24.2.2 切线的判定和性质-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（Word版 含答案）

24.2.2切线的判定和性质
一、选择题
1．下列命题中，真命题是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧
C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等
D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　）
A．∠A＝50°，∠C＝40°
B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2
D．⊙A与AC的交点是AC中点
3．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（
）
A．若，则是⊙O的切线
B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线
D．若是⊙O的切线，则
4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（
）
A．44°
B．88°
C．46°
D．92°
5．如图，菱形ABCD的两边与⊙O分别相切于点A、C，点D在⊙O上，则∠B的度数是（　　）
A．45°
B．50°
C．60°
D．65°
6．如图，为⊙O的直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（　　）
A．2
B．
C．
D．4
二、填空题
7．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙及⊙上一点．
求作：直线PN，使得PN与⊙相切．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在⊙外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；
③连接MQ并延长交⊙Q于点N；
④作直线PN．
所以直线PN即为所求作直线．
根据小石设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵是⊙的直径，
∴＝
（
）（填推理的依据）．
∴．
又∵是⊙的半径，
∴是⊙的切线（
）（填推理的依据）．
三、解答题
8．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①　
　或②　
　；
（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．
（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．
9．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
10．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且．
（1）求证：DF是的切线；
（2）求线段OF的长度．
11．如图，AB为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作直线CD垂直直线AE，垂足为D．
（1）求证：DC为的切线；
（2）若AB=4，∠CAD=30°，求AC．
12．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，⊙O的切线DE交BC于E，且点E是BC的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）①当∠BAC＝　　°时，四边形OBED为正方形；
②若AB＝4，当BC＝　　时，四边形ODCE是平行四边形．
试卷第4页，总4页
参考答案
1．B
【分析】
根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答．
【详解】
解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题；
B、垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；
D、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定理等知识．
2．D
【分析】
根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
3．A
【分析】
根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确；
若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；
若，没有理由可证明DE是⊙O的切线．
【详解】
解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
4．B
【分析】
根据切线的性质得到∠CAB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理解答即可．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠CAB＝90°，
∵∠C＝46°，
∴∠B＝90°﹣46°＝44°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠B＝88°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
5．C
【分析】
连接OA、OC，由AB，BC与⊙O相切，可得∠BAO=∠BCO=90°，可求∠B+∠AOC=80°，由四边形ABCD为菱形，可得∠B=∠D，，由点D在⊙O上，根据同弧所对圆心角与圆周角∠AOC=2∠D，可得∠B+2∠B
=180°求解即可．
【详解】
解：连接OA、OC，
∵AB，BC与⊙O相切，
∴OA⊥AB，OC⊥BC，
∴∠BAO=∠BCO=90°，
∴∠B+∠AOC=360°-∠BAO-∠BCO=180°
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B=∠D，
又∵点D在⊙O上，
∴∠AOC=2∠D，
∴∠B+2∠B
=180°
∴∠B＝60°．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆的切线性质，圆周角定理，菱形的性质，掌握圆的切线性质，圆周角定理，菱形的性质是解题关键．
6．B
【分析】
根据垂径定理求得，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED是等腰直角三角形，得出，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=．
【详解】
解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，，，
∴
AE=DE=2，
∴∠COD=2∠ABC=45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE=ED=2，
∴，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．
7．（1）作图见解析；（2），直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】
（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理可得∠MPN=90°，根据切线的判定定理即可得结论.
【详解】
（1）（1）补全图形如下图；
（2）证明：∵是⊙的直径，
∴＝
90
（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴．
又∵是⊙的半径，
∴是⊙的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
）（填推理的依据）．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】
本题考查了切线的判定及圆周角定理，正确作出图形是解题关键.
