高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程

高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2019高二上·德州月考）抛物线 的焦点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．（2019高二上·德州月考）方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是（　　）.
A． B． 或
C． D． 或
3．（2020高二上·济宁期末）椭圆 与椭圆 的（　　）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
4．（2020高二上·山东月考）青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高二上·枣庄期末）已知双曲线 ： 的左 右焦点分别为 ， ，点 是 的右支上一点， ，连接 与 轴交于点 ，若 ( 为坐标原点)，则双曲线 的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高二上·临沂期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆 的中心为原点，焦点 ， 均在 轴上， 的面积为 ，过点 的直线交 于点 ， ，且 的周长为8．则 的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
7．（2019高二上·寿光月考）以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A．B为两个定点，k为非零常数， ，则动点P的轨迹为双曲线；②曲线 表示焦点在y轴上的椭圆，则 ；③方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲 与椭圆 有相同的焦点．其中真命题的序号（　　）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
8．（2019高二上·宁波期末）若椭圆 与双曲线 有公共的焦点 ， ，点 是两条曲线的交点， ，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·商河月考）点 ， 为椭圆 的两个焦点，椭圆 上存在点 ，使得 ，则椭圆 的方程可以是（　　）
A． B． C． D．
10．（2019高二上·菏泽月考）已知椭圆 的左，右焦点是 是椭圆上一点，若 ，则椭圆的离心率可以是（　　）
A． B． C． D．
11．（2020高二上·淄博期末）已知 ， 分别为双曲线 的左右焦点， ， 分别为其实轴的左右端点，且 ，点 为双曲线右支一点， 为 的内心，则下列结论正确的有（　　）
A．离心率
B．点 的横坐标为定值
C．若 成立，则
D．若 垂直 轴于点 ，则
12．（2020高二上·山东月考）已知曲线 上任意一点到直线 的距离比它到点 的距离大2，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线 的方程为
B．若曲线 上的一点 到点 的距离为4，则点 的纵坐标是
C．已知曲线 上的两点 ， 到点 的距离之和为10，则线段 的中点横坐标是5
D．已知 ， 是曲线 上的动点，则 的最小值为5
三、填空题
13．（2020高二上·山东月考）已知双曲线 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为　 　
14．（2018高二下·龙岩期中）已知过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点， 是坐标原点， 则 的面积是　 　
15．（2019高二上·菏泽月考）设椭圆 与双曲线 有公共焦点 ， ， 是两条曲线的一个公共点，则 等于　 　．
16．（2019高二上·章丘月考）设 分别是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，若线段 的中点在 轴上，则 =　 　.
四、解答题
17．（2018高二上·寿光月考）已知抛物线 ： 的焦点与椭圆 ： （ ）右焦点 重合，且点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程及离心率；
（2）若倾斜角为 的直线 过椭圆 的左焦点 ，且与椭圆相交于 、 两点，求 的面积.
18．（2015高二上·菏泽期末）已知双曲线 （a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线D：y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，双曲线的离心率为 ，△ABO的面积为2 ．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）求p的值．
19．（2018高二上·梅河口期末）已知椭圆 过 两点.
（1）求椭圆 的方程及离心率.
（2）设 为第三象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：四边形 的面积为定值.
20．（2018高二下·黑龙江月考）已知抛物线 的焦点 与椭圆 的右焦点重合.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）斜率为 的直线 交抛物线 于不同两点 ，求证： .
21．（2017高二上·佳木斯月考）若椭圆 上有一动点 ， 到椭圆 的两焦点 的距离之和等于 ，椭圆 的离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点 的直线 与椭圆 交于不同两点 ， （0为坐标原点），且 ，求实数 的取值范围.
22．（2015高二上·济宁期末）已知椭圆C1： （a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C2：x2=4y的焦点重合，F1、F2分别是椭圆C1的左、右焦点，C1的离心率e= ，过F2的直线l与椭圆C1交于M，N两点，与抛物线C2交于P，Q两点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）当直线l的斜率k=﹣1时，求△PQF1的面积；
（3）在x轴上是否存在点A， 为常数？若存在，求出点A的坐标和这个常数；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线方程的标准方程即： ，
据此可得抛物线的焦点位于 轴上，其焦点坐标为 ，
故答案为：D.
