高中数学人教A版（2019） 必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式

高中数学人教A版（2019） 必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1．（2021高一下·铜仁期末）不等式 的解集为（　　）
A． 或 B．
C． 或 D．
2．（2021高二下·梅河口期末）设 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021高一下·湛江期末）若对于任意的 ， 恒成立，则实数 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高一下·广东期末）若 ，则 的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．4
5．（2021高一下·阳江期末）不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021高一上·扬中开学考）若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021高二下·梅河口期末）若函数 的两个零点一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（0，1]
C． D．
8．（2021高一下·威宁县期末）已知 ， ，且 ，则下列结论中正确的是（　　）
A． 有最小值4 B． 有最小值1
C． 有最大值4 D． 有最小值4
二、多选题
9．（2021高一下·茂名期末）设正实数 满足 ，则（　　）
A． B．
C． 有最大值 D． 有最小值
10．（2021高一下·湖北开学考）下列说法正确的是（　　）
A． 的最小值为2
B． 的最小值为1
C． ， 的最大值为3
D． 的最小值为4，
11．（2021高一下·衢州月考）若 ， ，则下列结论正确的有（　　）
A．
B． 有最小值
C．
D．若 ，则 的最大值为
12．（2020高一上·郴州期末）已知关于 的不等式 解集为 ，则（　　）
A．
B．不等式 的解集为
C．
D．不等式 的解集为
三、填空题
13．（2021高一上·扬中开学考）若 是 的真子集，则实数a的取值范围是　 　．
14．（2021高一下·贵阳期末）函数 的最小值是　 　．
15．（2020高一上·枣庄期末）已知 ， ， ，则 的最小值为　 　.
16．（2021高一下·汕头月考）已知函数 ，对一切实数 恒成立，则 的范围为　 　
四、解答题
17．（2021高一上·扬中开学考）解关于 的不等式 .
18．（2021高一上·扬中开学考）设全集为 R，集合 ， ．
（1）求 ；
（2）已知 ，若 ，求实数 的取值范围.
19．（2021高一下·成都月考）已知关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0．
（1）若不等式的解集为（-，1），求实数k的值；
（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．
20．（2021高一下·金华期末）函数 ， ，其中 ．
（1）若函数 为偶函数，求函数 的值域；
（2）若不存在 ，使得 和 同时成立，求 的取值范围．
21．（2021高二下·梅河口期末）已知函数 的定义域为 .
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，函数 在 上的最大值与最小值互为相反数，求实数 的值．
22．（2021高一下·天津期中）南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南鸢同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔字楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间，南同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为45°，即 ，其中 分别在边 上，记 .
（1）南鸢同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试题，设AC与PQ相交于点R，当 时，请你求出：
（i）线段DQ的长为多少？
（ii）线段AR的长为多少？
（2）为节省能源，南鸢同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积(即四边形 的面积，记为S)最大，θ应取何值？S的最大值为多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 的实数根为 和 ，
所以根据一元二次不等式与方程的关系得不等式 的解集为 .
故答案为：D
【分析】 根据一元二次不等式对应方程的两个实数根，写出解集即可.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得，记P={x|x2<3x}={x|0记q=
则
故p是q的必要而不充分条件
故答案为：B
【分析】根据一元二次不等式及分式不等式的解法，结合充分必要条件的判断求解即可
3．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：对于任意的 ， 恒成立，等价于当 时， 恒成立，即 ，
因为 ，即 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
故答案为：B
【分析】 由参数分离和基本不等式的运用求最值，结合不等式恒成立思想，可得所求a的最小值.
4．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： ，
，
（当且仅当 时等号成立）。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
5．【答案】A
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：原不等式可以转化为： ，
当 时，可知 ，对应的方程的两根为1， ，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为： .
故答案为：A.
【分析】 根据a<0，把不等式化为 ，求出解集即可.
6．【答案】D
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：∵不等式 的解集为
∴ =m2-4×1×1≤0
解得-2≤m≤2
故答案为：D
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
7．【答案】A
【知识点】一元二次不等式的解法；函数的零点
【解析】【解答】解：∵函数 的两个零点一个大于1，一个小于1
∴mf(1)<0
即m(2m-2)<0
解得0故答案为：A
【分析】根据函数的零点的几何意义，结合一元二次不等式的解法，运用数形结合思想求解即可.