8．（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
(1)
添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．
(2)
作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．
(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠
BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．
【详解】
（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，
理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，
∴EF是⊙O切线，
②∵AB是⊙0直径，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠FAC=∠B，
∴∠BAC+∠FAC=90°，
∴OA⊥EF，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O切线，
故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，
（2）作直径AM，连接CM，
即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∵∠FAC=∠B，
∴∠FAC=∠M，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠M=90°，
∴∠FAC+∠CAM=90°，
∴EF⊥AM，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线．
（3）∵OA=OB，
∴点O在AB的垂直平分线上，
∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，
∴∠BAC=∠B，
∴点C在AB的垂直平分线上，
∴OC垂直平分AB，
∴OC⊥AB．
【点睛】
本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．
9．（1）见解析；（2）AC＝4．
【分析】
（1）根据和证明
，再根据经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线来判定；
（2）根据（1）中的结论和∠ADB＝30°来说明在中，直角边OA等于斜边
OD的一半，又因为OA=OB，所以OA=OB=DB=2，所以
AC=2OA=4．
【详解】
（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
这道题考察的是切线的判定和30°所对直角边是斜边一半的概念．对圆相关概念、性质，以及特殊直角三角形性质熟练掌握是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OD，先说明是等边三角形得到，说明，进而得到即可证明；
（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】
（1）证明：连接OD
∵是等边三角形
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴OD//AB
∵
∴
∴
∴DF是的切线；
（2）∵OD//AB，
∴OD为的中位线
∴
∵，
∴
∴
由勾股定理，得：
∴在中，．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
11．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）利用在同一个圆中等弧对等角得出∠BAC=∠CAD，根据等腰三角形的性质、等量代换以及平行线的判定得到AD∥OC，再根据垂线的性质可以证明出OC⊥DC，根据切线的判定即可得出结论；
（2）求可以放在中，结合（1）的结论以及利用勾股定理求解即可．
【详解】
（1）连接OC，则：
∵点C为的中点
∴
∴∠BAC=∠CAD
∴OA=OC
∴∠BAC=∠OCA
∴∠CAD=∠OCA
∴AD∥OC
∵AD⊥DC
∴∠ADC=90°
∴∠OCD=90°
∴OC⊥DC
又OC是的半径
∴DC为的切线；
（2）过点作的垂线交于点，
，
为等腰三角形，
，
AB=4，∠CAD=30°，
，
由（1）知，
，
在中，
，
【点睛】
本题考查了圆的切线、等弧对等角、平行线的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识点、添加适当辅助线进行解答．
12．（1）见解析；（2）①45；②4．
【分析】
（1）连接OD、OE，如图1所示，然后证明△ODE≌△OBE，从而得到OB⊥BC即可；
（2）①连接BD、OD，当∠BAC＝45°,△ABC是等腰直角三角形，然后得到DE为△ABC的中位线，证得∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，根据OD＝OB即可求证；
②连接OE，当BC＝4，E是BC的中点，则有CE=OD，只需证明CE∥OD即可
【详解】
解：（1）证明：连接OD、OE，如图1所示：
∵点O为AB的中点，点E为BC的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠DOE＝∠ODA，∠BOE＝∠A，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠DOE＝∠BOE，
在△ODE和△OBE中，
∴△ODE≌△OBE（SAS），
∴∠ODE＝∠OBE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①当∠BAC＝45°时，四边形OBED是正方形，理由如下：
如图2，连接BD、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
由（1）得：OB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∵BD⊥AC，
∴AD＝CD，
∵E为BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴OD⊥AB，
∴∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴四边形OBED是矩形，
∵OD＝OB，
∴四边形OBED为正方形，
故答案为：45；
②当BC＝4时，四边形ODCE是平行四边形，理由如下：
如图3，∵AB＝4，BC＝4，
∴OD＝OA＝2，AB＝BC，
∴∠A＝∠ODA，∠A＝∠C，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥CE，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝2，
∴OD＝CE，
∴四边形ODCE是平行四边形，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了圆的性质，圆切线的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，正方形的判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
答案第15页，总15页