【分析】将抛物线方程转化为抛物线的标准方程，再利用焦点的位置，从而求出抛物线的焦点坐标。
2．【答案】D
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】由于方程 表示双曲线，所以 ，解得 或 .
故答案为：D
【分析】根据方程表示双曲线的条件列不等式，解不等式求得 的取值范围.
3．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】可得椭圆 的长轴长为10，短轴长为8，离心率为 ，焦距为 ；
椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦距为 ；
故两个椭圆的焦距相等.
故答案为：D.
【分析】利用椭圆的标准方程结合长轴长、短轴长的定义结合椭圆的离心率公式和焦距的定义，进而找出正确的选项。
4．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意作出轴截面如图：M点是双曲线与截面正方形的交点之一，
设双曲线的方程为： ．
最短瓶口直径为A1A2＝2a，则由已知可得M是双曲线上的点，且M（2a，2a）．
故 ，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），
化简后得 ，解得 ．
故答案为：C．
【分析】 由题意做出轴截面，最短直径为2a，根据已知条件点(2a， 2a)在双曲线上，代入双曲线的标准方程，结合a，b，c的关系可求得离心率e的值.
5．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
由 ，所以 ，
因为 ，解得： ， ，
在 中，由勾股定理可得： ，
即 ，可得 ，所以 ，
可得 ，即 ，
所以渐近线方程为： ，
故答案为：B
【分析】利用，结合 可得，再利用双曲线的定义可得 ， ，在中，由勾股定理可得a，c之间的关系，再结合可得a，b之间的关系，即可求出渐近线方程。
6．【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】因为 的周长为8，
所以 ，
由椭圆的定义可知：
所以 ，
由题意可得： ，解得 ，
因为椭圆的焦点在 轴上，所以 的标准方程为 ．
故答案为：C
【分析】利用已知条件列出方程组，求出，然后求解椭圆方程即可。
7．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】①设A．B为两个定点，k为非零常数， ，则动点P的轨迹为双曲线；
当 时，表示椭圆；当 时，表示线段；当 时不存在；故①错误
②曲线 表示焦点在y轴上的椭圆，则 ；故②正确
③方程 的两根可分别为 和 ，可以作为椭圆和双曲线的离心率；③正确
④双曲 与椭圆 的焦点均为 ，故④正确．
故答案为：A
【分析】依次判断每个选项的正误：当 时，表示椭圆故①错误；根据 解得答案②正确；两根可分别为 和 ③正确；焦点均为 ，故④正确；得到答案.
8．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设P在第一象限，
再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，
由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，
解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，
由∠F1PF2 ，
可得 ．
∴ ，由e1e2＝1，即 ，
得： ，解得： （舍），或 ，
即 ．
故答案为：B．
【分析】由题意可得 ，又因为 ，计算可得e1的值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆方程为 ，
设椭圆上顶点为B，椭圆 上存在点 ，使得 ，
则需 ，
，
即 ， ，
则 ，所以ACD满足.
故答案为：ACD.
【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足 ，即 ，可得 ，即可得出答案.
10．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆的定义，可得 ，又由 ， 解得 ，
又由在 中， ，可得 ，所以 ，
即椭圆的离心率 的取值范围是 .
故答案为： B C D ．
【分析】由椭圆的定义和题设条件 ， 求得 ，再在 中，结合三角形的性质，得到 ，求得离心率的范围，即可求解.
11．【答案】A,B,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】A. ，故有 ，则 左右两边同除 得
，解得 ，A对
B.设圆 与 轴相切于点 ，与 相切于点 ，与 相切于点 ，
则如图有
故
则有
则有 ，又 ，
故
则 ，故 ，点 的横坐标为定值 ，则B对.
