2021_2022学年新教材高中数学1.1.1空间向量及其运算(Word含解析）

空间向量及其运算
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4．则a与b的夹角〈a，b〉＝(　　)
A．30°　
B．45°
C．60°
D．以上都不对
2．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列结论中正确的是(　　)
A．＋与＋是一对相等向量
B．－与－是一对相反向量
C．－与－是一对相等向量
D．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
3．设三棱锥O ABC中，＝a，＝b，＝c，G是△ABC的重心，则等于(　　)
A．a＋b－c
B．a＋b＋c
C．(a＋b＋c)
D．(a＋b＋c)
4．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，F，G分别是AD，DC的中点，则·＝(　　)
A．
B．
C．
D．
5．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)
A．　　　B．　　C．－　　　D．0
二、填空题
6．化简：(a＋2b－3c)＋5＝________．
7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ＝________．
8．已知向量a，b，c两两夹角都是60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a－2b＋c|＝________．
三、解答题
9．如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1．用a，b，c表示以下向量：
(1)；(2)．
10．四棱柱ABCD A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求点B与点D1两点间的距离．
能力练
1．(多选题)已知ABCD A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是(　　)
A．(＋＋)2＝32
B．·(－)＝0
C．向量与向量的夹角为60°
D．正方体ABCD A1B1C1D1的体积为|··|
2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是(　　)
A．60°　　　B．120°　　C．30°　　　D．90°
3．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
4．如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，
点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|＋|＝_____________，|－|＝______．
拓展
如图，正四面体V ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M．
(1)求证：⊥；
(2)求〈，〉．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4．则a与b的夹角〈a，b〉＝(　　)
A．30°　
B．45°
C．60°
D．以上都不对
D　[∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2ab＝|c|2，
∴a·b＝，∴cos〈a·b〉＝＝．]
2．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列结论中正确的是(　　)
A．＋与＋是一对相等向量
B．－与－是一对相反向量
C．－与－是一对相等向量
D．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D　[A中是一对相反向量；B中是一对相等向量；C中是一对相反向量；D中是一对相反向量，故D正确．]
3．设三棱锥O ABC中，＝a，＝b，＝c，G是△ABC的重心，则等于(　　)
A．a＋b－c
B．a＋b＋c
C．(a＋b＋c)
D．(a＋b＋c)
D　[如图所示，
＝＋＝＋(＋)
＝＋(－＋－)＝(a＋b＋c)．]
4．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，F，G分别是AD，DC的中点，则·＝(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[由题意可得＝，∴·＝×1×1×cos
60°＝．]
5．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)
A．　　　B．　　C．－　　　D．0
D　[如图所示，∵·＝·(－)＝·－·＝|OA|·|·cos∠AOC－|·|OB|·cos∠AOB＝0，
∴⊥，∴〈，〉＝，cos〈，〉＝0．]
二、填空题
6．化简：(a＋2b－3c)＋5＝________．
a－b＋c　[原式＝a＋b－c＋a－b＋c＝a－b＋c．]
7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ＝________．
－　[由m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋(λ＋1)a·b＋λ|b|2＝0，得18＋(λ＋1)×3×4×cos
135°＋16λ＝0，解得λ＝－．]
8．已知向量a，b，c两两夹角都是60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a－2b＋c|＝________．
　[∵|a－2b＋c|2＝a2＋4b2＋c2－4a·b－4b·c＋2a·c
＝1＋4＋1－4×cos
60°－4×cos
60°＋2×cos
60°＝3，
∴|a－2b＋c|＝．]
三、解答题
9．如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1．用a，b，c表示以下向量：
(1)；(2)．
[解]　(1)＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)
＝a＋b＋c．
(2)＝＋＝＋(－)
＝＋＋
＝a＋b＋c．
10．四棱柱ABCD A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求点B与点D1两点间的距离．
[解]　四棱柱ABCD A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，
∴＝＋＋，
∴2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋2×1×1×cos
120°＋2×1×1×cos
120°＋2×1×1×cos
60°＝2，∴||＝，
∴点B与点D1两点间的距离为．
能力练
1．(多选题)已知ABCD A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是(　　)
A．(＋＋)2＝32
B．·(－)＝0
C．向量与向量的夹角为60°
D．正方体ABCD A1B1C1D1的体积为|··|
AB　[A中，由⊥，⊥，⊥，得(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故A正确．B中，连接AB1(图略)，则－＝，由于⊥，故B正确．C中，异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但向量夹角为120°，故C不正确．D中，|··|＝0，该正方体的体积应为||·||||，故D不正确．]
2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是(　　)
A．60°　　　B．120°　　C．30°　　　D．90°
B　[a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e
＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝＝
＝＝．
|b|＝＝＝＝＝．
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
∴〈a，b〉＝120°．]
3．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
－13　[∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13．]
4．如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，
点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|＋|＝_____________，|－|＝______．
2　　[|＋|＝||＝2，＝，·＝2×2×cos
60°＝2，
故|－|2＝＝2－·＋2＝4－2＋×4＝3，
故|－|＝．]
拓展
如图，正四面体V ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M．
(1)求证：⊥；
(2)求〈，〉．
[解]　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，
则a·b＝a·c＝b·c＝，＝(a＋b＋c)，＝－＝－＝(b＋c－5a)，＝－＝－＝(a＋c－5b)．
所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝＝0，
所以⊥．
(2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，
所以||＝eq
\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6) －2a－2b＋c )))＝．
又||＝eq
\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6) b＋c－5a )))＝，
·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，
所以cos〈，〉＝＝．
又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝．
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