2020-2021学年山东省烟台市海阳市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2020-2021学年山东省烟台市海阳市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（共12个小题，每小题3分，满分36分）.
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列等式正确的是（　　）
A．5＝
B．＝
C．＝﹣
D．＝1
3．下列方程中，没有实数根的是方程（　　）
A．﹣3x2+2x+10＝0
B．2x2+8x﹣3＝0
C．3x2+2x＝1
D．x2+3x+3＝0
4．根据下列表格的对应值：
x
﹣1
1
1.1
1.2
x2+12x﹣15
﹣26
﹣2
﹣0.59
0.84
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足（　　）
A．﹣1＜x＜1
B．1＜x＜1.1
C．1.1＜x＜1.2
D．﹣0.59＜x＜0.84
5．用配方法解方程3x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（　　）
A．3（x﹣1）2＝0
B．（x+）2＝
C．（x+）2＝
D．（x+）2＝
6．若关于x的方程kx2+2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k≠0
B．k≤1
C．k≥1
D．k≤1且k≠0
7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．BA＝BC
B．AC、BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
8．在菱形ABCD中，对角线BD＝4，∠ABC＝120°，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．16
B．4
C．8
D．16
9．如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图）用去一部分液体后如右图所示，此时液面直径AB＝（　　）
A．2cm
B．2.5cm
C．3cm
D．4cm
10．如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与四边形BCED的面积比为（　　）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．3：4
11．如图，延长正方形ABCD边B至点E，使AE＝BD，则∠E为（　　）
A．22.5°
B．25°
C．30°
D．45°
12．如图，矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为点E，若AO：OE＝3：2，DE＝2，则CE长为（　　）
A．1
B．2
C．
D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．若使在实数范围内有意义，则x的取值范围为
　
　．
14．计算3 ÷＝　
　．
15．已知＝＝（b+d≠0），则的值为
　
　．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点都在坐标轴上，OA＝4．若△CDO是以原点O为位似图形，△ABO的位似图形（C为点A的对应点），且△CDO与△ABO相似比为，则点C的坐标为
　
　．
17．若x＝2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是　
　．
18．如图，在Rt△ABC纸板中，AC＝4，BC＝3，P是AC上一点，过点P沿直线剪一次剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是
　
　．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）
19．解下列方程：
（1）（x﹣）2＝；
（2）x（x﹣2）＝（x﹣2）；
20．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，DE∥AC，CE∥AD，连接BE，CD．求证：四边形CDBE是正方形．
21．如图，已知在△ABC和△DAC中，∠B＝∠DAC，∠D＝115°，E，F分别为AB和BC上的点，且EF∥AC，AE＝AD，CF＝AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若BC＝8，CD＝，求的值．
22．李先生存入银行4万元，先存一个一年定期，一年后将本息自动转存为一个一年定期，年利率不变，两年后共得本息4.1412万元．
（1）一年定期存款的年利率为多少？（参考数值：＝2.035）
（2）若两年定期存款的年利率为2.25%，则李先生4万元存款已得到的利息比按两年定期存款所得利息少多少元？
23．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点M是边DC上一动点（点M不与边DC端
点重合），点O在边AD上，且OA＝OM，作MN⊥MO，交BC于点N．设DM＝x，OM＝y．
（1）求证：△OMD∽△MNC．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）当x＝2时，求△MNC的周长．
24．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm．如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）是否存在某时刻t使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（2）如果BP＝PQ，求此时t的值．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD交BD的延长线于点E，△ABC∽△EDA．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）.下列每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】把各项进行化简，再根据同类二次根式的概念逐一判断即可．
解：A．∵，被开方数不相同，
∴不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．∵，被开方数不相同，
∴不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．∵，被开方数相同，
∴是同类二次根式，故本选项符合题意；
