第二章 幂函数及基本初等函数 综合测试卷二（解析版）

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《幂函数及基本初等函数》测试卷二
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.（2019·上饶中学高一月考）若，则(　　)
（A）
（B）1
（C）
（D）
1.C
依题意，.故选C.
2．（2020·山西高一期末）下列函数既是奇函数，又在上是减函数的是(
)
（A）
（B）
（C）
（D）
2.D
对于A选项，因为，且函数的定义域为，所以函数是偶函数，排除A；
B选项，因为且函数的定义域为，所以函数是奇函数；但，根据幂函数的单调性，可得，函数单调递增，排除B；
C选项，因为，所以显然是偶函数，排除C；
D选项，因为，所以是奇函数；又根据幂函数的单调性可得：在上单调递增，所以在上是减函数.
故选：D.
3．（2020·内蒙古高一期末）已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为(　　)
（A）c（B）a（C）b（D）c3.A
由幂函数图像特征知，，，，所以选A．
4．（2019·云南省下关第一中学高一期中）设，则使函数的值域为R且为奇函数的所有a值为（
）
（A）1，3
（B），1
（C），3
（D），1，3
4.A
当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件.
当时，，为奇函数，值域为R，满足条件.
当时，为偶函数，值域为，不满足条件.
当时，为奇函数，值域为R，满足条件.故选A.
5．（2019·仁寿二职中高一期中）已知，函数与的图象只可能是(
)
（A）（B）（C）
（D）
5.C
，，为减函数，答案在C,D中选择；根据与图像关于轴对称，可得与关于轴对称，所以四个选项中C项符合
故选：C
6．（2019·广东高一期末）已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），则函数f（x）为（　　）
（A）奇函数且在上单调递增
（B）偶函数且在上单调递减
（C）非奇非偶函数且在上单调递增
（D）非奇非偶函数且在上单调递减
6.C
∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），∴2a=，解得a=，
∴函数f（x）=，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选C．
7．（2019·浙江高一期中）函数
的值域是
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
7.B
令，，则，故选B．
8．（2020·安徽高一期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
8.C
如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．
9．（2020·湖南常德市一中高一期末）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（
）
（A）-1
（B）-2
（C）-3
（D）-4
9.C
幂函数的图象过点，所以，有.
所以.
在区间上单调递增.所以最小值为.故选C.
10．（2019·广东红岭中学高一期中）已知函数(且）的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则(　　)
（A）
（B）
（C）1
（D）2
10.D
函数中，令，解得，此时，所以定点；
设幂函数，则，解得；所以，
所以，．故选D．
11．（2019·陕西高一期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
11.C
作出函数和函数在区间上的图象如下图所示：
由于不等式对任意的恒成立，则，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：C.
12．（2019·河北高一月考）某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（
）（参考数据：取）
（A）
（B）
（C）
（D）
12.C
由题意，前个小时消除了的污染物，因为，所以，所以，即，所以，
则由，得，
所以，
故正整数的最小值为.故选：C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上.）
13．（2020·辽宁高一期末）
已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
13.{x|－4≤x≤4}
由表中数据知，∴α＝，∴f(x)＝x，
∴|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.不等式f(|x|)≤2的解集是{x|－4≤x≤4}.
14．（2019·宁波市北仑中学高一期中）若函数是幂函数，且满足，则
__________，函数过定点__________．
14.，
设，则，得，；
，则当时，，所以过定点。
15．已知函数，若的定义域中的、满足，则_____.
15.－3
函数的定义域需满足，即，，
，
则，所以是奇函数，在其定义域内有
又因为，则.
故答案为：－3.
16．设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“互换函数”.若函数（且）与在集合上互为“互换函数”，则的成值范围是______.
16.
因为函数（且）与在集合上互为“互换函数”，
由题意，对于任意的，都有成立（且），
所以，因为且，所以恒成立，
由指数函数的性质可得：，所以只需，解得：，故答案为：.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．若lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，求lg(ab)·2的值．
17.解：∵lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，
∴lg
a＋lg
b＝2，lg
alg
b＝，
∴(lg
a－lg
b)2＝(lg
a＋lg
b)2－4lg
alg
b＝4－2＝2，
∴lg(ab)·＝(lg
a＋lg
b)·(lg
a－lg
b)2＝2×2＝4.
18.已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N
)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－的a的取值范围．
18.解：∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m－3＜0，解得m＜3.
∵m∈N
，∴m＝1,2.
又函数的图象关于y轴对称，∴m－3是偶数，
而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，∴m＝1.
而f(x)＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴(a＋1)－＜(3－2a)－等价于a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.
解得a＜－1或＜a＜.
故a的取值范围为{a|a＜－1或＜a＜}．
19.已知函数，且，.
（1）求，的值；
（2）若，求的值域.
19.解：（1），，
，.
（2）由（1）可知，
令，，.
于是
，
的值域为
20.（2019·包头市第四中学高一期中）已知指数函数，时，有.
（1）求的取值范围；
（2）解关于的不等式.
20.解：（1）∵指数函数在时,有,
∴又，解得，∴实数的取值范围为．
（2）由（1）得，∵,
∴,解得,∴不等式的解集为．
21．已知幂函数的图象过点，（1）求函数的解析式，并求出它的定义域；（2）若偶函数满足，当时，，写出函数的解析式，并求它的值域．
21.解：（1）设，由条件得，即，
函数的定义域为.
（2）当时，
当时，，故有
函数的值域为.
22．（2017·江西南昌二中高一期中）已知函数
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若在区间[1，2]上恒成立，求实数的取值范围．
22.解：（1）若时，得
若时，得
（2）若时，在上恒成立，
即在上恒成立，
故即，则；
若时，在上恒成立，即在上恒成立，
故即，则．
综上所述：．
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精品试卷·第
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