C. 若 成立，设内切圆半径为 ，
则有
则
则 ，C对
D. 若 垂直 轴于点 ，设
则
则
又 ，故
故
D不符合题意
故答案为：ABC
【分析】 选项A，结合，与 左右两边同除 得可得关于e的方程，解之即可；
选项B，设内切圆I与 的三边分别相切于点M，N，T，根据圆的切线长定理与双曲线的定义，可推出，即点 的横坐标为定值 ；
选项C，设圆I的半径为r，则有，再利用双曲线的定义，即可得解；
选项D，假设点P在第一象限，设其坐标为（m，n），表示出|，，再判断选项中的等式是否成立即可．
12．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】对于A，曲线 上任意一点到直线 的距离比它到点 的距离大2，可得曲线 上任意一点到直线 的距离等于它到点 的距离，根据抛物线的定义可得曲线 的方程为 ，故正确；
对于B， 由A选项得曲线 的方程为 ，设 ，根据抛物线定义可得 ，解得则点 的纵坐标是 ，故正确；
对于C，设 ，则 ，即 ，则线段 的中点横坐标是3，故错误；
对于D，因为 在抛物线的内部，根据抛物线定义，当 垂直 这条直线时 最小，最小值为 ，故正确.
故答案为：ABD .
【分析】 A、根据题意可得C上每一点到x=- 2的距离与到(2，0)的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C的方程，进而可判断是否正确；
B、设A点坐标为在C上，由抛物线的定义可得解得b，进而可判断是否正确；
C、设 ，由抛物线的定义可得解得，进而可得的MN中点横坐标，进而可判断是否正确；
D、 |PA|+|PB|最小值为点A到直线x=-2的距离，进而可判断是否正确.
13．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线 的离心率为2，
所以 ，所以 ，
所以该双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
【分析】 利用双曲线的离心率，推出a， c关系，转化为a， b关系，然后求解双曲线的渐近线方程.
14．【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线y2=4x的焦点F（1，0），p=2.由 ，
即 .∴|BF|=2.
∵|AF|=2，|BF|=2，且抛物线方程中，当x=1时y=±2，
∴AB=4，即AB为抛物线的通径，
∴ .
【分析】由题意结合抛物线的性质求得BF的长度，结合图形的几何性质整理计算即可求得最终结果．
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ， ， ，则
, 18,
。
【分析】利用椭圆的标准方程求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，进而求出焦距，再利用椭圆的定义和双曲线的定义，从而求出，再利用完全平方和公式结合余弦定理，从而求出 的值。
16．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ，中点 .
由题意得 ， ， 由线段 的中点在 轴上，
则有 ， ，代入 中得P点坐标
为 或 根据焦半径公式可得， ，
∴ .
故答案为： .
【分析】先设P点，中点，再求焦点 ,再根据线段 的中点在 轴上，求出P点坐标，再利用焦半径公式即可得 的长,则 可解.
17．【答案】（1）解：由题意知，抛物线 的焦点为 ∴椭圆 的右焦点 的坐标为 。
∴①
又点 在椭圆 上，
∴ 即 ②
由①②，解得 ，
∴椭圆 的方程为
∴离心率
（2）解：由（1）知 ∴直线 的方程为 ，即
设 ， 由方程组
消 整理，得 ，∴ ，
∴
又点 到直线 的距离
∴
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】解答本题的关键在于牢固掌握椭圆方程及离心率的求法，三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
18．【答案】（1）解：由双曲线的离心率为 ，
所以e= = = ，
由此可知 = ，
双曲线 的两条渐近线方程为y=± x，
即y=± x；
（2）解：由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣ ，
由 ，得 ，即A（﹣ ，﹣ p）；
同理可得B（﹣ ， p）．
所以|AB|= p，
由题意得△ABO的面积为 p =2 ，
由于p＞0，解得p=2 ，所求p的值为2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）由离心率公式和a，b，c的关系，可得 = ，即可得到双曲线的渐近线方程；（2）求出抛物线的准线方程，代入渐近线方程，可得A，B的坐标，得到AB的距离，由三角形的面积公式，计算即可得到p的值．
19．【答案】（1）解：把 分别代入椭圆方程得 .所以椭圆 的方程为 .
因为 ，
所以离心率 .
（2）解：设 ，其中 .
则直线 方程为 ，直线 方程为 .