8．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解： ， ，且 ，
对于A， ，当且仅当 时取等号，所以A符合题意，
对于B，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，即 有最大值1，所以B不符合题意，
对于C，因为 ，当且仅当 时取等号，即 有最小值4，所以C不符合题意，
对于D，因为 ，当且仅当 时取等号，即 有最大值4，所以D不符合题意，
故答案为：A
【分析】 根据条件可得出 然后根据基本不等式即可求出，然后即可判断选项A正确；根据可得出从而判断B错误；根据基本不等式即可求出 ，从而判断选项C错误；根据即可判断选项D错误.
9．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 ，
当且仅当 时等号成立，所以 ，所以A符合题意．
由 ，当且仅当 时取等号，
因为 ，所以B不符合题意；
由 ，当且仅当 时等号成立，
所以C符合题意；
由 ，当且仅当 时等号成立，
所以D符合题意．
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而找出正确的选项。
10．【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】A中， 时 ，故错误；
B中，因为 ，则 ，故 时，最小值是1，正确；
C中， 时， ，当且仅当 即 时取等号，故最大值是3，正确；
D中，当 时， ，由基本不等式可得 ，当且仅当 ，即当 时，等号成立，这与 矛盾，所以错误；
故答案为：BC．
【分析】利用不等式的性质及基本不等式对选项逐个进行判断，即可得出答案。
11．【答案】A,C,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A选项， ， ，则 ， ，
则 ，即 ，A选项正确；
对于B选项，构造函数 ，任取 、 且 ，则 ，
，
， ， ， ，即 ，
所以，函数 在区间 上单调递减，
，则 ，即 无最小值，
从而可知， 无最小值，B选项错误；
对于C选项，因为 ， ，则 ， ，所以， ，C选项正确；
对于D选项， ，可得 ，
因为 ， ，解得 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】 根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假可得结论．
12．【答案】B,C,D
【知识点】一元二次不等式的解法；二次函数与一元二次不等式的解的对应关系
【解析】【解答】因为关于 的不等式 解集为 ，
所以 和 是方程 的两个实根，且 ，故 错误；
所以 ， ，所以 ，
所以不等式 可化为 ，因为 ，所以 ，故 正确；
因为 ，又 ，所以 ，故 正确；
不等式 可化为 ，又 ，
所以 ，即 ，即 ，解得 ,故 正确.
故答案为：BCD.
【分析】由已知可得 和 是方程 的两个实根，由韦达定理可得 ， ，解得 ，且，然后对应各个选项逐个判断，即可得出答案。
13．【答案】a≥0
【知识点】子集与真子集；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：∵ 是 的真子集
∴ 是非空集合
则a≥0
故答案为：a≥0
【分析】根据真子集的定义，结合一元二次不等式的解法求解即可.
14．【答案】3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，
当且仅当x=2时取等号。
故答案为：3。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出函数 的最小值。
15．【答案】16
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】原式 ；
当且仅当 即 ， 时取等.
所以 的最小值为16.
故答案为：16
【分析】首先根据题意整理化简原式再由基本不等式即可求出最小值即可。
16．【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：∵函数 ，对一切实数 恒成立
∴①当m=0时，-1<0恒成立，故m=0符合；
②当m≠0时，需满足，解得-4综上，-4故答案为：(-4，0]
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
17．【答案】解：原不等式可化为 ，
⑴当 时，不等式为 ，解为 ；
⑵当 时，不等式为 ，
解为 ；
⑶当 时，不等式为 ，
①若 时，不等式解为 ；
②若 时，不等式解为 ；
③若 时，不等式解为
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，针对a的大小，运用分类讨论思想求解即可.
18．【答案】（1）由 得 或
，
由 ， ， ，
（2）① ，即 时， ，成立；
② ，即 时 ，
得 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式以及绝对值不等式的解法，结合补集及交集的运算求解即可；
（2）根据子集的定义，结合分类讨论思想求解即可.
19．【答案】（1）解：关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为（-，1），
所以-和1是方程2kx2+kx﹣1＝0的两个实数根，代入x＝1得2k+k﹣1＝0，解得k=
（2）解：若不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为R，
则k＝0时，不等式为﹣1＜0，满足题意；k≠0时，应满足，解得﹣8＜k＜0；
综上知，实数k的取值范围是﹣8＜k≤0
【知识点】一元二次不等式的实际应用；二次函数与一元二次不等式的解的对应关系；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据三个“二次”的关系直接求解即可；
（2）根据一元二次不等式的解法，运用分类讨论法求解即可.
