24.4.1 弧长和扇形的面积-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（Word版 含答案）

24.4弧长和扇形的面积
一、选择题
1．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB，则扇形AOB的面积为（　　）
A．15πm2
B．30πm2
C．18πm2
D．12πm2
2．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（
）
A．45cm
B．40cm
C．35cm
D．30cm
3．如图，所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作弧BC，弧AC，弧AB，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长为3π，则它的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC=30°，则劣弧
的长为________．
5．如图，在三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，O是AB的中点，以点O为圆心，2为半径画弧分别与AC、BC相切于点D、点E，与AB交于点F．则图中阴影部分面积为_______．
6．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点都在格点上，点E在的延长线上，以A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点F，且经过点C，则的长度为_______．
7．如图所示的扇形中，已知，则________．
8．如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则________．
9．如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________．
10．如图，内接于，若的半径为则阴影部分的面积为_______________________．
三、解答题
11．如图是一长为12cm，宽为5cm的长方形木板，在桌面上作无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚时被桌面上另一小木块挡住，且使木板与桌面成30°角，则A翻滚到A2时，共经过的路径长为___cm．
12．如图，内接于，D是上一点，，．
（1）求证：；
（2）若的半径为3，求的长．
试卷第2页，总3页
参考答案
1．B
【分析】
根据扇形的面积计算公式求解即可得到答案.
【详解】
解：由题意可知：
扇形的面积=
故选B.
【点睛】
本题主要考查了扇形的面积计算公式，解题的关键在于能够熟练掌握扇形的面积计算公式.
2．B
【分析】
设这条弧的半径为rcm，根据弧长公式和已知条件列出方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设这条弧的半径为rcm，
由题意得，
解得r=40，
∴这条弧的半径为40cm．
故选：B
【点睛】
本题考查了弧长公式，熟知弧长公式并根据题意列出方程是解题关键．
3．A
【分析】
根据题意和图形，可以计算出BC的长，然后根据扇形面积公式和三角形的面积，可以求得曲边三角形的面积．
【详解】
解：由题意可得，三段弧是等弧，
，∠BCA＝60°，
∴π＝，
解得CB＝3，
∵△ABC是等边三角形；
∴；
∴一个曲边三角形的面积是：[]×3+
＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、弧长的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．
【分析】
根据已知条件求出圆心角∠BOC的大小，然后利用弧长公式即可解决问题．本题考查切线的性质、弧长公式、直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是记住弧长公式，求出圆心角是关键，属于中考常考题型．
【详解】
解：
∵AB是⊙O切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴
的长为
=
．
故答案为
．
【点睛】
此题主要考查切线的性质，弧长的计算，解题的关键是熟知弧长公式的运用．
5．+2．
【分析】
连接，，，根据切线的性质得到，，根据等腰三角形的性质和判定求得，，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式求出和，再根据即可求出结果．
【详解】
解：连接OD，OE，OC，
∵⊙O分别与AC、BC相切于点D、点E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∵AC＝BC＝4，∠C＝90°，O是AB的中点，
∴AO＝BO，∠A＝∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，
∴∠AOD＝∠BOE＝45°，AO＝CO，
∴∠DOF＝180°﹣∠AOD＝135°，OD＝AC＝2，∠A＝∠AOD，
∴AD＝OD＝2，
∴S阴影＝S扇形ODF+S△ADO
＝
，
故答案为：．
【点睛】
此题综合考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质及扇形的面积计算方法，根据切线的性质得到，，根据等腰三角形的性质和判定求出，是解决问题的关键．
6．.
【分析】
连接AC，根据题意用勾股定理可以算出AC的长度，∠EAF=45°，然后利用弧长公式求解即可得到答案.
【详解】
解：如图所示，连接AC
在直角三角形ADC中，由勾股定理得：
∵，
∴∠EAF=45°
∴
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理和弧长公式.
7．100．
【分析】
先在小扇形中利用扇形弧长公式求解出圆心角度数，再在大扇形中利用公式求解出弧长即可．
【详解】
解：设扇形圆心角度数为n°，
∵，
∴在扇形中，，
解得：，
∴在扇形中，,
故答案为：100．
【点睛】
本题主要考查了扇形弧长的计算，解题的关键是利用圆心角大小不变并熟悉弧长公式进行求解．
8．4
【分析】
由题意求出扇形的弧长，然后根据扇形面积公式求出扇形面积即可．
【详解】
∵扇形周长等于铁丝的长为8
cm，扇形的半径是2
cm，
∴扇形弧长是4
cm，
∴.
故答案为：4．
【点睛】
此题考查了扇形弧长和面积的求法，解题的关键是熟练掌握扇形弧长和面积公式．
9．
【分析】
由于将△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C′，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分别计算两扇形面积，再计算其差即可．
【详解】
解：如图：由旋转可得：
∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，
S扇形ACA′==，
S扇形BCB′==，
则线段AB扫过的图形的面积为=，
故答案为：
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键．
10．
【分析】
根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝120°，过点O作OD⊥BC，根据垂径定理与含30°的直角三角形及勾股定理求出BC，OD，再根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
过点O作OD⊥BC，
∴∠BOD=60°
∴∠OBD=30°
∴OD=
∴BC=2BD=
∴阴影部分的面积＝S扇形BOC S△BOC==
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
11．
【分析】
将点翻滚到位置分成两部分：第一部分是以为旋转中心，长为半径旋转，第二部分是以为旋转中心，为半径旋转，根据弧长的公式计算即可．
【详解】
解：连接AB，BA1，
由勾股定理得AB=BA1=，
第一次是以为旋转中心，长为半径旋转，
此次点走过的路径是，
第二次是以为旋转中心，为半径旋转，
此次走过的路径是
点两次共走过的路径是
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了弧长公式，注意两段弧长的半径不同，圆心角不同．
12．（1）见解析；（2）π
【分析】
（1）由圆周角定理可知，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）连接、，由同弦所对的圆心角是圆周角的两倍得到，再根据弧长公式求解即可.
【详解】
解：（1）证明：∵，，
∴．
∴．∴．
（2）解：连接、．
∵，
∴．
∵的半径为3，
∴的长．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，同弦所对的圆心角是圆周角的两倍，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
答案第8页，总8页