所以 .
所以 .
所以四边形 的面积为
因为点 在椭圆 上，所以 代入上式得
.
因此，四边形 的面积为定值2
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】第二小题也可以设P(2cos&，sin&)，然后化简得到所求面积为定值。
20．【答案】（1）解：由 ，所以椭圆 在右焦点F(1，0)，
∴ ，即p=2.
所以抛物线C的标准方程为 .
（2）解：设直线l的方程为y=-x+b，将它代入抛物线 .
得 ，设 ，
则 ， .
又由直线l交抛物线C于不同两点A，B，
可得 ，所以 .
而 ，
令t=b+3，则t>2.
所以
当 ，即 ， 时，等号成立.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）本题利用抛物线的焦点 F 与椭圆的右焦点重合，求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线焦点坐标和p的关系式求出p的值，最后求出抛物线的标准方程。
（2）本题根据斜率为-1的直线设出直线的斜截式方程，再利用直线与抛物线相交的位置关系联立直线与抛物线的方程求出关于x的一元二次方程，再利用韦达定理找出两交点横坐标与直线纵截距b的关系式，结合直线l交抛物线C于不同两点A，B得出，即得出b的取值范围，再利用两点距离公式、韦达定理求出与b的关系式，利用换元法将b+3转化为t，最后利用有关于t的一元二次方程求最值的方法求出的最大值，即证出结果。
21．【答案】（1）解： 解得 所以椭圆方程
（2）解：由题意知直线的斜率存在.设 ，
由 得 ，
.
，
∵ ，∴ ，
∴ .
∵点 在椭圆上，
∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ .
∴ ，
∴ ，∴ .
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 或
∴实数 取值范围为
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）本题利用已知条件椭圆的定义即椭圆上的点到两焦点的距离之和等于2a及离心率公式求出a和c，再利用a，b，c 三者关系式求出b，最后代入椭圆标准方程中求出椭圆的标准方程。
（2）本题利用椭圆与直线相交的位置关系，联立椭圆和直线的方程求出关于x的一元二次方程，再利用两个交点条件利用得到k的取值范围，再利用韦达定理求出两根之和与两根之积与k的关系式，利用已知条件找出点P的坐标与两交点坐标和t的关系式，结合点P在椭圆上找出k与t的关系式，再利用弦长公式求出 | P A P B |，最后利用求出t的取值范围。
22．【答案】（1）解：由抛物线C2：x2=4y的焦点为（1，0），可得b=1，
由e= = ，a2﹣c2=1，解得a= ，
故椭圆C1的方程为 +y2=1
（2）解：由题意可得直线l：y=1﹣x，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入抛物线的方程x2=4y，可得
x2+4x﹣4=0，可得x1+x2=﹣4，x1x2=﹣4，
即有|PQ|= = =8，
由F1到直线l的距离为d= = ，
可得△PQF1的面积为 |PQ|d= ×8× =4
（3）解：设x轴上存在一点A（t，0），使得 为常数．
①直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x3，y3），N（x4，y4），
把直线l的方程代入椭圆方程化简可得（2k2+1）x2﹣4k2x+（2k2﹣2）=0，
∴x3+x4= ，x1x2= ，
∴y3y4=k2（x3﹣1）（x4﹣1）=k2[x3x4﹣（x3+x4）+1]，
∴ =（x3﹣t）（x4﹣t）+y3y4=（k2+1）x3x4﹣（k2+t）（x3+x4）+k2+t2
= +t2，
∵ 为常数，
∴ = ，
∴t= ，
此时 =﹣2+ =﹣ ；
②当直线l与x轴垂直时，此时点M、N的坐标分别为（1， ），（1，﹣ ），
当t= 时，亦有 =﹣ ．
综上，在x轴上存在定点A（ ，0），使得 为常数，
且这个常数为﹣
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）求得抛物线的焦点，可得b=1，再由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）由题意可得直线l：y=1﹣x，设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入抛物线的方程x2=4y，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，运用三角形的面积公式可得所求；（3）设x轴上存在一点A（t，0），使得 为常数．①直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x3，y3），N（x4，y4），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，再由恒为常数，可得t，可得常数；②当直线l与x轴垂直时，求得M，N的坐标，即可判断存在A和常数．
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2019高二上·德州月考）抛物线 的焦点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线方程的标准方程即： ，
据此可得抛物线的焦点位于 轴上，其焦点坐标为 ，
故答案为：D.
