2021年新教材高中数学1.1.2空间向量基本定理（Word含解析）

空间向量基本定理
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．若a与b不共线且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则(　　)
A．m，n，p共线　　
B．m与p共线
C．n与p共线
D．m，n，p共面
2．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(　　)
A．＝＋＋
B．＝＋＋
C．＝－＋＋
D．以上皆错
3．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　C．3　　　　D．4
4．已知正方体ABCD A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于(　　)
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．＋＋
5．已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
7．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________．
8．如图在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________．(用a，b，c表示)
三、解答题
9．如图所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4)．
10．如图所示，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在棱B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1．
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
能力练
1．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足＝，＝，＝，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A．　　　　　　　
B．
C．
D．
2．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点(Q靠近点M)，则用向量，，表示，正确的是(　　)
A．＝＋＋
B．＝＋＋
C．＝＋＋
D．＝＋＋
3．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝________．向量，，________(填“能”或“否”)构成一组基底．
4．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1，则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是________．
拓展
如图，在四面体A BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．直线PQ与平面BCD是否平行？若平行，请给出证明；若不平行，请说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．若a与b不共线且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则(　　)
A．m，n，p共线　　
B．m与p共线
C．n与p共线
D．m，n，p共面
D　[p＝2a＝m＋n，即p可由m，n线性表示，所以m，n，p共面．]
2．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(　　)
A．＝＋＋
B．＝＋＋
C．＝－＋＋
D．以上皆错
B　[∵＝＋＋，
∴3＝＋＋，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋，
∴＝－－，∴P，A，B，C共面．]
3．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　C．3　　　　D．4
D　[根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确．③中由，，共面且过相同点B，故A，B，M，N共面．
下面证明①④正确．
①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，
∵d与c共线，c≠0，
∴存在实数k，使d＝kc，
∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，
∴c与a，b共面与条件矛盾．
∴d与a，b不共面．
同理可证④也是正确的．]
4．已知正方体ABCD A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于(　　)
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．＋＋
D　[由条件AF＝EF知，EF＝2AF，
∴AE＝AF＋EF＝3AF，
∴＝＝(＋)
＝(＋)
＝＋(＋)＝＋＋．]
5．已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[若i与j不共线，且存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj，则由共面向量定理，知i，j，k共面．若i与j不共线，且k与i，j共面，则存在唯一的一对实数m，n，使k＝mi＋nj，但m，n不一定为非零常数．故选A．]
二、填空题
6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
1　－1　[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，
于是有解得]
7．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________．
＋＋　[＝＋＝＋＝(＋)＋＝＋＋．]
8．如图在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________．(用a，b，c表示)
－a＋b－c　[＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c．]
三、解答题
9．如图所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4)．
[解]　连接AC，AD′，AC′(图略)．
(1)＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)
＝(＋2＋)
＝a＋b＋c．
(3)＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)
＝a＋b＋c．
(4)＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋＋
＝a＋b＋c．
10．如图所示，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在棱B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1．
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
[解]　(1)证明：连接AC1(图略)．因为＝＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋，
所以与，共面，
又三者有公共点A，
所以A，E，C1，F四点共面．
(2)因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，
∴x＝－1，y＝1，z＝，
∴x＋y＋z＝－1＋1＋＝．
能力练
1．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足＝，＝，＝，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A．　　　　　　　
B．
C．
D．
B　[因为＝x＋y＋z＝x＋y＋，又O在平面B1GF内，所以x＋y＋＝1；同理可得＋＋z＝1．由O在平面B1BDD1内，易得x＝y，解得x＝y＝，z＝，所以x＋y＋z＝，故选B．]
2．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点(Q靠近点M)，则用向量，，表示，正确的是(　　)
A．＝＋＋
B．＝＋＋
C．＝＋＋
D．＝＋＋
A　[∵M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点(Q靠近点M)，
∴＝－，＝－，
∴＝＋＋
＝＋＋
＝＋(－)＋(－)
＝－＋＋，
∴＝＋＝＋
＝－＋＋
＝＋＋．]
3．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝________．向量，，________(填“能”或“否”)构成一组基底．
3a－b＋3c　否　[＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＋＝(＋)＝3a－b＋3c．
假设，，共面，则＝λ＋μ＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝(λ＋5μ)a－5μb＋(8μ－2λ)c＝3a－b＋3c．
∴
解得
∴，，共面，
∴不能构成一组基底．]
4．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1，则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是________．
　[根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD A1C1D1内；满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1 BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A A1C1D1，其体积是××1×1×1＝．
]
拓展
如图，在四面体A BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．直线PQ与平面BCD是否平行？若平行，请给出证明；若不平行，请说明理由．
[解]　直线PQ∥平面BCD，证明如下：
法一：过P，Q分别作PS∥AD交BD于点S，QT∥AD交CD于点T，连接ST，如图所示，则＝，＝．
因为＝，所以＝，所以四边形PQTS是平行四边形，则＝．
又PQ 平面BCD，ST 平面BCD，所以PQ∥平面BCD．
法二：由图易得＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋＋＝(＋＋)＋＋＋＝(＋)＋＝＋．
由于PQ 平面BCD，所以PQ∥平面BCD．
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