一题多变——“给值求角”（解析版）

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一题多变——“给值求角”
例1.已知cos
α＝，cos(α－β)＝，若0<β<α<，则β＝________.
【解析】由cos
α＝，0<α<，
得sin
α＝
由0<β<α<，得0<α－β<，又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝.
由β＝α－(α－β)得cos
β＝cos[α－(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝
∵β∈，∴β＝
.
【点评】“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
【变式1】已知α，β为锐角，cos
α＝，且sin(α＋β)＝，则角β＝________.
【解析】∵α为锐角，且cos
α＝，
∴sin
α＝＝.
∵α，β∈，∴0<α＋β<π.
又∵sin(α＋β)α，∴α＋β>，
∴cos(α＋β)＝
cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝
∴β＝.
【变式2】已知，且，那么（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】
由，得到，因为，所以，，
则cosβ=cos[（β–α）+α]=cos（β–α）cosα–sin（β–α）sinα
=，所以β=．故选C．
【变式3】设cos
α＝，tan
β＝，π<α<，0<β<，则α－β＝________.
【解析】法一　由cos
α＝，π<α<，
得sin
α＝，tan
α＝2，又tan
β＝，
于是tan(α－β)＝
又由π<α<，0<β<可得－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.
法二　由cos
α＝，π<α<得sin
α＝
由tan
β＝，0<β<得sin
β
，cos
β.
所以sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β＝
.
又由π<α<，0<β<，得
－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.
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精品试卷·第
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