【分析】将抛物线方程转化为抛物线的标准方程，再利用焦点的位置，从而求出抛物线的焦点坐标。
2．（2019高二上·德州月考）方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是（　　）.
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】由于方程 表示双曲线，所以 ，解得 或 .
故答案为：D
【分析】根据方程表示双曲线的条件列不等式，解不等式求得 的取值范围.
3．（2020高二上·济宁期末）椭圆 与椭圆 的（　　）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】可得椭圆 的长轴长为10，短轴长为8，离心率为 ，焦距为 ；
椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦距为 ；
故两个椭圆的焦距相等.
故答案为：D.
【分析】利用椭圆的标准方程结合长轴长、短轴长的定义结合椭圆的离心率公式和焦距的定义，进而找出正确的选项。
4．（2020高二上·山东月考）青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意作出轴截面如图：M点是双曲线与截面正方形的交点之一，
设双曲线的方程为： ．
最短瓶口直径为A1A2＝2a，则由已知可得M是双曲线上的点，且M（2a，2a）．
故 ，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），
化简后得 ，解得 ．
故答案为：C．
【分析】 由题意做出轴截面，最短直径为2a，根据已知条件点(2a， 2a)在双曲线上，代入双曲线的标准方程，结合a，b，c的关系可求得离心率e的值.
5．（2020高二上·枣庄期末）已知双曲线 ： 的左 右焦点分别为 ， ，点 是 的右支上一点， ，连接 与 轴交于点 ，若 ( 为坐标原点)，则双曲线 的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
由 ，所以 ，
因为 ，解得： ， ，
在 中，由勾股定理可得： ，
即 ，可得 ，所以 ，
可得 ，即 ，
所以渐近线方程为： ，
故答案为：B
【分析】利用，结合 可得，再利用双曲线的定义可得 ， ，在中，由勾股定理可得a，c之间的关系，再结合可得a，b之间的关系，即可求出渐近线方程。
6．（2020高二上·临沂期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆 的中心为原点，焦点 ， 均在 轴上， 的面积为 ，过点 的直线交 于点 ， ，且 的周长为8．则 的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】因为 的周长为8，
所以 ，
由椭圆的定义可知：
所以 ，
由题意可得： ，解得 ，
因为椭圆的焦点在 轴上，所以 的标准方程为 ．
故答案为：C
【分析】利用已知条件列出方程组，求出，然后求解椭圆方程即可。
7．（2019高二上·寿光月考）以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A．B为两个定点，k为非零常数， ，则动点P的轨迹为双曲线；②曲线 表示焦点在y轴上的椭圆，则 ；③方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲 与椭圆 有相同的焦点．其中真命题的序号（　　）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】①设A．B为两个定点，k为非零常数， ，则动点P的轨迹为双曲线；
当 时，表示椭圆；当 时，表示线段；当 时不存在；故①错误
②曲线 表示焦点在y轴上的椭圆，则 ；故②正确
③方程 的两根可分别为 和 ，可以作为椭圆和双曲线的离心率；③正确
④双曲 与椭圆 的焦点均为 ，故④正确．
故答案为：A
【分析】依次判断每个选项的正误：当 时，表示椭圆故①错误；根据 解得答案②正确；两根可分别为 和 ③正确；焦点均为 ，故④正确；得到答案.
8．（2019高二上·宁波期末）若椭圆 与双曲线 有公共的焦点 ， ，点 是两条曲线的交点， ，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设P在第一象限，
再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，
由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，
解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，
由∠F1PF2 ，
可得 ．
∴ ，由e1e2＝1，即 ，
得： ，解得： （舍），或 ，
即 ．
故答案为：B．
【分析】由题意可得 ，又因为 ，计算可得e1的值.