20．【答案】（1）因为二次函数 为偶函数，则 ，解得 ，
所以， ，则 ， .
①当 时， ；
②当 时， .
综上所述，函数 的值域为 ；
（2）根据题意可知，不等式 和 的解集的并集为 ，
先解不等式 ，即 ，
即 （*）.
①当 时，（*）式即为 ，显然成立；
②当 时， ，（*）式的解集为 ，
只需当 时， ，即 ，可得 ，
即 ，故 ；
③当 时， ，（*）式的解集为 ，
只需当 时， ，即 ，可得 ，
即 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
【知识点】函数的值域；偶函数；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，从而求出a的值，进而求出函数f(x)的解析式和函数g(x)的解析式，进而求出分段函数 的解析式，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，进而求出分段函数 的值域。
（2） 根据题意可知，不等式 和 的解集的并集为 ，再利用分类讨论的方法结合一元二次不等式求解集的方法结合根与系数的关系，从而结合绝对值不等式的求解方法，进而求出实数a的取值范围。
21．【答案】（1）因为 的定义域为
对任意的 上恒成立
① 当 时， 符合题意
② 当 时， 解得， ，
综上所述： ，即
（2）令
开口向上的二次函数的对称轴为 当 时， 递减， 也递减；
当 时， 递增， 也递增
而 ，
解得 （舍）或 ， .
【知识点】复合函数的单调性；二次函数在闭区间上的最值；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立问题的解法，结合分类讨论思想求解即可；
（2）根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性与最值求解即可.
22．【答案】（1）解：如图建立平面直角坐标系，由于 ， ，
所以 ，
由 ，得 ，所以 ,
因为 ， ，所以 ，
在 中， ，则 ，
所以 ，
设直线 为 ，则 ，解得 ，
所以直线 为 ，
直线 为 ，
由 ，得 ，即 ，
所以
（2） ， ，
所以 ，
所以 ，
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时，S取得最大值，最大值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】 (1)直接利用已知条件求出t的关系式，进一步求出周长为定值．
（2）利用关系式的恒等变换和不等式的基本性质的应用求出结果．
1 / 1高中数学人教A版（2019） 必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1．（2021高一下·铜仁期末）不等式 的解集为（　　）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 的实数根为 和 ，
所以根据一元二次不等式与方程的关系得不等式 的解集为 .
故答案为：D
【分析】 根据一元二次不等式对应方程的两个实数根，写出解集即可.
2．（2021高二下·梅河口期末）设 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得，记P={x|x2<3x}={x|0记q=
则
故p是q的必要而不充分条件
故答案为：B
【分析】根据一元二次不等式及分式不等式的解法，结合充分必要条件的判断求解即可
3．（2021高一下·湛江期末）若对于任意的 ， 恒成立，则实数 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：对于任意的 ， 恒成立，等价于当 时， 恒成立，即 ，
因为 ，即 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
故答案为：B
【分析】 由参数分离和基本不等式的运用求最值，结合不等式恒成立思想，可得所求a的最小值.
4．（2021高一下·广东期末）若 ，则 的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．4
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： ，
，
（当且仅当 时等号成立）。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
5．（2021高一下·阳江期末）不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：原不等式可以转化为： ，
当 时，可知 ，对应的方程的两根为1， ，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为： .
故答案为：A.
【分析】 根据a<0，把不等式化为 ，求出解集即可.
6．（2021高一上·扬中开学考）若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：∵不等式 的解集为
∴ =m2-4×1×1≤0
解得-2≤m≤2
故答案为：D
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
7．（2021高二下·梅河口期末）若函数 的两个零点一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（0，1]
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式的解法；函数的零点
【解析】【解答】解：∵函数 的两个零点一个大于1，一个小于1
∴mf(1)<0
即m(2m-2)<0
解得0故答案为：A
【分析】根据函数的零点的几何意义，结合一元二次不等式的解法，运用数形结合思想求解即可.
