(共38张PPT)
1.1
锐角三角函数
第1章
直角三角形的边角关系
第1课时
正切
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
正切
正切与坡度(角)的关系
课时导入
回顾与思考
梯子是我们日常生活中常见的物体.
(1)在图1-1中，梯子AB和EF哪个更陡？
你是怎
样判断的？
你有几种判断方法？
课时导入
(2)在图1-2中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎
样判断的？
知识点
正切
知1－讲
感悟新知
1
想一想
如图1-3,小明想通过测量
B1C1及AC1，算出它们的比，
来说明梯子的倾斜程度；而
小亮则认为，通过测量B2C2
及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？
知1－讲
感悟新知
(1)
直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？
(2)
有什么关系
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么
结论
知1－讲
归
纳
感悟新知
改变点B的位置，
的值始终不变。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的正切，
记作tanA，即
知1－讲
感悟新知
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
∠A的邻边
知1－讲
感悟新知
特别提醒：
tan
A不表示“tan”乘“A”.tan
A是一个完整的符号，它表示∠A的正切.
tan
A＞0且没有单位，它表示一个比值，tan
A的大小只与∠A的大小有关.
知1－练
感悟新知
例
1
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则tan
A＝________．
知1－讲
归
纳
感悟新知
直角三角形中求锐角正切值的方法：
(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；
(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利
用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义
求解．
感悟新知
知1－练
如
图
1-1-2，
在
Rt
△
ABC
中，
∠
ACB=90
°，
AC=8，
BC=6，
CD
⊥
AB，
垂
足
为
D，
则tan
∠
BCD=_______________
.
导引：
紧扣正切的定义，找出该锐角所在的直角三角形的两直角边的比值，或与之相等的锐角所在直角三角形的两直角边的比值
.
例2
感悟新知
知1－练
根据题意得∠
BCD=
∠
CAB，
所以
tan
∠
BCD=tan
∠
CAB=
解：
答案：
知1－讲
归
纳
感悟新知
方法点拨
:
直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利
用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还可以利用相似得到相等的比作为中间量.
知1－练
感悟新知
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan
A的值是(
)
A.
B.
C.
D.
A
知1－练
感悟新知
2.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan
B的值是(
)
A.
B.
3
C.
D.
D
知1－练
感悟新知
如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶3，则tan
B的值是( )
3
C.
D.
3.
D
知1－练
感悟新知
4
.
一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来
的2倍，那么它的两个锐角的正切值( )
A．都没有变化
B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半
D．不能确定是否发生变化
A
知识点
正切与坡度(角)的关系
知1－练
感悟新知
议一议
在图1
-3中，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗
知1－讲
归
纳
感悟新知
tanA的值越大，梯子越陡.
感悟新知
知1－讲
1.
当梯子与地面所成的角为锐角A时，
tan
A＝
tan
A的值越大，梯子越陡．
因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度．
2.
当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比
值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
感悟新知
知1－讲
特别提醒:
在很多实际问题中，人们无法测量倾斜角(如梯子与地面的夹角)，这时通常采用倾斜角的正切值来刻画倾斜程度.一个锐角的正切值角度的增大(减小)而增大(
减小).
解：甲梯中，
乙梯中，
因为tanα＞tanβ，所以甲梯更陡.
感悟新知
如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比
较陡
例
3
知1－练
感悟新知
归
纳
(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾
斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．
(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程
度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放
置得越“陡”．
知1－讲
1.
如图，
△ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？
感悟新知
解：
∵△ABC是等腰三角形，
BD⊥AC，
∴D是AC的中点．
∴DC＝AD＝
AC＝2.
在Rt△BCD中，tan
C＝
＝
＝
.
B
C
知1－练
感悟新知
2
.
如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )
A．2
B.
C.
D.
D
知1－练
感悟新知
2.
在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，且CD＝2，
BD＝8，则tan
A的值是( )
A．2
B．4
C.
D.
B
知1－练
感悟新知
4.
如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的
锐角为α，tan
α＝
，则t的值是( )
A．1
B．1.5
C．2
D．3
C
知1－练
感悟新知
5
.
如图，BD是菱形ABCD的对角线，
CE⊥AB于点E，交BD于点F，且点E是边AB的
中点，则tan∠BFE的值是( )
A.
B．2
C.
D.
D
知1－练
感悟新知
知识点
正切与坡度(角)的关系
2
一、如图是某一大坝的横断面：
坡面AB的垂直高度与水平宽度AE的长度之比是α的什么三角函数？
α
A
C
B
D
E
坡面AB与水平面的夹角叫做坡角.
探究
知2－讲
感悟新知
坡度的定义：
坡面的垂直高度与水平宽度之比
叫做坡度，记作
i
.
α
A
B
E
h
l
坡度的概念，一要记住是一个比值而不是角度，
二要明确坡度其实就是坡角的正切．
知2－讲
感悟新知
以下对坡度的描述正确的是(
)
A．坡度是指倾斜角的度数
B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比
C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比
D．坡度是指斜坡的高度与斜坡长度的比
B
例4
知2－练
错解分析：概念不清，误以为坡度是一个角度，而猜测
坡度即为倾斜角的度数．
感悟新知
解：由勾股定理可知，
AC＝
＝
≈192.289(m)，
∴tan
∠BAC＝
≈
≈0.286.
