≤1.3，
即x的取值范围是1≤x≤1.3；
（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，
由题意，得S＝2xy＝2x（﹣0.75x+1.35）＝﹣1.5x2+2.7x，
配方，得S＝﹣1.5（x﹣0.9）2+1.215，
∵a＝﹣1.5＜0，对称轴为x＝0.9，
∴当x＞0.9时，y随x的增大而减小，
∵1≤x≤1.3，
∴当x＝1时，S有最大值，
S最大＝1.2，
答：这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2．
【点睛】
本题考查的是长方形的面积公式及二次函数的最值问题，求出S与x的关系式是解答本题的关键．
3．（1）这个工艺盒的体积是5400cm3；（2）当x＝30时，S最大，最大值为7200cm2．
【分析】
（1）先根据已知条件求得正方体的底面边长FG＝GN＝x，MN＝GM＝2x，再利用CD＝120cm，求出x，最后求正方体的体积即可；
（2）先利用已知表示出工艺盒的侧面面积，进而利用二次函数求最值即可．
【详解】
解：（1）根据题意，设CM＝DN＝x（cm），折成的工艺盒恰好是个正方体，
由勾股定理可得：MG＝GN＝x，MN＝2x
∵正方形纸片ABCD边长为120cm，即CM+MN+DN=120
∴x+2x+x＝120,解得：x＝30，
∴正方体的底面边长a＝30，
∴V＝a3＝＝5400（cm3）；
答：这个工艺盒的体积是5400cm3；
（2）设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，
则a＝x，h＝＝（60﹣x），
∴S＝4ah＝4x （60﹣x）＝﹣8x2+480x＝﹣8（x﹣30）2+7200，
∵0＜x＜60，
∴当x＝30时，S最大，最大值为7200cm2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，将实际问题转化成函数问题是解答本题的关键．
4．A
【分析】
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y=4×4-x（4-x）×4
=16-8x+2x2
=2（x-2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
5．B
【分析】
设矩形的长为am，宽为bm，根据矩形的性质可得a+b=10，根据勾股定理可得a、b、x的关系，从而得出y与x的函数关系式，然后问题可求解．
【详解】
解：设矩形的长为am，宽为bm，由题意得：，
∵菜园的对角线长为，
∴，
∴a2+（10-a）2=x2，
整理，得2a2-20a+100=x2，
易得≤x＜10，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴102=x2+2ab，
∴，
∴0≤y＜25，且x=时，y=25，
∴y与x函数图象是二次函数的图象，即开口向下的抛物线；
故选B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6．4
【分析】
设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PM⊥OQ,，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PM=，根据三角形面积公式可得面积关于OQ的二次函数，配方后即可求解．
【详解】
解：设OP=x，则OQ=8-x，
过点P作PM⊥OQ,交OQ于点M，如图，
∵
∴
∴
∵
∴函数图象开口向下，有最大值，为4，
故当OP=4时，花坛的面积最大．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，利用面积法求出二次函数关系式是解答此题的关键．
7．24
【分析】
以FE为x轴，以FC为y轴，先建立平面直角坐标系，求出A
B的解析式为，设P（a，），用含a的式子表示出PM，PN，根据矩形面积公式列式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：以FE为x轴，以FC为y轴，建立平面直角坐标系，
∵边长为6的正方形中，为的中点，，
∴A（-3，0），B（0，-2），C（0，-6），E（-6，0），
设A
B的解析式为，则
，解得，
∴（），
设P（a，）（），则PM=6+a，PN=，
∴，
∴当a=0时，矩形面积的最大值是24．
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用问题，用待定系数法求一次函数的解析式，矩形的面积，正方形的性质等知识点，能灵活运用知识点是解此题的关键．
8．（1）所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍的面积为；（2）所围矩形猪舍的长为，宽为时，面积最大，最大面积是．
【分析】
（1）设，则，根据题意列式即可；
（2）设，所围矩形猪圈的面积为，列出二次函数计算即可；
【详解】
解：（1）设，则．
根据题意可得：，
解得：，．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍的面积为．
（2）设，所围矩形猪圈的面积为．
，
．
当，时，．
答：所围矩形猪舍的长为，宽为时，面积最大，最大面积是．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
9．（1）y＝2x2﹣42x+160；（2）竖甬道的宽度为1米．
【分析】
（1）设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米，则横甬道的宽度为2x米，剩余部分可合成长（16﹣x）米，宽（10﹣2x）米的矩形，即可写出y与x之间的函数关系式；
（2）由（1）把
代入函数关系式，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】
解：（1）设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米，则横甬道的宽度为2x米，剩余部分可合成长（16﹣x）米，宽（10﹣2x）米的矩形，