8．（2021高一下·威宁县期末）已知 ， ，且 ，则下列结论中正确的是（　　）
A． 有最小值4 B． 有最小值1
C． 有最大值4 D． 有最小值4
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解： ， ，且 ，
对于A， ，当且仅当 时取等号，所以A符合题意，
对于B，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，即 有最大值1，所以B不符合题意，
对于C，因为 ，当且仅当 时取等号，即 有最小值4，所以C不符合题意，
对于D，因为 ，当且仅当 时取等号，即 有最大值4，所以D不符合题意，
故答案为：A
【分析】 根据条件可得出 然后根据基本不等式即可求出，然后即可判断选项A正确；根据可得出从而判断B错误；根据基本不等式即可求出 ，从而判断选项C错误；根据即可判断选项D错误.
二、多选题
9．（2021高一下·茂名期末）设正实数 满足 ，则（　　）
A． B．
C． 有最大值 D． 有最小值
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 ，
当且仅当 时等号成立，所以 ，所以A符合题意．
由 ，当且仅当 时取等号，
因为 ，所以B不符合题意；
由 ，当且仅当 时等号成立，
所以C符合题意；
由 ，当且仅当 时等号成立，
所以D符合题意．
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而找出正确的选项。
10．（2021高一下·湖北开学考）下列说法正确的是（　　）
A． 的最小值为2
B． 的最小值为1
C． ， 的最大值为3
D． 的最小值为4，
【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】A中， 时 ，故错误；
B中，因为 ，则 ，故 时，最小值是1，正确；
C中， 时， ，当且仅当 即 时取等号，故最大值是3，正确；
D中，当 时， ，由基本不等式可得 ，当且仅当 ，即当 时，等号成立，这与 矛盾，所以错误；
故答案为：BC．
【分析】利用不等式的性质及基本不等式对选项逐个进行判断，即可得出答案。
11．（2021高一下·衢州月考）若 ， ，则下列结论正确的有（　　）
A．
B． 有最小值
C．
D．若 ，则 的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A选项， ， ，则 ， ，
则 ，即 ，A选项正确；
对于B选项，构造函数 ，任取 、 且 ，则 ，
，
， ， ， ，即 ，
所以，函数 在区间 上单调递减，
，则 ，即 无最小值，
从而可知， 无最小值，B选项错误；
对于C选项，因为 ， ，则 ， ，所以， ，C选项正确；
对于D选项， ，可得 ，
因为 ， ，解得 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】 根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假可得结论．
12．（2020高一上·郴州期末）已知关于 的不等式 解集为 ，则（　　）
A．
B．不等式 的解集为
C．
D．不等式 的解集为
【答案】B,C,D
【知识点】一元二次不等式的解法；二次函数与一元二次不等式的解的对应关系
【解析】【解答】因为关于 的不等式 解集为 ，
所以 和 是方程 的两个实根，且 ，故 错误；
所以 ， ，所以 ，
所以不等式 可化为 ，因为 ，所以 ，故 正确；
因为 ，又 ，所以 ，故 正确；
不等式 可化为 ，又 ，
所以 ，即 ，即 ，解得 ,故 正确.
故答案为：BCD.
【分析】由已知可得 和 是方程 的两个实根，由韦达定理可得 ， ，解得 ，且，然后对应各个选项逐个判断，即可得出答案。
三、填空题
13．（2021高一上·扬中开学考）若 是 的真子集，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】a≥0
【知识点】子集与真子集；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：∵ 是 的真子集
∴ 是非空集合
则a≥0
故答案为：a≥0
【分析】根据真子集的定义，结合一元二次不等式的解法求解即可.
14．（2021高一下·贵阳期末）函数 的最小值是　 　．
【答案】3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，
当且仅当x=2时取等号。
故答案为：3。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出函数 的最小值。
15．（2020高一上·枣庄期末）已知 ， ， ，则 的最小值为　 　.
【答案】16
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】原式 ；
当且仅当 即 ， 时取等.
所以 的最小值为16.
故答案为：16
【分析】首先根据题意整理化简原式再由基本不等式即可求出最小值即可。
16．（2021高一下·汕头月考）已知函数 ，对一切实数 恒成立，则 的范围为　 　
【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：∵函数 ，对一切实数 恒成立
∴①当m=0时，-1<0恒成立，故m=0符合；
②当m≠0时，需满足，解得-4综上，-4故答案为：(-4，0]
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
四、解答题
17．（2021高一上·扬中开学考）解关于 的不等式 .