所以，山的坡度大约是0.286.
1.
如图，某人从山脚下的点A走了
200
m后到达山顶的点B，已知
点
B到山脚的
垂直距离为55
m，求山的坡度（结果精确到0.001).
B
知2－练
感悟新知
2.
如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠A.
关
于∠A的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是( )
A．tan
A的值越大，梯子越缓
B．tan
A的值越小，梯子越陡
C．tan
A的值越大，梯子越陡
D．梯子的陡缓程度与∠A的正切值无关
C
知2－练
感悟新知
3.
如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中AD∥BC.
若两斜坡的坡度均为i＝2∶3，顶宽是3
m，路基高是
4
m，则路基的下底宽是( )
A．7
m
B．9
m
C．12
m
D．15
m
D
知2－练
课堂小结
正切
正切:∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，
记作tan
A，
即tan
A＝
A
B
C
∠A的对边a
┌
斜边c
∠A的邻边b
课堂小结
正切
正切与坡度(角)的关系：
坡度就是坡角的正切.
课堂小结
正切
在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则tan
B＝________.
易错点：忽略求正切值的前提.(共21张PPT)
1.1
锐角三角函数
第1章
直角三角形的边角关系
第2课时
正弦和余弦
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
正弦
余弦
课时导入
回顾与思考
∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan
A，
即tan
A＝
A
B
C
∠A的对边a
┌
斜边c
∠A的邻边b
知识点
正切弦
知1－讲
感悟新知
1
正弦：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对
边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin
A，即
sin
A＝
知1－练
感悟新知
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC=200,
sinA=
0.6,
求BC的长.
在Rt△ABC中，
∵
即
∴BC=200×0.6=120.
解：
例
1
知1－练
感悟新知
1
.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值( )
A．不变
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定
A
知1－练
感悟新知
2
.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝
13，AC＝5，则sin
A的值为( )
A.
B.
C.
D.
B
感悟新知
知识点
余弦
2
知2－讲
余弦：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻
边与斜边的比叫做∠A的余弦，
记作cos
A，即cos
A＝
知2－练
感悟新知
在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90°，∠
A，∠
B，∠
C
的对边
分别用
a，
b，
c
表示，其中
a=5，
b=12，求∠
A
的正弦
值和∠
B
的余弦值
．
导引：紧扣正弦、余弦的定义结合直角三角形的边长解决问题
.
解：在
Rt
△
ABC
中，由勾股定理，得
例2
知2－练
感悟新知
解法提醒：求角的正弦、余弦、正切的值时，常先用勾股定理求出各边长，再求它们的值.
在这里，勾股定理起到了桥梁和纽带的作用.
感悟新知
归
纳
在直角三角形中，求锐角的正弦和余弦时，一定
要根据正弦和余弦的定义求解．其中未知边的长度往
往借助勾股定理进行求解．
知2－讲
感悟新知
知2－练
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin
A＝
BC＝40，
求△ABC的周长和面积．
例
3
导引：已知BC＝40，求△ABC的周长，
则还需要求出其他两边的长，借
助sin
A的值可求出AB的长，再
利用勾股定理求出AC的长即可，
直角三角形的面积等于两直角边
长乘积的一半．
感悟新知
知2－练
解：∵sin
A＝
∴AB＝
∵BC＝40，sin
A＝
，∴AB＝50.
又∵AC＝
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝120，
△ABC的面积为
BC·AC＝
×40×30＝600.
感悟新知
知1－练
归
纳
知2－讲
正弦的定义表达式sin
A＝
可根据解题需要变形为
BC＝ABsin
A或AB＝
余弦的定义表达式cos
A＝
也可变形为
AC＝ABcos
A或AB＝
.
感悟新知
知2－练
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝
90°，
AB＝5，
BC＝3，则cos
B的值是( )
A.
B.
C.
D.
A
感悟新知
知2－练
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的
是( )
A.
B.
C.
D.
A
感悟新知
3.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝2，
∠A＝α，则AC的长为( )
A．2sin
α
B．2cos
α
C．2tan
α
D.
D
知2－练
感悟新知
4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐
标为(4，3)，那么cos
α的值是( )
A.
B.
C.
D.
D
知2－练
课堂小结
正弦和余弦
锐角三角函数定义：
锐角三角函数的取值范围：
对于锐角A，有tan
A＞0，0＜sin
A＜1，0＜cos
A＜1.
A
B
C
∠A的对边a
┌
斜边c
∠A的邻边b
课堂小结
正弦和余弦
已知x＝cos
α(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，求cos
α值．
易错点：忽视锐角的余弦值的取值范围.
课堂小结
正弦和余弦
解：方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
∵0＜cos
α＜1，∴cos
α＝
常见错解：方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
此时忽略了cos
α(α为锐角)的取值范围是0＜cos
α＜1，而错得cos
α＝2或cos
α＝