二、多选题
9．（2020高二上·商河月考）点 ， 为椭圆 的两个焦点，椭圆 上存在点 ，使得 ，则椭圆 的方程可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆方程为 ，
设椭圆上顶点为B，椭圆 上存在点 ，使得 ，
则需 ，
，
即 ， ，
则 ，所以ACD满足.
故答案为：ACD.
【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足 ，即 ，可得 ，即可得出答案.
10．（2019高二上·菏泽月考）已知椭圆 的左，右焦点是 是椭圆上一点，若 ，则椭圆的离心率可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆的定义，可得 ，又由 ， 解得 ，
又由在 中， ，可得 ，所以 ，
即椭圆的离心率 的取值范围是 .
故答案为： B C D ．
【分析】由椭圆的定义和题设条件 ， 求得 ，再在 中，结合三角形的性质，得到 ，求得离心率的范围，即可求解.
11．（2020高二上·淄博期末）已知 ， 分别为双曲线 的左右焦点， ， 分别为其实轴的左右端点，且 ，点 为双曲线右支一点， 为 的内心，则下列结论正确的有（　　）
A．离心率
B．点 的横坐标为定值
C．若 成立，则
D．若 垂直 轴于点 ，则
【答案】A,B,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】A. ，故有 ，则 左右两边同除 得
，解得 ，A对
B.设圆 与 轴相切于点 ，与 相切于点 ，与 相切于点 ，
则如图有
故
则有
则有 ，又 ，
故
则 ，故 ，点 的横坐标为定值 ，则B对.
C. 若 成立，设内切圆半径为 ，
则有
则
则 ，C对
D. 若 垂直 轴于点 ，设
则
则
又 ，故
故
D不符合题意
故答案为：ABC
【分析】 选项A，结合，与 左右两边同除 得可得关于e的方程，解之即可；
选项B，设内切圆I与 的三边分别相切于点M，N，T，根据圆的切线长定理与双曲线的定义，可推出，即点 的横坐标为定值 ；
选项C，设圆I的半径为r，则有，再利用双曲线的定义，即可得解；
选项D，假设点P在第一象限，设其坐标为（m，n），表示出|，，再判断选项中的等式是否成立即可．
12．（2020高二上·山东月考）已知曲线 上任意一点到直线 的距离比它到点 的距离大2，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线 的方程为
B．若曲线 上的一点 到点 的距离为4，则点 的纵坐标是
C．已知曲线 上的两点 ， 到点 的距离之和为10，则线段 的中点横坐标是5
D．已知 ， 是曲线 上的动点，则 的最小值为5
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】对于A，曲线 上任意一点到直线 的距离比它到点 的距离大2，可得曲线 上任意一点到直线 的距离等于它到点 的距离，根据抛物线的定义可得曲线 的方程为 ，故正确；
对于B， 由A选项得曲线 的方程为 ，设 ，根据抛物线定义可得 ，解得则点 的纵坐标是 ，故正确；
对于C，设 ，则 ，即 ，则线段 的中点横坐标是3，故错误；
对于D，因为 在抛物线的内部，根据抛物线定义，当 垂直 这条直线时 最小，最小值为 ，故正确.
故答案为：ABD .
【分析】 A、根据题意可得C上每一点到x=- 2的距离与到(2，0)的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C的方程，进而可判断是否正确；
B、设A点坐标为在C上，由抛物线的定义可得解得b，进而可判断是否正确；
C、设 ，由抛物线的定义可得解得，进而可得的MN中点横坐标，进而可判断是否正确；
D、 |PA|+|PB|最小值为点A到直线x=-2的距离，进而可判断是否正确.
三、填空题
13．（2020高二上·山东月考）已知双曲线 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为　 　
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线 的离心率为2，
所以 ，所以 ，
所以该双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
【分析】 利用双曲线的离心率，推出a， c关系，转化为a， b关系，然后求解双曲线的渐近线方程.
14．（2018高二下·龙岩期中）已知过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点， 是坐标原点， 则 的面积是　 　
【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线y2=4x的焦点F（1，0），p=2.由 ，
即 .∴|BF|=2.