D．∵，被开方数不相同，
∴不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．下列等式正确的是（　　）
A．5＝
B．＝
C．＝﹣
D．＝1
【分析】利用二次根式的乘除法法则，以及二次根式的化简对各项进行运算，即可求解．
解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：A．
3．下列方程中，没有实数根的是方程（　　）
A．﹣3x2+2x+10＝0
B．2x2+8x﹣3＝0
C．3x2+2x＝1
D．x2+3x+3＝0
【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
解：A、Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×（﹣3）×10＝124＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×2×（﹣3）＝88＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣1）＝16＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项错误；
D、Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×3＝﹣3＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选：D．
4．根据下列表格的对应值：
x
﹣1
1
1.1
1.2
x2+12x﹣15
﹣26
﹣2
﹣0.59
0.84
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足（　　）
A．﹣1＜x＜1
B．1＜x＜1.1
C．1.1＜x＜1.2
D．﹣0.59＜x＜0.84
【分析】利用表中数据得到x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，则可判断x2+12x﹣15＝0时，1.1＜x＜1.2．
解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，
x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，
∴x2+12x﹣15＝0时，1.1＜x＜1.2，
即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，
故选：C．
5．用配方法解方程3x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（　　）
A．3（x﹣1）2＝0
B．（x+）2＝
C．（x+）2＝
D．（x+）2＝
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方可得到结果．
解：方程3x2+2x﹣1＝0，
变形得：x2+x＝，
配方得：x2+x+＝，即（x+）2＝，
故选：D．
6．若关于x的方程kx2+2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k≠0
B．k≤1
C．k≥1
D．k≤1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
解：当k≠0时，Δ＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，即k≤1且k≠0，
当k＝0时，
此时方程为2x+1＝0，满足题意，
∴k≤1．
故选：B．
7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．BA＝BC
B．AC、BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
【分析】已知四边形的对角线互相垂直，可依据“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”的判定方法，来选择条件．
解：四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，
若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：
AC、BD互相平分；（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）
故选：B．
8．在菱形ABCD中，对角线BD＝4，∠ABC＝120°，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．16
B．4
C．8
D．16
【分析】作出图形，连接AC、BD，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OB＝BD，菱形的对角线平分一组对角求出∠ABO＝60°，再求出AB，AC，进而解答即可．
解：如图，连接AC、BD，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝BD＝×4＝2，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAO＝60°，
在Rt△AOB中，AB＝2OB＝4，OA＝OB＝2，
∴AC＝2OA＝4，
∴菱形ABCD的面积＝，
故选：C．
9．如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图）用去一部分液体后如右图所示，此时液面直径AB＝（　　）
A．2cm
B．2.5cm
C．3cm
D．4cm
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O′作O′N⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO′，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），O′N＝11﹣7＝4（cm），
∴＝
∴AB＝3（cm），
故选：C．
10．如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与四边形BCED的面积比为（　　）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．3：4
【分析】由三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形面积之比等于相似比，求出两三角形面积之比，即可求出△ADE与四边形BCED的面积比．