【答案】解：原不等式可化为 ，
⑴当 时，不等式为 ，解为 ；
⑵当 时，不等式为 ，
解为 ；
⑶当 时，不等式为 ，
①若 时，不等式解为 ；
②若 时，不等式解为 ；
③若 时，不等式解为
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，针对a的大小，运用分类讨论思想求解即可.
18．（2021高一上·扬中开学考）设全集为 R，集合 ， ．
（1）求 ；
（2）已知 ，若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）由 得 或
，
由 ， ， ，
（2）① ，即 时， ，成立；
② ，即 时 ，
得 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式以及绝对值不等式的解法，结合补集及交集的运算求解即可；
（2）根据子集的定义，结合分类讨论思想求解即可.
19．（2021高一下·成都月考）已知关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0．
（1）若不等式的解集为（-，1），求实数k的值；
（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为（-，1），
所以-和1是方程2kx2+kx﹣1＝0的两个实数根，代入x＝1得2k+k﹣1＝0，解得k=
（2）解：若不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为R，
则k＝0时，不等式为﹣1＜0，满足题意；k≠0时，应满足，解得﹣8＜k＜0；
综上知，实数k的取值范围是﹣8＜k≤0
【知识点】一元二次不等式的实际应用；二次函数与一元二次不等式的解的对应关系；一元二次不等式与一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据三个“二次”的关系直接求解即可；
（2）根据一元二次不等式的解法，运用分类讨论法求解即可.
20．（2021高一下·金华期末）函数 ， ，其中 ．
（1）若函数 为偶函数，求函数 的值域；
（2）若不存在 ，使得 和 同时成立，求 的取值范围．
【答案】（1）因为二次函数 为偶函数，则 ，解得 ，
所以， ，则 ， .
①当 时， ；
②当 时， .
综上所述，函数 的值域为 ；
（2）根据题意可知，不等式 和 的解集的并集为 ，
先解不等式 ，即 ，
即 （*）.
①当 时，（*）式即为 ，显然成立；
②当 时， ，（*）式的解集为 ，
只需当 时， ，即 ，可得 ，
即 ，故 ；
③当 时， ，（*）式的解集为 ，
只需当 时， ，即 ，可得 ，
即 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
【知识点】函数的值域；偶函数；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，从而求出a的值，进而求出函数f(x)的解析式和函数g(x)的解析式，进而求出分段函数 的解析式，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，进而求出分段函数 的值域。
（2） 根据题意可知，不等式 和 的解集的并集为 ，再利用分类讨论的方法结合一元二次不等式求解集的方法结合根与系数的关系，从而结合绝对值不等式的求解方法，进而求出实数a的取值范围。
21．（2021高二下·梅河口期末）已知函数 的定义域为 .
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，函数 在 上的最大值与最小值互为相反数，求实数 的值．
【答案】（1）因为 的定义域为
对任意的 上恒成立
① 当 时， 符合题意
② 当 时， 解得， ，
综上所述： ，即
（2）令
开口向上的二次函数的对称轴为 当 时， 递减， 也递减；
当 时， 递增， 也递增
而 ，
解得 （舍）或 ， .
【知识点】复合函数的单调性；二次函数在闭区间上的最值；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立问题的解法，结合分类讨论思想求解即可；
（2）根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性与最值求解即可.
22．（2021高一下·天津期中）南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南鸢同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔字楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间，南同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为45°，即 ，其中 分别在边 上，记 .
（1）南鸢同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试题，设AC与PQ相交于点R，当 时，请你求出：
（i）线段DQ的长为多少？
（ii）线段AR的长为多少？
（2）为节省能源，南鸢同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积(即四边形 的面积，记为S)最大，θ应取何值？S的最大值为多少？
【答案】（1）解：如图建立平面直角坐标系，由于 ， ，
所以 ，
由 ，得 ，所以 ,
因为 ， ，所以 ，
在 中， ，则 ，
所以 ，
设直线 为 ，则 ，解得 ，
所以直线 为 ，
直线 为 ，
由 ，得 ，即 ，
所以
（2） ， ，
所以 ，
所以 ，
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时，S取得最大值，最大值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】 (1)直接利用已知条件求出t的关系式，进一步求出周长为定值．
（2）利用关系式的恒等变换和不等式的基本性质的应用求出结果．
1 / 1