依题意得：y＝（16﹣x）（10﹣2x）＝2x2﹣42x+160．
（2）依题意得：2x2﹣42x+160＝120，
整理得：x2﹣21x+20＝0，
解得：x1＝1，x2＝20．
当x＝1时，10﹣2x＝10﹣2×1＝8＞0，符合题意；
当x＝20时，10﹣2x＝10﹣2×20＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．
答：竖甬道的宽度为1米．
【点睛】
本题主要考查了列函数关系式和解一元二次方程，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
10．（1）11或17；（2）192平方米
【分析】
（1）根据题意得出长×宽=187，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．
【详解】
解：（1）∵AB=xm，则BC=（28-x）m，
∴x（28-x）=187，
解得：x1=11，x2=17，
答：x的值为11m或17m；
（2）∵AB=xm，
∴BC=28-x，
∴S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是16m和6m，
∵28-x≥16，x≥6
∴6≤x≤12，
∴当x=12时，S取到最大值为：S=-（12-14）2+196=192，
答：花园面积S的最大值为192平方米．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
11．（1）①；②饲养场的宽为11米；（2）饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．
【分析】
（1）①根据矩形的性质求出GH和DB的长度，进而求出AD的长度，再根据篱笆总长度为36米，做减法即可求出DE的长度．
②根据矩形的面积公式列出一元二次方程并求解即可．
（2）根据题意，对点F是在线段BC上还是在线段BC的延长线上进行分类讨论，然后根据矩形的面积公式列出饲养场BDEF的面积S与EF的长度x的关系式，再根据二次函数的性质求出当x为何值时，S取到最大值．
【详解】
解：（1）①∵饲养场BDEF是一个“日”形，
∴四边形BDEF是由矩形BDGH和矩形FEGH组成的矩形．
∴DE=BF，DB=GH=EF．
∵EF=x，
∴DB=GH=EF=x．
又∵AB=3，
∴．
∴．
∴．
故答案为：（）．
②∵要求所围成的饲养场的面积为66平方米，
∴．
∴．
解得，，
∵点在线段上，且BC=9，
∴，即．
解得．
∴x=11，即饲养场的宽为11米．
答：饲养场的宽为11米．
（2）设饲养场的面积为，的长为米．
①当点在线段上时，
根据（1）可得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，且当时，随的增大而减小．
∵当点在线段上时，需满足，
∴时，有最大值，最大值为（平方米）．
此时，满足点F在线段BC上．
②当点在线段的延长线上时，设DE为y米，
由（1）可得DB=GH=EF=x，DE=BF=y，，
∵BC=9，
∴．
∴．
∴．
解得．
∴．
∴．
∵，
∴当时，有最大值，最大值为（平方米）．
此时，满足点F在线段BC的延长线上．
∵，
∴饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．
答：饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，把实际问题抽象成数学问题并列出方程或关系式是解题关键，同时根据题目实际情况要注意分类讨论和实际意义．
12．（1），；（2）①6.75；②见解析；（3）①当时，随的增大而增大；②3
【分析】
（1）根据题意和矩形的面积表示方法即可求得．
（2）①当x=4.5时，代入表达式即可求得．②用平滑的曲线把每个点连起来即可．
（3）①由图像可知当x＜3时的增减性．②由图像可知面积最大时x的取值．
【详解】
解：（1），．
（2）①6.75．
②函数图象如图所示：
（3）①当时，随的增大而增大；
②3．
【点睛】
此题考查了二次函数应用题表达式的求法，二次函数图像和性质的关系．解题的关键是熟练掌握二次函数表达式的求法，二次函数图像和性质的关系．
13．（1）①；②3米；（2）当米时，最大为平方米
【分析】
（1）①根据题意用篱笆总长度为11米，减去DF、GH、CE的长度，即可求得EF的长度；
②小型农场形状为矩形，面积，解出x的值即可；
（2）设小型农场的面积为S，求出关于EF的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】
解（1）①
②
，解得，
∵点在线段上，，
舍去，．
（2）当点在线段上时，即，时
，∴当时，最大为9．
当点在线段的延长线上时，
即时，
当时，最大为．
∴综上所述，当时，最大为．
【点睛】
此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．
14．（1）；（2）不够，理由见解析；（3）40
【分析】
（1）利用x表示各边长，利用勾股定理得到，即可得出结果；
（2）求出总费用为，利用二次函数的性质求出EF最小值为7时，总费用最小，从而得到，代入二次函数表达式求出总费用的最小值，再比较即可；
（3）根据（2）中结果得到不等式，解之即可．
【详解】
解：（1）∵四个阴影部分直角三角形全等，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
∴正方形EFGH面积，
故使用新能源涂料的面积为．
（2）铺设绿植面积为：，
∴铺设绿植费用为：，
新能源涂料费用为：，
∴总费用为：，
关于的二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
当时，函数值随增大而增大，当时，函数值随增大而减小，
当时，，
又，为整数，
∴EF最小值为7，即EF取最小值时，总费用最小，
∴，
即，
∴，
∴总费用最少为，
故资金11040不够．
（3）由（2）可知时使用资金最少，为13000元，
∴，
∴，
故至少为40．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，列出函数表达式，注意题中正方形边长为整数．
答案第13页，总13页