解：∵△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，
∵S△ABC＝S四边形BCED+S△ADE，
∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3，
故选：B．
11．如图，延长正方形ABCD边B至点E，使AE＝BD，则∠E为（　　）
A．22.5°
B．25°
C．30°
D．45°
【分析】连接AC，根据题意可得AC＝BD＝CE，则∠ACE＝∠E，由外角的性质可得：∠CAB＝∠ACE+∠E＝45°，即可求解．
解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，且∠CAB＝45°，
又∵BD＝AE，
∴AE＝CA，
∴∠E＝∠ACE，
∵∠CAB＝∠ACE+∠E＝2∠E＝45°，
∴∠E＝22.5°．
故选：A．
12．如图，矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为点E，若AO：OE＝3：2，DE＝2，则CE长为（　　）
A．1
B．2
C．
D．
【分析】由矩形的性质得到∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，求得OC＝OD，设OA＝3x，OE＝2x，得到OD＝OA＝3x，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，∠ADC＝90°，
∴OC＝OD，
∵AO：OE＝3：2，DE⊥AC，
设OA＝3x，OE＝2x，
在Rt△DOE中，OD2＝OE2+DE2，
即，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴OC＝OA＝6，OE＝4，
∴EC＝OC﹣OE＝6﹣4＝2，
故选：B．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．若使在实数范围内有意义，则x的取值范围为
　x＜2　．
【分析】根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式的分母不为零列式计算可求解．
解：由题意得6﹣3x＞0，
解得x＜2，
故答案为x＜2．
14．计算3 ÷＝　　．
【分析】利用二次根式乘除法的法则对式子进行运算即可求解．
解：3 ÷
＝3÷
＝
＝．
故答案为：．
15．已知＝＝（b+d≠0），则的值为
　　．
【分析】根据合比的性质即可求解．
解：∵＝＝（b+d≠0），
∴＝．
故答案为：．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点都在坐标轴上，OA＝4．若△CDO是以原点O为位似图形，△ABO的位似图形（C为点A的对应点），且△CDO与△ABO相似比为，则点C的坐标为
　（2，0）或（﹣2，0）　．
【分析】先写出A点坐标，然后根据关于原点为位似中心的对应点的坐标关系，把A点的横纵坐标都乘以（或﹣）得到C点坐标．
解：∵OA＝4，
∴A（4，0），
∵△CDO是以原点O为位似图形，△ABO的位似图形，且△CDO与△ABO相似比为，
∴C点坐标为（×4，0）或（﹣×4，0），即C（2，0）或（﹣2，0）．
故答案为（2，0）或（﹣2，0）．
17．若x＝2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是　1　．
【分析】把x＝2﹣代入方程x2﹣4x+c＝0就得到关于c的方程，就可以解得c的值．
解：把x＝2﹣代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，
解得c＝1；
故答案为：1．
18．如图，在Rt△ABC纸板中，AC＝4，BC＝3，P是AC上一点，过点P沿直线剪一次剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是
　0＜CP≤　．
【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到CP长的取值范围．
解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜CP＜4；
如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0≤CP＜4；
如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即32＝CP×4，
∴CP＝，
∴此时，0＜CP≤；
综上所述，CP长的取值范围是0＜CP≤．
故答案为：0＜CP≤．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）
19．解下列方程：
（1）（x﹣）2＝；
（2）x（x﹣2）＝（x﹣2）；
【分析】（1）由直接开平方法可得出答案；
（2）方程左边因式分解得到两个一元一次方程，解方程即可求出方程的解．
解：（1）原方程可变形为，
∴x1＝，x2＝；
（2）原方程可变形为x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣＝0，
∴x1＝2，x2＝．
20．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，DE∥AC，CE∥AD，连接BE，CD．求证：四边形CDBE是正方形．
【分析】根据平行四边形的判定和性质得出DE＝AC，CE＝AD，进而利用正方形的判定解答即可．
【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE＝AC，CE＝AD，
∵AD＝DB，
∴CE＝DB，
∵CE∥DB，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴BC＝DE，
∴平行四边形DBEC是矩形，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝DB，
∴矩形DBEC是正方形．
21．如图，已知在△ABC和△DAC中，∠B＝∠DAC，∠D＝115°，E，F分别为AB和BC上的点，且EF∥AC，AE＝AD，CF＝AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若BC＝8，CD＝，求的值．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得，从而得出，可证△ABC∽△DAC，得出答案；
（2）由（1）相似可求出AC＝6，E根据F∥AC，可得．
解：（1）∵EF∥AC，
∴，
∵AE＝AD，CF＝AC，
∴，
∵∠B＝∠DAC，
∴△ABC∽△DAC，
∴∠BAC＝∠D＝115°，
