24.1.2 垂直于线的直径-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（Word版 含答案）

24.1.2垂直于线的直径
知识点1
垂径定理
例1．在⊙O中，弦AB＝16，点M为AB的中点，OM＝6，则⊙O的半径为（
）
A．6
B．8
C．10
D．100
变式2．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　）
A．2
B．4
C．4
D．2
3．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长．
知识点2
垂径定理的推理
例4．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”
．下列判断正确的是（
）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
变式5．下列命题中不正确的是（
）
A．平分弦的半径垂直于弦；
B．垂直平分弦的直线必经过圆心；
C．垂直与弦的直径垂直平分这条弦对应的弧；
D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．
6．下列说法正确的是（
）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．直径是同一个圆中最长的弦
C．平分弦的直径垂直于弦
D．过三点能确定一个圆
知识点3
垂径定理得实际应用
例7．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为（
）
A．寸
B．13寸
C．25寸
D．26寸
变式8．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，求水面宽的长度．
9．上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，李力同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为（
）
A．20cm
B．19.5cm
C．14.5cm
D．10cm
课堂练习
10．下列说法中，错误的有（
）
①长度相等的两条孤是等弧；②对角线相等且平分的四边形一定有外接圆；③平分一条直径的弦必垂直于这条直径；④旋转不改变图形的形状和大小；⑤三点确定一个圆．
A．1
B．2
C．3
D．4
11．如图1是棒球，图2是其示意图．是直径上一点，点和点关于弦对称，若，则⊙O的半径长为_______．
12．如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为__________________．
13．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
14．如图，为圆直径，为圆上一点，连接，．
（1）尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，在（1）的条件下，求的长．
15．如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，
（1）求的半径；
（2）求到弦的距离．
试卷第4页，总4页
参考答案
1．C
【分析】
连接OA，如图，根据垂径定理的推论得到OM⊥AB，然后利用勾股定理计算OA的长．
【详解】
解：连接OA，OM，如图，
∵点M为AB的中点，
∴OM⊥AB，AM＝BM＝AB＝×16＝8，
在Rt△OAM中，OA＝＝＝10，
即⊙O的半径为10．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径定理求得AM的长，证明△OAM是直角三角形是解题的关键．
2．C
【分析】
作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，利用折叠的性质得AB垂直平分OC，则AC＝AO，于是可判断△AOC为等边三角形，所以∠AOC＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD，然后利用垂径定理得到AD＝BD，从而得到AB的长．
【详解】
解：作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，
∵圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，
∴AB垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而OA＝OC，
∴OA＝AC＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴OD＝OA＝2，
∴AD＝OD＝2，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2AD＝4（cm）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．也考查了折叠的性质．
3．8
【分析】
求出OD，根据垂径定理得出AB=2AD，根据勾股定理求出AD，即可得出答案．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5，
∴OA=OC=5，
∵CD=2，
∴OD=5﹣2=3，
∵OC⊥AB，
∴AB=2AD，∠ODA=90°，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD===4，
∴AB=2AD=8．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是求出弦心距，利用勾股定理求解．
4．D
【分析】
根据垂径定理可直接进行排除选项．
【详解】
解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
5．A
【分析】
根据垂径定理及其推论分别进行判断．
【详解】
A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．
6．B
【分析】
根据等弧的定义，弦的定义分别判断即可；
【详解】
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故A错误；
直径是同一个圆中最长的弦，故B正确；
此弦不能是直径，故C错误；
三点不能共线，故D错误；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理及推论，准确理解相关定义是解题的关键．
7．D
【分析】
连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB=10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为R，表示出OE，根据勾股定理建立关于R的方程，求出方程的解即可得到R的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【详解】
连结AO，∵
CD为直径，CD⊥AB，
∴
．
设⊙O半径为R，则OE＝R－1．
Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴
R2＝52+(R-1)2，
∴
R＝13，
∴
CD＝2R＝26(寸)．
故选D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键．
8．8m
【分析】
连接OA，根据垂径定理可知AD=BD=AB，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的长，进而可得出AB的长，此题得解．
【详解】
解：连接OA，如图所示．
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=AB，
在Rt△ADO中，OA=OC=5m，OD=CD-OC=3m，∠ADO=90°，
∴AD==4m，
∴AB=2AD=8m．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，利用勾股定理求出AD的长度是解题的关键．
9．C
【分析】
根据垂径定理，构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球的直径．
【详解】
解：根据题意，画出图形如图所示，
由题意知，，，是半径，且，
，
设铅球的半径为，则，
在中，根据勾股定理，，
即，
解得：，
所以铅球的直径为：cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
10．C
【分析】
根据等弧、圆的定义，垂径定理、旋转的性质、确定圆的条件逐一分析即可．
【详解】
①能够重合的两条孤是等弧，故错误；②对角线相等且平分的四边形，即四边形对角线的交点到四个顶点的距离相等，所以一定有外接圆，故正确；③平分一条直径的弦（不是直径）必垂直于这条直径，故错误；④旋转不改变图形的形状和大小，故正确；⑤不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了等弧的定义、圆的定义、垂径定理、旋转的性质、确定圆的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
11．
【分析】
连接OA构成直角三角形，先利用轴对称性质及垂径定理求出，，即可利用勾股定理求出OA．
【详解】
解：如图，连接OA，
∵点和点关于弦对称，
∴，．
∵是⊙O的直径，，
∴，．
设⊙O的半径为r，即，则．
在Rt△AOF中，由勾股定理得：．
即，
解得．
∴⊙O的半径长为．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了垂径定理的运用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
12．20cm
【分析】
作OD⊥AB于D，连接OB，根据垂径定理得到AD=BD=30cm，即可得到PD=100cm，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】
解：作OD⊥AB于D，连接OB，
∴AD＝BDAB＝30cm，
∴OD40（cm），
∴PD＝PA+AD＝70+30＝100（cm），
∴OP20（cm）；
故答案为：20cm．
．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．
13．（1）20米；（2）4米
【分析】
（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
【详解】
解：（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH＝DE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′＝，
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，圆弧型桥墩高4米．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．
14．（1）答案见解析；（2）
【分析】
（1）作BC的垂直平分线，与圆O的交点即为的中点；
（2）在中根据勾股定理分别求出OE的长度，再在中应用勾股定理即可求解．
【详解】
解：（1）如图，作BC的垂直平分线，与圆O的交点即为的中点：
（2）连接BD，如图：
∵，，为圆直径，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理、尺规作图—垂直平分线，掌握垂径定理的内容是解题的关键．
15．（1）的半径为5cm；（2）到的距离为cm
【分析】
（1）连接，设半径为，则，构建方程即可解决问题．
（2）根据，求解即可．
【详解】
解：（1）连接，设半径为，则，
是的直径，弦于，，
，
在中，，
．
（2），
，，，
，
，
．
【点睛】
本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
答案第1页，总11页