24.3 正多边形和圆-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（Word版 含答案）

24.3正多边形和圆
一、选择题
1．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则（
）
A．6
B．
C．
D．4
2．如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（
）
A．1
B．﹣1
C．
D．2
3．阅读图中的材料，解答下面的问题：
已知是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计的面积，则的面积约是（
）
A．3
B．3.1
C．3.14
D．
4．在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的外接圆的面积为______________．
7．在半径为的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为______．
8．如图，是的内接正六边形的一边，点B在上，且是的内接正十边形的一边，若是的内接正n边形的一边，则_____．
9．如图，正五边形两条对称轴所夹的为___________度．
10．已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为________．
11．如图，点为正八边形的中心，则的度数为______．
三、解答题
12．已知：射线
求作：，使得点在射线上，，．
作法：如图，①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵
为⊙的直径，
∴__________．
∵，
∴等边三角形．
∴．
∵点，都在⊙上，
∴．（
）（填推理的依据）
∴．
即为所求的三角形．
试卷第2页，总3页
参考答案
1．C
【分析】
因为⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角＝60°，构建方程即可解决问题．
【详解】
解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴⊙O的两条半径与正n边形的一条边长构成等边三角形，
∵等边三角形的一个内角的度数是60°，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴＝60°，
∴n＝6，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查正多边形与圆以及求代数式的值，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．B
【分析】
如图，连接交于点,连接，，，根据△ABC是圆O的内接正三角形，可知，进而勾股定理求得，，根据即可求得答案．
【详解】
如图，连接交于点,连接，，，
△ABC是圆O的内接正三角形，
,，
，
，
是BC的中点，
，
，
，
是BC的中点，AB＝4，
，
设，则（），
，
即，
解得，
，
，
，
在中
，
．
故选B．
【点睛】
本题考查了圆的性质，正三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线和熟练掌握正三角形的性质和圆的性质是解题的关键．
3．A
【分析】
根据圆的面积公式得O的面积S，先求得得圆的内接正十二边形的面积S△ABO
，最后可求解本题
【详解】
如图，构造，，作于点．
∵，∴，
∴，
∴正十二边形的面积为，
故选A．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．
4．C
【分析】
由正六边形的性质得∠COD＝60°，再证△OCD是等边三角形，得BC＝CD＝OC＝2，再由垂径定理和含30°角的直角三角形的性质求出OG即可．
【详解】
解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝360°÷6＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝2，
∵OG⊥BC，
∴CG＝BC＝1，
∵∠COG＝∠COD＝30°，
∴OG＝CG＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
5．D
【分析】
连接OB、OC、OE，根据圆内接正多边形性质易证得是等边三角形，从而可得BO=CO=OE=3，由此即可解题．
【详解】
解：连接OB、OC、OE，
，
∵正方形内接于，
∴，，三点共线，
又∵，
∴，
又∵BO=CO=OE，
∴是等边三角形，
又∵，
∴BO=CO=OE=3，
∴，
故选D．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，掌握圆内接正多边形性质，正确作出辅助线得出是等边三角形是解题的关键．
6．
【分析】
根据正六边形及其外接圆的性质求出圆的半径，再根据圆的面积公式求解即可．
【详解】
解：根据题意作出如下图形，正六边形ABCDEF的外接圆圆心为O，于G，且．
∵正六边形ABCDEF的外接圆圆心为O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，OA=OB，
∴，是等腰三角形．
∵于G，
∴．
∴．
设OA=x，则．
∵，
∴．
解得，（舍）．
∴OA=2．
∴S⊙O=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正多边形及其外接圆的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．
7．
【分析】
先根据题意画出图形，再连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质得出OE=BE=，再由勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图所示，连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，
∵OE⊥BC，
∴OE=BE=，
又OB=8
∴在Rt⊿OBE中，由勾股定理得：
,
∴
解得：
,
故答案为：
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，解答此类问题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．
8．15
【分析】
由题意易得∠AOC=60°，∠BOC=36°，则有∠AOB=24°，然后根据正多边形与圆的关系可进行求解．
【详解】
解：∵是的内接正六边形的一边，是的内接正十边形的一边，
∴，
∴，
∵是的内接正n边形的一边，
∴；
故答案为15．
【点睛】
本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的相关概念是解题的关键．
9．72
【分析】
根据正五边形的性质与轴对称的性质，锐角正好等于正五边形的中心角的度数，然后列式求解即可．
【详解】
解：∵正五边形的中心角为：360°÷5＝72°，
∴相邻两条对称轴所夹锐角的度数为72°．
故答案为：72．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，根据正五边形的性质得到两对称轴的夹角正好等于中心角是解题的关键．
10．
【分析】
画出符合题意的图形，先求解正六边形的中心角
证明是等边三角形，求解
从而可得答案．
【详解】
解：如图，由题意得：
正六边形
是等边三角形，
正六边形的周长是
故答案为：
【点睛】
本题考查的是正多边形与圆的关系，正多边形的中心角，正多边形的半径，等边三角形的判定与性质，掌握正多边形中的基本概念的含义是解题的关键．
11．．
【分析】
连接OA、OB，根据正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：作正八边形的外接圆，连接OA、OB，如图：
∴，F、O、B共线，
由圆周角定理得：
；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的圆心角的求法、圆周角定理是解题的关键．
12．（1）见解析；（2）90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【分析】
（1）以点C为圆心，OC长为半径画弧线，交圆于一点即为点D，连接AD，补全图形即可；
（2）证明：连接．由为⊙的直径，得到90．证明等边三角形，得到，由此得到即为所求的三角形．
【详解】
解：（1）补全的图形如图所示：
（2）证明：连接．
∵
为⊙的直径，
∴90．
∵，
∴等边三角形．
∴．
∵点，都在⊙上，
∴．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据）
∴．
即为所求的三角形．
故答案为：90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
．
【点睛】
此题考查尺规作图，等边三角形的判定及性质，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，熟记各定理是解题的关键．
答案第10页，总10页