（2）∵△ABC∽△DAC，
∴，
∴＝36，
∵AC＞0，
∴AC＝6，
∴CF＝6，
∵EF∥AC，
∴．
22．李先生存入银行4万元，先存一个一年定期，一年后将本息自动转存为一个一年定期，年利率不变，两年后共得本息4.1412万元．
（1）一年定期存款的年利率为多少？（参考数值：＝2.035）
（2）若两年定期存款的年利率为2.25%，则李先生4万元存款已得到的利息比按两年定期存款所得利息少多少元？
【分析】（1）设一年定期存款的年利率为x，利用两年后的本息和＝本金×（1+年利率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用利息＝本金×年利率×存款年数，可求出按两年定期存款获得的利润，再将两种存款方式获得的利润做差后即可得出结论．
解：（1）设一年定期存款的年利率为x，
依题意得：4（1+x）2＝4.1412，
解得：x1＝0.0175＝1.75%，x2＝﹣2.0175（不合题意，舍去）．
答：一年定期存款的年利率为1.75%．
（2）40000×2.25%×2＝1800（元），
1800﹣（41412﹣40000）＝388（元）．
答：李先生4万元存款已得到的利息比按两年定期存款所得利息少388元．
23．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点M是边DC上一动点（点M不与边DC端
点重合），点O在边AD上，且OA＝OM，作MN⊥MO，交BC于点N．设DM＝x，OM＝y．
（1）求证：△OMD∽△MNC．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）当x＝2时，求△MNC的周长．
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠DOM＝∠CMN，根据相似三角形的判定方法可得出结论；
（2）由勾股定理得出（8﹣y）2+x2＝y2，则可得出答案；
（3）当x＝2时，求出y＝，由相似三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DMO+∠DOM＝90°，
又∵∠DMO+∠OMN+∠CMN＝180°，∠OMN＝90°，
∴∠DMO+∠CMN＝90°，
∴∠DOM＝∠CMN，
∴△OMD∽△MNC；
（2）在Rt△OMD中，OD＝AD﹣OA＝8﹣y，
由勾股定理得，（8﹣y）2+x2＝y2，
∴y＝；
（3）当x＝2时，y＝，
∵OA＝OM，
∴△OMD的周长＝AD+DM＝x+8＝2+8＝10，OD＝8﹣y＝8﹣＝，
∵△MNC∽△OMD，
∴△MNC的周长：△OMD的周长＝MC：OD，
即△MNC的周长：10＝（8﹣2）：，
∴△MNC的周长＝16．
24．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm．如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）是否存在某时刻t使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（2）如果BP＝PQ，求此时t的值．
【分析】（1）根据PD∥BC，可得＝，所以＝，得PD＝，由S△APQ＝2t×＝﹣t2+6t＝12，得t2﹣5t+10＝0，由△＝（﹣5）2﹣4×1×10＝﹣15＜0，可得不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；
（2）根据勾股定理可得QD2+PD2＝PQ2，所以得（）2+（）2＝（2t）2，解方程可得t的值．
解：（1）不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，理由如下：
如图，过点P作PD⊥AC于点D，
∴PD∥BC，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵AB＝10cm，AC＝8cm．
∴BC＝6cm，
假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△APQ＝S△ABC，
∵S△ABC＝AC BC＝8×6＝24（cm2），
∴S△APQ＝12（cm2），
∵PD∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝，
∴S△APQ＝2t×＝﹣t2+6t，
∴﹣t2+6t＝12，
化简得t2﹣5t+10＝0，
∵△＝（﹣5）2﹣4×1×10＝﹣15＜0，
∴此方程无实数根，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；
（2）∵PD∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝，
∵PD＝，PQ＝BP＝2t，
∴QD＝AD﹣AQ＝﹣2t＝，
在Rt△PQD中，根据勾股定理，得
QD2+PD2＝PQ2，
∴（）2+（）2＝（2t）2，
化简，得13t2﹣90t+125＝0，
解得t1＝5，t2＝，
∵t＝5＞4，不符合题意，舍去，
∴t＝s．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD交BD的延长线于点E，△ABC∽△EDA．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求的值．
【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠1+∠2的度数，根据三角形外角性质即可得出∠3的度数，最后根据相似三角形的对应角相等，即可得出结论；
（2）过A作AF⊥DE于点F，设AF＝a，易得DE＝2a，DF＝a，AD＝a，BF＝a+a，依据勾股定理即可得到AB2＝AF2+BF2＝（4+2）a2，最后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得出结论．
解：（1）∵AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠BAC）＝90°＝45°，
∴∠3＝∠1+∠2＝45°，
∵△ABC∽△EDA，
∴∠ABC＝∠3＝45°；
（2）过A作AF⊥DE于点F，
∵∠3＝45°，AE⊥AD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
设AF＝a，则DE＝2a，DF＝a，
Rt△ADF中，AD＝a，
∵2∠1＝2∠2＝45°，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝BD＝a，
∴BF＝a+a，
在Rt△ABF中，AB2＝AF2+BF2＝a2+（a+a）2＝（4+2）a2，
∵△ABC∽△EDA，
∴＝＝＝．