∵|AF|=2，|BF|=2，且抛物线方程中，当x=1时y=±2，
∴AB=4，即AB为抛物线的通径，
∴ .
【分析】由题意结合抛物线的性质求得BF的长度，结合图形的几何性质整理计算即可求得最终结果．
15．（2019高二上·菏泽月考）设椭圆 与双曲线 有公共焦点 ， ， 是两条曲线的一个公共点，则 等于　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ， ， ，则
, 18,
。
【分析】利用椭圆的标准方程求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，进而求出焦距，再利用椭圆的定义和双曲线的定义，从而求出，再利用完全平方和公式结合余弦定理，从而求出 的值。
16．（2019高二上·章丘月考）设 分别是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，若线段 的中点在 轴上，则 =　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ，中点 .
由题意得 ， ， 由线段 的中点在 轴上，
则有 ， ，代入 中得P点坐标
为 或 根据焦半径公式可得， ，
∴ .
故答案为： .
【分析】先设P点，中点，再求焦点 ,再根据线段 的中点在 轴上，求出P点坐标，再利用焦半径公式即可得 的长,则 可解.
四、解答题
17．（2018高二上·寿光月考）已知抛物线 ： 的焦点与椭圆 ： （ ）右焦点 重合，且点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程及离心率；
（2）若倾斜角为 的直线 过椭圆 的左焦点 ，且与椭圆相交于 、 两点，求 的面积.
【答案】（1）解：由题意知，抛物线 的焦点为 ∴椭圆 的右焦点 的坐标为 。
∴①
又点 在椭圆 上，
∴ 即 ②
由①②，解得 ，
∴椭圆 的方程为
∴离心率
（2）解：由（1）知 ∴直线 的方程为 ，即
设 ， 由方程组
消 整理，得 ，∴ ，
∴
又点 到直线 的距离
∴
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】解答本题的关键在于牢固掌握椭圆方程及离心率的求法，三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
18．（2015高二上·菏泽期末）已知双曲线 （a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线D：y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，双曲线的离心率为 ，△ABO的面积为2 ．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）求p的值．
【答案】（1）解：由双曲线的离心率为 ，
所以e= = = ，
由此可知 = ，
双曲线 的两条渐近线方程为y=± x，
即y=± x；
（2）解：由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣ ，
由 ，得 ，即A（﹣ ，﹣ p）；
同理可得B（﹣ ， p）．
所以|AB|= p，
由题意得△ABO的面积为 p =2 ，
由于p＞0，解得p=2 ，所求p的值为2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）由离心率公式和a，b，c的关系，可得 = ，即可得到双曲线的渐近线方程；（2）求出抛物线的准线方程，代入渐近线方程，可得A，B的坐标，得到AB的距离，由三角形的面积公式，计算即可得到p的值．
19．（2018高二上·梅河口期末）已知椭圆 过 两点.
（1）求椭圆 的方程及离心率.
（2）设 为第三象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：四边形 的面积为定值.
【答案】（1）解：把 分别代入椭圆方程得 .所以椭圆 的方程为 .
因为 ，
所以离心率 .
（2）解：设 ，其中 .
则直线 方程为 ，直线 方程为 .
所以 .
所以 .
所以四边形 的面积为
因为点 在椭圆 上，所以 代入上式得
.
因此，四边形 的面积为定值2
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】第二小题也可以设P(2cos&，sin&)，然后化简得到所求面积为定值。
20．（2018高二下·黑龙江月考）已知抛物线 的焦点 与椭圆 的右焦点重合.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）斜率为 的直线 交抛物线 于不同两点 ，求证： .
【答案】（1）解：由 ，所以椭圆 在右焦点F(1，0)，
∴ ，即p=2.
所以抛物线C的标准方程为 .
（2）解：设直线l的方程为y=-x+b，将它代入抛物线 .
得 ，设 ，
则 ， .
又由直线l交抛物线C于不同两点A，B，
可得 ，所以 .
而 ，
令t=b+3，则t>2.
所以
当 ，即 ， 时，等号成立.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）本题利用抛物线的焦点 F 与椭圆的右焦点重合，求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线焦点坐标和p的关系式求出p的值，最后求出抛物线的标准方程。
（2）本题根据斜率为-1的直线设出直线的斜截式方程，再利用直线与抛物线相交的位置关系联立直线与抛物线的方程求出关于x的一元二次方程，再利用韦达定理找出两交点横坐标与直线纵截距b的关系式，结合直线l交抛物线C于不同两点A，B得出，即得出b的取值范围，再利用两点距离公式、韦达定理求出与b的关系式，利用换元法将b+3转化为t，最后利用有关于t的一元二次方程求最值的方法求出的最大值，即证出结果。
21．（2017高二上·佳木斯月考）若椭圆 上有一动点 ， 到椭圆 的两焦点 的距离之和等于 ，椭圆 的离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点 的直线 与椭圆 交于不同两点 ， （0为坐标原点），且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解： 解得 所以椭圆方程
（2）解：由题意知直线的斜率存在.设 ，
由 得 ，
.
，
∵ ，∴ ，
∴ .
∵点 在椭圆上，
∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ .
∴ ，
∴ ，∴ .
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 或
∴实数 取值范围为
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）本题利用已知条件椭圆的定义即椭圆上的点到两焦点的距离之和等于2a及离心率公式求出a和c，再利用a，b，c 三者关系式求出b，最后代入椭圆标准方程中求出椭圆的标准方程。
（2）本题利用椭圆与直线相交的位置关系，联立椭圆和直线的方程求出关于x的一元二次方程，再利用两个交点条件利用得到k的取值范围，再利用韦达定理求出两根之和与两根之积与k的关系式，利用已知条件找出点P的坐标与两交点坐标和t的关系式，结合点P在椭圆上找出k与t的关系式，再利用弦长公式求出 | P A P B |，最后利用求出t的取值范围。
22．（2015高二上·济宁期末）已知椭圆C1： （a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C2：x2=4y的焦点重合，F1、F2分别是椭圆C1的左、右焦点，C1的离心率e= ，过F2的直线l与椭圆C1交于M，N两点，与抛物线C2交于P，Q两点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）当直线l的斜率k=﹣1时，求△PQF1的面积；
（3）在x轴上是否存在点A， 为常数？若存在，求出点A的坐标和这个常数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由抛物线C2：x2=4y的焦点为（1，0），可得b=1，
由e= = ，a2﹣c2=1，解得a= ，
故椭圆C1的方程为 +y2=1
（2）解：由题意可得直线l：y=1﹣x，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入抛物线的方程x2=4y，可得
x2+4x﹣4=0，可得x1+x2=﹣4，x1x2=﹣4，
即有|PQ|= = =8，
由F1到直线l的距离为d= = ，
可得△PQF1的面积为 |PQ|d= ×8× =4
（3）解：设x轴上存在一点A（t，0），使得 为常数．
①直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x3，y3），N（x4，y4），
把直线l的方程代入椭圆方程化简可得（2k2+1）x2﹣4k2x+（2k2﹣2）=0，
∴x3+x4= ，x1x2= ，
∴y3y4=k2（x3﹣1）（x4﹣1）=k2[x3x4﹣（x3+x4）+1]，
∴ =（x3﹣t）（x4﹣t）+y3y4=（k2+1）x3x4﹣（k2+t）（x3+x4）+k2+t2
= +t2，
∵ 为常数，
∴ = ，
∴t= ，
此时 =﹣2+ =﹣ ；
②当直线l与x轴垂直时，此时点M、N的坐标分别为（1， ），（1，﹣ ），
当t= 时，亦有 =﹣ ．
综上，在x轴上存在定点A（ ，0），使得 为常数，
且这个常数为﹣
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）求得抛物线的焦点，可得b=1，再由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）由题意可得直线l：y=1﹣x，设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入抛物线的方程x2=4y，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，运用三角形的面积公式可得所求；（3）设x轴上存在一点A（t，0），使得 为常数．①直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x3，y3），N（x4，y4），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，再由恒为常数，可得t，可得常数；②当直线l与x轴垂直时，求得M，N的坐标，即可判断存在A和常数．
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